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  • 算数・数学の学び方・教え方について、あれこれ

  • 投稿者:積分定数
 
 似たようなタイトルで遠山啓の本があったけど、まねしたわけではありません。掛け算の順序指導をしている教師とやり取りしていて、そもそも目指すべき方向が私と根本的に異なると思うことがあるので、算数・数学を学ぶ・教えるとはどういうことなのか、総論・各論、一般論・具体論含めて考えていきたいと思います。

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  • [9]
  • 「セルフ塾のブログ」でのやり取り その3

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 5月 7日(土)15時31分44秒
  • 返信
 
自己流で解いていると、壁にぶつかることが
http://selfyoji.blog28.fc2.com/blog-entry-4766.html

>しかし、分数のわり算を教えた。しかし、問題文では1/3が与えられているのに、100÷1/3 ではなく、100×3 という式を立てた、ということは、分数のわり算を理解していないということです。

>分数のわり算の意味はきちんと理解して欲しい。だからこそ、100÷1/3 という式を立てるように指導しなければいけないのです。


ここでは2つの論点がある。

100×3とした子は理解していないのか?
100÷1/3と書くように指導すべきなのか?


前者に関しては後で論ずる。

後者に関して、一般論として以下のように問題を設定する。


ある問題に関して、解法AとBで解いた子がいた。どちらも正しい答えが求まる方法であるが、どちらにも、ちゃんと理解している子とそうでない子が混在しているとする。過去の統計から以下のようなことが分かっているとする。


解法Aで解いた子で 理解しているのは20% 理解していないのは80%
解法Bで解いた子は全員が理解している



この場合、解法Aを使った子に解法Aを放棄して解法Bを使うように指導することは有効であろうか?


まずこの問題をやらせることで、子供が理解しているかどうかを判断する材料にはなるだろう。

Bで解いた子は取り敢えず理解しているということでOK

Aで解いた子は理解していない可能性が高い。

そうすると、その子が本当に理解しているかどうか見極めるために他の問題を出したりすることになる。

あるいは、「理解していない」とみなして理解するように教えることもあるだろう。


しかしそれは「Bで解くように」と教えることを必ずしも意味しない。


解法AとBで理解している割合に有意な差があったとしてもそれは相関関係が提示されたわけであって、因果関係があるかどうかは分からない。

解法Bでやるようにと指導した結果、解法Bで解くようになっても理解が促された結果かどうかは分からない。


毎晩高級料亭で飲食する人に高所得者が多かったとしても、毎晩高級料亭に行くことで所得が上がるわけではない。


また、解法AかBかで、その子が理解しているかどうか推測できるにもかかわらず、「Bで解くように」と指導することで、理解していなくてもBで解く子が出てきてしまうかもしれない。

そうなると、AかBかで、理解しているかどうか判断することが困難になってまう。


理解させるために、Aで解いた子に「Bで解くように」と指導することが有効であるためには、

Aで解いた子は理解していない可能性が高い
Bで解いた子は理解している可能性が高い

という事実だけでは不十分。

Aで解いていた子がBで解くようにすることで理解が促される

ということにならないとならない。


100×3と書いた子に100÷1/3と書くように指導することで理解が促されるかどうか、私は疑問である。


「理解している」の定義を「Bで解く」としてしてしまうのもまずい。

selfyojji さんの主張を見ると、「ちゃんと理解しているのならそれが指導者に分かるように100÷1/3という式を立てるべき」というように思える。

そうすると子どもは、「理解しようとする」のではなく「100÷1/3という式を立てる」ことになる。

つまり、理解することではなく、指導者から「この子は理解している」と思われるような答案を書くことになる。

理解することと、「指導者に理解しているとみなされる答案を書く」ことは必ずしも一致しない。

指導者の責務は、その子が本当に理解しているかどうかを見極めることである。そのためにいろんな問題を出すこともあるだろう。その子の答案や返答、表情などから判断することもありえる。


「答案Aだと理解していないとみなす。答案Bだと理解しているとみなす。だから答案Bを書くようにしなさい」

と指導することではないはず。

  • [8]
  • 「セルフ塾のブログ」でのやり取り その2 矛盾した指示  

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 5月 7日(土)14時49分41秒
  • 編集済
  • 返信
 
http://selfyoji.blog28.fc2.com/blog-entry-4765.html
>さて、式はなぜ書くのか。
 それは、自分がどのように解いたのか、その思考した過程を他人に知らせるためです。私はこのように考えてこの問題を解きました、ということを見せるためです。だから、自分だけが分かるような書き方ではいけないのです。




http://selfyoji.blog28.fc2.com/blog-entry-4763.html
>1/3個で100gなら1個では300gというのは分かります。
 そして、式を書かせると
 100×3 と書く子が多いです。
 答えは正解になりますが、問題文の中の3が使われていません。
 だから、式は100×3ではいけないのです。
 式は、100÷1/3でなければいけないのです。



ケーキ1/3個で100g。1個では何gか。


この問題を見て「100gの3倍だから300g」とすぐにわかった子はどうすればいいのか?


考えを式に表すように、とのことだから、100×3 式にしたら


「それではいけない」と言われることになる。


100÷1/3という式を立てることは、自分が思いついた方法と違うので、考えを式で表現する、という指示に反することになる。


ここでダブルバインドに陥ってしまう。


これを裂けるには、「100gの3倍だから300g」と思いつかないようにして、教わった方法が思いつくようにしないとならない。


これは算数・数学教育が目指すべき方向なのだろうか?


一方でこうも書いてある。


http://selfyoji.blog28.fc2.com/blog-entry-4766.html
>学習においては、できるだけスマートに解くように指導しています。
 スマートというのは、先人が考え出した合理的な方法です。それよりもさらにいい方法を自分で編み出しているのならもちろんいいです。すばらしい。


とのことだが、スマートさと言うことで言えば、100×3と発想するのがスマートともいえる。



問題文を見て幸か不幸か「100gの3倍」と発想してしまったら、
考え方を式に表現するために100×3とすべきなのか?

でも「それではいけない」という。

では、「100gの3倍」と考えても、式としては100÷1/3と書くべきなのか?

それでは、考えを式に表すことにならない。

では、「100gの3倍」と発想しないようにしないとならないのか?


それだと今度は「できるだけスマートに解く」という指導に反することになる。


どうにも困ったことになってしまいます。

  • [7]
  • 「セルフ塾のブログ」でのやり取り その1  想定・設定がアンフェアでは?

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 5月 7日(土)13時32分38秒
  • 編集済
  • 返信
 
両者は、1/3個で100gのケーキ1個の重さは? と言う問題で、100×3=300 と式を立てて求めることに関して、

積分定数  何の問題もない、
selfyojjiさん 100÷1/3という式を書かせるように指導するべき

という具合に意見が異なっている。


自己流で解いていると、壁にぶつかることが
http://selfyoji.blog28.fc2.com/blog-entry-4766.html
>まだ1/3程度ならいいのですが、帯分数のわり算が出てきたときに、壁にぶち当たってしまいます。
>それもできるが、30×4 にしたならまだいいのですが、そうでないなら壁にぶち当たってしまいます。
>新しい知識を学ぶとき、それが理解できないから、既知のもので代用するという場合は、新しい知識をきちんと教えるべきです。
 それをしないのは、指導の放棄です。


100×3という式を立てた子は壁にぶち当たる、として、きちんと教えないのは指導の放棄、とのことだが想定・設定がアンフェアに思える。

100×3という式を立てた子が100÷1/3と書いた子に比べて壁にぶち当たる可能性が高いかどうかは後で論ずるが

壁にぶち当たったら、それを乗り越えられるように教えるのは言わずもがなの当然のこと。「きちんと教える必要がない」とは誰も言っていない。


100×3という式を認めることと、きちんと教えることはなんら矛盾しない。

方程式を数値を当てはめて解く子の例が出されているが、

移項などを使わないで当てはまる数を見つけて解くことを認めることが、

分数が解になる場合には困ってしまっている状態になっても放置することを意味するわけではない。


 逆の状況を想定することも出来る。

2^x=8 や x^x=27

方程式を移項などを使って教わったとおりに解く子はこのような問題で困ってしまうかもしれない。未知数に数値を当てはめて解く子はこのような問題も解ける可能性が高い。

2x+3=11 を移項などで教わったとおりに解いた子が

2^x=8 や x^x=27 などを解けなかったとして放置するのは指導の放棄。

もちろんこんな方程式は中学では扱わない。しかし「方程式とは当てはまる未知数を見つけることである」と言うことが分かっていて、累乗の表記が分かっていれば解けるはずである。

これが解けないとして、1次方程式は教わった方法で解けるとしたら、その子は方程式は何なのか、というのを理解していなくて、教わったとおりに手を動かしているだけかもしれない。


100×3や、移項などを使わないで当てはまるxを見つける、という答案を認めることへの反論として「壁にぶち当たる」「きちんと教えないのは指導の放棄」ということが成り立つとしたら、

100÷1/3や、移項などを使っての標準的な解法を是とすることに対しても同様にして、「壁にぶち当たる」「きちんと教えないのは指導の放棄」という反論が成り立ってしまうと思います。


 そういうことではないと思います。100×3という式を認めることは、壁にぶち当たったときに教えないことをなんら意味しないわけです。

 解が分数になると出来ないのなら、できるように教えるのは当然です。そのことと、「あてはまるxを探し出す』と言う方法を認めることは矛盾しません。

  • [6]
  • 「セルフ塾のブログ」でのやり取り その0

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 5月 7日(土)12時59分21秒
  • 返信
 
http://selfyoji.blog28.fc2.com/blog-entry-4763.html
http://selfyoji.blog28.fc2.com/blog-entry-4764.html
http://selfyoji.blog28.fc2.com/blog-entry-4765.html
http://selfyoji.blog28.fc2.com/blog-entry-4766.html


このブログに関してやり取りをしているが、論点がいくつかあるのでこちらで自分の考えを書く。


ブログ主はmixiで知り合いとなりマイミクにもなっている。
英文法に関しては私と考えが近い。
http://selfyoji.blog28.fc2.com/blog-entry-4763.html?q=%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%AE%9A%E6%95%B0&charset=utf-8#comment

また私に水道方式や遠山啓を勧めてくれた人でもある。それまで名前を知ってはいたがちゃんと読んだことはなかった。

それで色々読んで、大いに参考になる部分もあった。
しかし、水道方式・遠山啓・銀林浩・数教協の教え方は大きな間違いが潜んでいると考えている。


 いずれにしても、両者の関係がどうであるかとは独立に、互いの考えを披露しあい異論があれば批判する、というようなことは健全なこと。

 当然のことだが、別に喧嘩しているわけではない。

  • [5]
  • 方程式を解くとは条件にあう数を探し出すこと

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 4月22日(金)10時16分19秒
  • 編集済
  • 返信
 
方程式を解くとは条件にあう数を探し出すこと

当たり前と思うかもしれないが、この当たり前のことが分かっていない生徒が多い。


方程式を教わった後に 0.2x+0.3x=5x とする生徒は多い。

同じものを違う式で表現するという式変形と、当てはまる数を捜し求める方程式の違いが分からないで

0.3x+0.7=0.1 という問題だと条件反射的に10倍して
3x+7=1 として解く

となっているので、0.2x+0.3xも見た瞬間に2x+3xとしてしまうことになる。


算数・数学全般がそうなのだが、各論での手順を教え込むことの弊害である。


まずは、移項とか小数なら全体を10倍するとか、そんな瑣末なことは後回しにして、

方程式を解くとは条件にあう数を探し出すこと

というのときちんと意識させるべき。



現在の方程式の教え方は、1次方程式 連立方程式 2次方程式 と言うような具合になっている。これだと教わる側も「1次方程式はこうやって解く」「連立方程式はこうやって解く」・・・と順に覚えていくことになりかねない。

 私はいきなり、x^x=27 というような問題をやらせることもある。

方程式を解くプリミティブな方法は、片っ端から代入して条件にあう数を見つけることである。

その上で、次々当てはめていくのは大変だから、効率よく見つける方法はないのか?、とか、アルゴリズムはないのか?ということで、各論に入ることになる。

「方端から代入して当てはまるものを探す」というのは、数学全般においてきわめて応用範囲が広い。


割り算
掛け算の逆算である。筆算するときに仮商を立てるのはまさに代入して当てはまるのを探す行為。


多項式の因数分解
(x+○)(x+△)=x^2+10x+16
○と△に好きな数を当てはめて展開して右辺と一致するかどうかを見ていく。
「たすきがけ」だの「足したら10、掛けたら16」など知らなくて、何度もやれば自然に身につく。


不定積分
x^3の不定積分は、F’(x)=x^3 を満たすF(x)を探すこと。まずは片っ端から当てはめていけば、いずれ正解に行き着く。


漸化式から数列を求める
これも片っ端から数列を入れてみる。


それぞれに関して、効率のいい方法などはあるが、まずはとにかく代入して当てはまるのを探す、という姿勢が重要。何度も代入していくうちに、あたりをつけられるようになる。


不等式も同様である。

x^2-10x+21≦0

最初は、「この条件を満たす整数をひとつだけでいいから見つけて」「見つかったら、それ以外にも見つけてみて」と言う具合にやる。


そうしないと、単に手順を覚えることになりかねず、そうなると、上に凸、下に凸、≦、≧、などでそれぞれ異なる手順を覚えることになりがち。

そうなったら数学がわからなくなるのは必至。

  • [4]
  • 公式を提示しないで分数の掛け算・割り算を教えてみた

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 4月21日(木)08時17分19秒
  • 返信
 
公式を提示しないで分数の掛け算・割り算を教えてみた
http://togetter.com/li/964852

  • [3]
  • Re: 高校数学 整式の割り算 指導案

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 4月11日(月)08時53分26秒
  • 返信
 
>>2

ポイントの一つは整数の割り算とのアナロジー。

だから、整数の割り算を見直す作業が必要。


そこで、余りを一意的に求めることよりも、「余り群」とも言うべき概念で捉えることが重要。

20を6で割った余り群は、2+7n n:整数 の形で書ける整数全体、というような捉え方。

余りを一意的に定めておくことはそれはそれで便利だから、教える。あくまで余り群の中の代表、というイメージで捉えるようにする。

整数xをaで割った余りをφ(x)で表す。

φ(x+y)=φ(φ(x)+φ(x))
φ(xy)=φ(φ(x)・φ(y))

と言う具合に、φが準同型写像になっていることも抑えておきたい。

φ(x+y)=φ(x)+φ(x) とならないのは、

a=6でx=11、y=10で考えると分かるが、細かい話ではある。



以上と同様の話が多項式の割り算でも言えることを理解させる。


例えば、因数定理を教えないで、「x^100をx+2で割った余りを求めよ」を出題する。

ここで、最終的な数値を求めなくても計算式だけで構わないとしておく。
これは、おそらく算数でも有効。文字式を導入しなくてもそれと同様の一般化抽象化が可能となる。

因数定理を知らないで取り組むとしたどうするか?

最初はx^3など、商も余りも求められるケースをやるのが順当だろう。

このように、

出された問題が難しければ、自分で易しい問題にアレンジして様子を見る、

というのが、数学のほかの単元の勉強にも有効。

ここから、(-2)^100が見えてくるだろう。

最初から、x-αで求めさせると、すぐに状況が見えてしまって面白くない。

次に、2x+3 などもやって、最終的にはf(x)をx-αで割った余りはf(α)となることを確認する。

実際に、x-αで割る筆算をすると綺麗にf(α)が出てきて面白い。


次に、f(x)をx^2-5x+6で割った余りを出す問題。

2次式で割るから余りは1次式以下。ax+bと置いて、

f(2)=2a+b
f(3)=3a+b

で連立を解けばいい。


発展

x^100をx^2+4で割った余り?

虚数を知っていればx^2-5x+6の場合と本質的には同じ問題だが、虚数なしで解けるのか?

x^1、x^2、x^3、・・・を割ってみて法則性に気づけば解くことが出来る。

ただしこれも、x^2+Aというタイプのものだけで、虚数解が複雑になるタイプだと、x^1、x^2、x^3、を割った余りを具体的に求めて法則を見つけるのは難しくなる。


x^100を(x-p)^2で割った余りは?

優秀な生徒にはこのような重解になるケースを出題するのも面白い。


解法をいくつか書いておく

A 余りをax+bと置いて、x=pを代入。両辺を微分してx=pを代入する。あとは連立方程式を解く。


B 取り敢えずpを代入してb=p^100-apを求める。
x^100=(x-p)^2・Q(x)+ax+p^100-ap
ここから移項したり式変形をしてaを求める。その過程でいろいろ面白いことに気づく。


C x-p=tとおく。(t+p)^100=t^2・Q(t+p)+tの1次式
左辺を2項定理で展開すればいい。tが1次と0次の箇所だけ。

100p^99・t+p^100 となり、t=x-pを入れることで

100p^99・x-99p^100 を得る。 この方法は昨日気づいた。(x-p)^3で割った余りなども容易に求められる。



Aは微分、Bはx^n-y^n=(x-y)(・・・・)の変形、Cは変数変換、それぞれ重要な概念。

微分を知らないでAの方法に気づいて微分の概念に自分で気づく、というのは考えにくいが、B、Cの方法を自分で気づくことはありえるし、
x^n-y^n=(x-y)(・・・・) という公式に自分で気づく可能性はある。


いずれにしてもあえて標準の問題から外れた問題に取り組むことで数学全般へのつながりが見えてくる。

  • [2]
  • 高校数学 整式の割り算 指導案

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 4月 8日(金)23時26分48秒
  • 返信
 
 高校数学ではなぜか多項式の割り算とは言わないで整式の割り算と言う。どっちもでいいから、私は馴染み深い多項式を使う。もちろん、単項式も多項式。

 ここのところは、なぜ割り算をするのか、という動機付けが難しい。この先数学を勉強すると、いろいろ面白いことになるのだが、最初の導入は天下り的になってしまう。これについては今後も検討課題。



【0】 余りのある割り算を思い出してもらう。

20÷6の商と余りを求めてもらう。当然、3・・・2となる。

次に、20を6と3と2で表してもらう。大抵20=6×3+2となる。

次に、20=6x+y となる整数の組をいくつか求めてもらう。
xは任意の整数が入り、それに応じてyが一意的に決まることを理解する。

このようなyが2+6n n:整数 などの形で表されることを理解する。
そのために、条件を満たすyのうち、100以上のもので最小のものは? というような問題も出してみる。

こうして、yが 2+6の倍数 なることを確認して、その中で、0以上の整数のもので最小のものを、余り と称していることを確認する。

今度は、20を0で割った余りを求めてもらう。「20」と答えられたら、割り算のイメージが、

20÷0ではなく、20=0×( )+( ) に当てはまる整数を探すというイメージに転換しているといえる。


【1】 多項式の割り算

多項式の割り算も同様で、f(x)とg(x)を与えて

f(x)=g(x)・Q(x)+R(x)を満たす、Q(x)とR(x)の組をいくつか求めてもらう。

今度は、それらのR(x)の中で次数が最も小さいものを求めてもらう。

このR(x)を 余り と定義する。
一意的に定まり、g(x)よりも次数が小さいことを確認する。


【2】 x^100+4x^23-7x^10 を
x-1 で割った余り、x+1で割った余り、x^2-1で割った余り を求めてもらう。

まともにやると大変だが、工夫することで簡単にもとまる。

x^5+3x^4-7x^3+2x^2+4x+1 をx^2-3x+2で割った余りを求めてもらう。


因数定理に気づかなければ、x-αで割った余りを求めてもらう。


因数定理を教えて、因数定理を使う問題を解いてもらうのではなく、
因数定理を教えないで、因数定理に気づかないと苦しい計算をすることになる問題を出す。


【3】 多項式の割り算を筆算のように行う方法などは、後でゆっくりやればいい。 

  • [1]
  • 教えたとおりに解いたのなら、それは理解していないのでは?

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 3月17日(木)16時31分52秒
  • 返信
 
 「教えたのと違う方法で解いたからバツ」と言う人がいて呆れる事が多い。しかも「教えたの通りの方法で説かなかったということは理解していなかったから」という意味不明なことを言う人もいる。

 教える側が算数・数学を学ぶとはどういうことかが分かっていないといわざるを得ない。

 教えたとおりの方法で正解に行き着いた
 教えたのと異なる方法で正解に行き着いた

理解している蓋然性が高いのは当然、後者である。だからと言って、前者が理解していないとは限らない。


では、子供の理解しているかどうかを知りたいと思ったらどうするか?

理解しているなら正解で、理解していないなら不正解になるような問題を出せばいい。

それは、「教えた方法をそのまま真似するだけでは解けない問題」をだすこと。

例えば多項式の微分を学んだ状態だと、「指数を前に出して指数を1つ減らせばいい」と覚えるだけの高校生が実に多い。

そこで、「微分の意味は?」などと質問しても、曖昧な答えが返ってくるだけだろう。また、「指数を前に出して指数を1つ減らすこと」と答えても間違えとは言えない。代数学では微分をそうやって定義する。

 ここで、「1/(x^2+1)の微分は?」などと問う。多項式の微分しか学んでなくても微分の意味を理解していたら何とか解けるはず。


 3×6を解ける子が掛け算の概念を知らないで九九を暗記しただけなのか、ちゃんと解しているのかを知りたければ、12×3を解かせればいい。

 掛け算が何かを知っていれば、2桁の掛け算を習っていなくても解けるはず。

「こんなの習っていない」といったら、理解しているかどうかあやしい。


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