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  • Re: 高校数学 整式の割り算 指導案

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 4月11日(月)08時53分26秒
  • 返信
 
>>2

ポイントの一つは整数の割り算とのアナロジー。

だから、整数の割り算を見直す作業が必要。


そこで、余りを一意的に求めることよりも、「余り群」とも言うべき概念で捉えることが重要。

20を6で割った余り群は、2+7n n:整数 の形で書ける整数全体、というような捉え方。

余りを一意的に定めておくことはそれはそれで便利だから、教える。あくまで余り群の中の代表、というイメージで捉えるようにする。

整数xをaで割った余りをφ(x)で表す。

φ(x+y)=φ(φ(x)+φ(x))
φ(xy)=φ(φ(x)・φ(y))

と言う具合に、φが準同型写像になっていることも抑えておきたい。

φ(x+y)=φ(x)+φ(x) とならないのは、

a=6でx=11、y=10で考えると分かるが、細かい話ではある。



以上と同様の話が多項式の割り算でも言えることを理解させる。


例えば、因数定理を教えないで、「x^100をx+2で割った余りを求めよ」を出題する。

ここで、最終的な数値を求めなくても計算式だけで構わないとしておく。
これは、おそらく算数でも有効。文字式を導入しなくてもそれと同様の一般化抽象化が可能となる。

因数定理を知らないで取り組むとしたどうするか?

最初はx^3など、商も余りも求められるケースをやるのが順当だろう。

このように、

出された問題が難しければ、自分で易しい問題にアレンジして様子を見る、

というのが、数学のほかの単元の勉強にも有効。

ここから、(-2)^100が見えてくるだろう。

最初から、x-αで求めさせると、すぐに状況が見えてしまって面白くない。

次に、2x+3 などもやって、最終的にはf(x)をx-αで割った余りはf(α)となることを確認する。

実際に、x-αで割る筆算をすると綺麗にf(α)が出てきて面白い。


次に、f(x)をx^2-5x+6で割った余りを出す問題。

2次式で割るから余りは1次式以下。ax+bと置いて、

f(2)=2a+b
f(3)=3a+b

で連立を解けばいい。


発展

x^100をx^2+4で割った余り?

虚数を知っていればx^2-5x+6の場合と本質的には同じ問題だが、虚数なしで解けるのか?

x^1、x^2、x^3、・・・を割ってみて法則性に気づけば解くことが出来る。

ただしこれも、x^2+Aというタイプのものだけで、虚数解が複雑になるタイプだと、x^1、x^2、x^3、を割った余りを具体的に求めて法則を見つけるのは難しくなる。


x^100を(x-p)^2で割った余りは?

優秀な生徒にはこのような重解になるケースを出題するのも面白い。


解法をいくつか書いておく

A 余りをax+bと置いて、x=pを代入。両辺を微分してx=pを代入する。あとは連立方程式を解く。


B 取り敢えずpを代入してb=p^100-apを求める。
x^100=(x-p)^2・Q(x)+ax+p^100-ap
ここから移項したり式変形をしてaを求める。その過程でいろいろ面白いことに気づく。


C x-p=tとおく。(t+p)^100=t^2・Q(t+p)+tの1次式
左辺を2項定理で展開すればいい。tが1次と0次の箇所だけ。

100p^99・t+p^100 となり、t=x-pを入れることで

100p^99・x-99p^100 を得る。 この方法は昨日気づいた。(x-p)^3で割った余りなども容易に求められる。



Aは微分、Bはx^n-y^n=(x-y)(・・・・)の変形、Cは変数変換、それぞれ重要な概念。

微分を知らないでAの方法に気づいて微分の概念に自分で気づく、というのは考えにくいが、B、Cの方法を自分で気づくことはありえるし、
x^n-y^n=(x-y)(・・・・) という公式に自分で気づく可能性はある。


いずれにしてもあえて標準の問題から外れた問題に取り組むことで数学全般へのつながりが見えてくる。