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sage

  • [24]
  • x^xの微分

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 7月 7日(木)10時52分7秒
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x^xの微分はy=x^xの両辺の対数をとって・・・というのが定番だが、
全微分の考えも使える。
z=x^yとして、dz=[∂(x^y)/∂x]dx+=[∂(x^y)/∂y]dy
dz/dx=[∂(x^y)/∂x]+=[∂(x^y)/∂y]dy/dx
y=xだから、=[∂(x^y)/∂x]+=[∂(x^y)/∂y]

微分の定義に直接戻って

(x+h)^(x+h)-x^x
=(x+h)^(x+h)-(x+h)^x+(x+h)^x-x^x

ここで平均値の定理を使う、というのもあり。

私が思いつくのはこれぐらいだった。


で、高専の生徒に偏微分と全微分を教える過程で、x^xの微分をやってもらった。全微分を使って解いてもらいたかった。


ところが、x^x=e^(xlogx)と変形してあっさりといてしまった。

考えたらこれでもいける。自分がなぜこの方法に気づかなかったのか?
x^xの微分をいくつかの方法で出来ることがわかっていたからそれ以外思いつかなかったのだろう。

この生徒はそんな方法は知らないから、真っ先に思いついたのがこれだったのだろう。


直前にe^xの微分を前提にa^xの微分というのをやっていた。この場合、e^(xloga)と変形して合成関数の微分でやるのだから、x^x=e^(xlogx)と変形したのはごく自然なことだったのかもしれない。



数学を教えていて、生徒が思いもかけない方法で解いたら嬉しいものじゃないのかな?
>>23