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算数・数学の学び方・教え方について、あれこれ
- 投稿者：積分定数
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似たようなタイトルで遠山啓の本があったけど、まねしたわけではありません。掛け算の順序指導をしている教師とやり取りしていて、そもそも目指すべき方向が私と根本的に異なると思うことがあるので、算数・数学を学ぶ・教えるとはどういうことなのか、総論・各論、一般論・具体論含めて考えていきたいと思います。
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「掛け算の順序はどちらでもいい」に対して「答えが出ればいいというのは思考軽視。答えを出す過程が重要。」という反論がある。どうも「問題ごとに正しい解き方が決まっている。それを使うべきで、我流は駄目」という思想があるようだ。
図1は以前SNSで話題になった算数のテストである。割り算が出来るかどうかを見たければ単純に割り算の計算問題を出せば事足りるのに、わざわざこのような出題にして「21÷7は7の段で求めるのが唯一の正しい方法」ということを教えている。
「 ホース1.5mの重さが270gのとき1mの重さは？ 」を、270÷3＝90 90×2＝180 としてバツになったケースがある。しかしこれはちゃんと理解している答案である。「授業で小数の割り算を扱ったから」ということで270÷1.5がマルだというのだが、これだと教わった通りに解いただけで実は理解していないかもしれない。
「答えが出ればいいわけではない」からと、教えた解法のみを正解にするのは、理解している答案をバツ、やり方を覚えただけで理解していない答案をマルという、倒錯した結果になりかねない。
「3時間で180km進むと6時間でどれだけ進むか？」を180×2と求めてバツになった例もある。180÷3で速さを求めてから、60×3 （※ 60×6の誤り）とするのがマルらしい。これでは、「時間が2倍なら距離も2倍」と理解しているよりも、公式を暗記してそれを使う方が点数が良くなってしまう。教えた解法・公式のみを正解にすることは、思考を軽視し、暗記を助長する結果になる。
速さなどの単位あたり量や割合、比などは、小学校算数の難所で、中学生・高校生でも理解していないことが多い。「化学」のモル計算を苦手とする高校生は多いが、大抵このあたりの理解が不十分なことに起因する。
教科書では、速さ＝距離÷時間、で速さを定義して、距離＝速さ×時間、時間＝距離÷速さの公式を提示していている。授業もこれらの公式を覚えさせることが主眼になってしまいがちだが、これがまた大変なようで、図2のような「はじき」で教える教師も少なくない。
私が塾で教えるときは、公式も速さも教えないで、「6秒で8m進むと、15秒で何m進むか？」と出題する。戸惑うようだと、「何秒で何mになるか分かるのを片っ端から書き出して」とヒントを出す。そうすると大抵、「3秒で4mだから、15秒だと・・・」と気づく。数値を変えて何問かやれば、解法は自然と身につく。「1/3秒で4mなら1秒で何mか？」などとすることで、分数や小数の計算方法を自分で発見することも出来る。「秒速とは1秒間の距離」などは後で教えればいい。私は算数・数学を教える際には、このように公式・解法を教えないで問題を出す。
ところが小中高含めて、学校の授業ではやり方を教え、それを使って解かせることが多いようだ。その結果、「解法の暗記」が勉強となってしまい、理解が出来なくなる。「掛け算の順序」のように特定の解法のみを正解にすることで、この風潮が助長される。
しかし、公式・解法を覚えて教わったとおりに手を動かして答えを出すことよりも、試行錯誤して工夫して答えを出す方が面白いだろうし、理解も進む。
そのような算数・数学指導にするには、まずは「どんな解法でも、正しい答えが出るなら何でもOK」とすべきであろう。
図1
図2 陰山英男「陰山メソッド 徹底反復 算数プリント」（小学館）
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図1
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小学校算数での「掛け算の順序」がしばしば話題になる。「4人に5枚ずつ色紙を配るには何枚必要か？」（実際は小学生対象の文体。以下同様）という算数の問題で、「4×5＝20 20枚」と答えるとバツになることがある。「掛け算は1つ分の数×いくつ分の数だから、1人分が5枚で4人分だから5×4が正しい」というのがバツの理由だという。
しかし、事実として4×5でも5×4でも、正しい答えが出る。4人に1枚ずつ配ると4枚、これを5回繰り返すと考えると、1回分が4枚で5回分だから4×5とも出来る。掛け算を図1のように捉えれば、1つ分といくつ分を区別する意味はなくなり、順序を気にする必要もなくなる。掛け算を教える最初の段階ならともかく、順序を逆にしても同じ値になると分かった後では、順序に拘る意味は全くない。
私自身は掛け算の順序について、どうこう言われた記憶はないし、気にしたこともなかった。2006年、朝日新聞の投書欄で、4人に5枚ずつ色紙を配る問題で4×5にするとバツになると読んで驚き、それ以来、算数教育について調べるようになった。その結果、掛け算のみならず、算数全般において奇妙な教え方がなされていることが分かってきた。どうも、教員に授業方法を指南する立場の「算数教育の専門家」がそれらを奨励しているのだ。
図2はネットで公開されいてる論文（※）からの引用である（一部改変）。著者6人のうち3人は算数教科書執筆者、その1人は日本数学教育学会理事でもある。論文によると授業は以下のように進む。教師は「お話に合うのはどの絵かな？」と問いかける。児童らは当初「③と④がお話に合っている」と言うのだが、④の扱いで議論になる。最終的に教師は、セリフと花瓶の有無を根拠に「④はお話に合わない」と結論づける。
「これは一体、算数の授業なのか？」と疑問に思うのは私だけではないだろう。これは、「合併」と「増加」を区別させる授業である。
算数教育では足し算で解く文章問題を、「合併（あわせていくつ）」と「増加（ふえるといくつ）」に分類する。
「白猫3匹、黒猫４匹いる。全部で何匹？」なら「合併」、「猫が３匹いるところに、４匹やって来た。何匹になったか？」なら「増加」という具合である
要するに時間差の有無で分類しているのだが、どちらも足し算で求められるのだから、子どもがこれらを区別する必要はないだろう。また区別しようにも、両者の区別は曖昧であるからなおさらである。皮肉にも、図2の問題が区別の曖昧性を示している。ところが、なぜか分からないが、算数教育の専門家は、子どもがこれらを区別する必要があると考えているようだ。
【「かけ算の順序」なんてもう古い? 今や時代は「足し算の順序」??】というサイトでは、「増加」と「合併」の区別や、表題通り「足し算の順序」などの事例が集められている。特筆すべきはそららの奇妙な授業を推奨しているのが、大学教育学部の先生などの、算数教育の専門家という点である。
（※）広島大学 学部・附属学校共同研究機構研究紀要<第40号 2012.3> 『算数学習における創造性の育成に関する研究(II) ― 第1学年における「たし算(1)」の学習場面を中心に ―』前田一誠 小山正孝 松浦武人 影山和也 三浦佳葉 宮崎理恵
図2
https://ir.lib.hiroshima-u.ac.jp/files/public/3/32658/20141016191102570948/AnnEducRes_40_267.pdf
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東京新聞・中日新聞 2020年7月2日夕刊に 私の文章が載りました。
以下のツイートの画像で読めます。
https://twitter.com/conoki69/status/1279039151371718661
60x3とあるのは60x6の間違いです。
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https://sekibunn.at.webry.info/201903/article_1.html
朝日新聞2019年3月11日朝刊において、興味深い記事が掲載された。
https://www.asahi.com/articles/DA3S13928022.html?iref=pc_ss_date （フォーラム）中学入試、方程式はＮＧ？
中学入試において、小学校算数では扱わない方程式を使ってもいいのか、を調べたものである。しばしば話題になりこのブログでも何度か書いた「かけ算の順序」に関して書かれていて、なかなか興味深い。そこで今回は算数の文章問題を方程式で解くことの是非について考えてみる。
中学受験指南の世界においては「特殊算」と呼ばれるものがあり、独特の解法があるらしい。有名なのは「2本足の鶴と4本足の亀が合わせて20匹、足の数の合計が68本。鶴と亀はそれぞれ何匹？」という「鶴亀算」である。「特殊算」で検索すると他にも、旅人算、仕事算、差集め算など沢山の“ナントカ算”があるらしく、これらに関してそれぞれ独特な解法があり、そららを覚えて、問題が出されたらそれがどのタイプなのかを見極めて、そのタイプに特有な解法で答えを出す、というのがスタンダードな中学受験対策らしい。
沢山のタイプと独特の解法を覚えないとならない、問題文を見てどのタイプか判断しないとならないとしたら、面倒なことであろう。入試問題は「鶴と亀が・・・」などというベタな形では出てこない。例えば「目的地までの距離が２6０km。最初時速40kmで走行し、途中から時速60kmで走行して到着まで5時間を要した。速度を変更したのは出発から何時間後か？」を見て「これは鶴亀算の問題」と判断しないとならない。
「2本足の鶴と4本足の亀が合わせて20匹、足の数の合計が68本。鶴と亀はそれぞれ何匹？」の場合、鶴も亀も足を2本引っ込めたら28本残る。亀が足を2本ずつ出しているはずだから、亀の数は28÷2で14匹。鶴は４匹、という具合に解くらしい。
上記の速度の問題を同様に解くには、時速40kmで5時間走行すると200kmで、実際の走行距離はこれより60km大きい。これを時速40kmと時速60kmの差である時速20kmで割ることで、時速60kmで走行した時間が出る。60÷20＝3で3時間。よって時速40kmで走行した時間は2時間。
結構ややこしい。
で「この手の問題は中学で習う方程式で解けばもっと簡単に求まるではないか？入試で方程式を使っては駄目なのか？」という声が出てくることになる。
これに関して、「中学入試で小学校算数で教わらない方程式を使って解くと減点される」という噂があったのだが、この朝日新聞の記事によるとそれは都市伝説らしく、複数の私立中学が「減点しない」と明言している。
ところが、記事に出てきた中学受験対策の塾は、入試で方程式を使っても減点されないことを分かった上で、小学生には難しい、負の数など新しい概念を教えないとならない、というような理由で方程式は教えない方針のようである。
ややこしいナントカ算ではなく、小学生にも方程式を教えるべきなのか？
方程式を使わないで解く方法を教えるべきなのか？
私の考えはこのどちらとも異なる。詳細は次回
※大場数理学院は、原則として中学受験に特化した指導はやっていない。算数・数学そのものを理解するような指導を行っている。そのことが結果的に受験（高校入試や大学入試も含めて）でも有効だと考える。鶴亀算や方程式に関しても、中学受験とは関係なく、数学を理解する上でどのように取り組むべきかを考えていく。
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かけ算を
「一つ分」×「いくつ分」＝「全部の数」
で導入した後に，かけられる数，かける数の対称性をゆっくりでも確実に教えないと，高学年での割合や，比の計算に支障が出ます。
これを，かけ算にはいくつもの種類があるとして，問題によって，かけ算の種類を選ばせる教育をしたら，これは，数学的な活動とは，真逆の行為です。
低学年では，かけ算の対称性を九九で教え，問題文によってかけられる数とかける数を入れ替えても，それは適切なことを教師が納得させることです。
これを，「一つ分」が何かを認識させるために，本来数学的に正しいはずの立式に×を与えることは，完全に誤った指導といわざるをえません。
高学年になり，分数が導入された後に，じっくり一つ分の教育を行うべきです。
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「ひとつ分」「ひとつあたりの数」「ひとつあたりの量」を強調するのは，将来学習する割合や単位の次元の理解に必要だからです。しかし，「ひとつあたりの量」の概念をしっかり教えるためには，分数が既習であることが必要です。ですから，分数を学んだあとで，高学年で「単位量当たりの大きさ」を学びます。
小学校２年生に「単位量当たりの大きさ」の概念のさわりを教えるために，過剰反応を起こしているとしか思えません。
かけ算の順序によって数学的に正しい式に×をつけるという指導の目的は，本来は，「単位量当たりの大きさ」の概念のさわりを教えるためだったはずなのに，その目的さえ達成されず，しかも，児童の頭に混乱を導入しています。
例えるならば，子供の成長を願い，少しでも身長を伸ばしたい母親が，ある時，子供の頭をたたいたところ，コブができて，少し身長が伸びた。頭をたたくことが身長を伸ばすことにつながると受け止めた母親が，子供の頭を思いっきりたたき始めた。子供は悲鳴をあげているのに，コブがいよいよ膨らんで身長が伸びているから，なおも母親は子供の頭をたたき続ける。
かけ算に順序があるといって，数学的に正しいことに×をつけて，しかも本来の教育的目的も達成していない現状と，とても似ています。
被害者は，子供。（一部の）親と教師は子供のためと思い込んでいる。
もう少し冷静になってください。
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かけ算をおぼえよう。
１人あたり４こを３人に配るとき，
４こ＋４こ＋４こ＝１２こ
４＋４＋４＝１２
ですが，
１００人にくばる式を書くと
４＋４＋４＋４＋４＋４＋… もっと ４＋４＝４００
と書ききれないので，
４×１００と書いて４かける１００とよみます。
４が３つあることを
４×３とかきます。そのあたいは１２です。
これを
４×３＝１２
とかきます。
いろいろなかけ算をけいけんしよう。
２が３つあるときは？ ２×３＝６
３が２つあるときは？ ３×２＝６
３が４つあるときは？ ３×４＝１２
４が３つあるときは？ ４×３＝１２
あれ，３×４と４×３は同じ数値になったね。
３つ４があるときは？
３×４？
４×３？
どちらも同じ数値だね。
さいしょ３が４つあるときは
３×４＝１２
とかくと決めたけど，
３つ４があるときと同じ数値だね。
４×３＝１２
かけ算の対称性をけいけんしよう。
九九でかけ算の数値の交換法則を体験しよう。
２×３＝６
３×２＝６
…
｜ １ ２ ３ ４ …
ー＋ーーーーーーーーーーーーー
１｜ １ ２ ３ ４ …
２｜ ２ ４ ６ ８ …
３｜ ３ ６ ９ １２ …
４｜ ４ ８ １２ １６ …
…｜ … … …… …… …
九九でかけ算の数値の交換法則を体験したら，数量のかけ算の交換法則を体験しよう。
ひとりに
配るみかんの数 人数 みかんの数の合計
４× ３＝１２
４× ２＝ ８
４× １＝ ４
「人数１人あたり」みかんの数の合計はいくつふえるでしょう。
ひとりに
配るみかんの数 人数 みかんの数の合計
４× ３＝１２
３× ３＝ ９
２× ３＝ ６
１× ３＝ ３
「ひとりに配るみかんの数１こあたり」みかんの数の合計はいくつふえるでしょう。
かけられる数×かける数＝合計
さいしょに書く数×つぎに書く数＝かけ算のこたえ
かけられる数とかける数のどちらが１あたりの数と決めることができるかな。
どちらを１あたりの数と考えることもできるね。
「同じこと」が二つの数のかけ算で表されるときに，考え方によってどちらでも１あたりと考えることができるね。
みかんを２こずつ３人に配るという「同じこと」でも何を１あたりと考えるかは自由だね。
自由ってすばらしいね。
この自由は，頭の中の自由だね。
頭の中は，自由なんだよ。
どんな見かたをしてもいいんだよ。
「同じこと」をいろいろな見方をしてみよう。
面積の出し方を習いましたか？
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●はいくつありますか。
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●はいくつありますか。
めんせきの計算はヨコ×タテだけど，どちらをヨコ，タテときめることができるかな。
見る人の位置によって「同じこと」がちがって見える。だけど「同じこと」
見る人は頭の中でいろいろな方向から見ることを自由に想像できるね。
自由ってすごいね。
自由を大切にしたいね。
分数を習いましたか？
５ｋｍ／時間 × ４時間 ＝２０ｋｍ
４ｋｍ／時間 × ４時間 ＝１６ｋｍ
３ｋｍ／時間 × ４時間 ＝１２ｋｍ
２ｋｍ／時間 × ４時間 ＝ ８ｋｍ
１ｋｍ／時間 × ４時間 ＝ ４ｋｍ
１ｋｍ／時間あたり，何ｋｍふえますか。
５ｋｍ／時間 × ４時間 ＝２０ｋｍ
５ｋｍ／時間 × ３時間 ＝１５ｋｍ
５ｋｍ／時間 × ２時間 ＝１０ｋｍ
５ｋｍ／時間 × １時間 ＝ ５ｋｍ
１時間あたり，何ｋｍふえますか。
３こ／皿×４皿＝１２こ
２こ／皿×４皿＝ ８こ
１こ／皿×４皿＝ ４こ
１こ／皿あたり何こふえますか。
３こ／皿×４皿＝１２こ
３こ／皿×３皿＝ ９こ
３こ／皿×２皿＝ ６こ
３こ／皿×１皿＝ ３こ
１皿あたり何こふえますか。
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赤い団子と白い団子と緑の団子が一つづつ串にささった三色だんごが4串あります。
１）一串当たりいくつの団子がささっていますか。
２）赤い団子はいくつありますか。
３）白い団子はいくつありますか。
４）緑の団子はいくつありますか。
５）団子は全部でいくつありますか。
こんな感じの問題を何回かやって，式を立てるときは色々な考え方で順番が変わってくることをとりあえず低学年では教える。
高学年になると割合などが出てきて，そもそも式の順番に意味がなくなるから，もう一回掛け算の順序に意味がないことを教える。
一つの文章が表す事実をいろいろな視点で眺めると，式の立て方は色々あることを教えることが，数量の概念を理解するには重要だと思うのです。
数学的な頭の使い方（数学的活動）を通して学習することが求められていると思う。
数学的に正しいことを間違っていると教えることだけはしてはならない。それは，児童の心に大きな傷を残す。ある種の虐待みたいなものだ。
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>>49
> >>47
> > 「一つ分×いくつ分」の理解を確認するために，問題文に登場する順序を変えることは間違った指導方法です。
> >
> > 交換法則を経験的に学習するまで，文章題は一つ分，いくつ分の順序で数字を示すべきです。
> >
> > これは，負の数を教える前に，回答が負になる問題を出さないことと同じです。
>
>
> 私は、特定の問題文のパターンにならない方がいいと思っています。
なるほど。
様々な状況で視点を変えて考えることができるようにということでしょうか。
それでしたら，私もそう思います。
何を一つ当たりと考えるかは，解釈次第であるということに気づいて，
色々な視点で一つの現象を眺めることができるようになることが重要だと思います。
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