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  • 算数・数学の学び方・教え方について、あれこれ

  • 投稿者:積分定数
 
 似たようなタイトルで遠山啓の本があったけど、まねしたわけではありません。掛け算の順序指導をしている教師とやり取りしていて、そもそも目指すべき方向が私と根本的に異なると思うことがあるので、算数・数学を学ぶ・教えるとはどういうことなのか、総論・各論、一般論・具体論含めて考えていきたいと思います。

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  • Re: 高校数学 整式の割り算 指導案

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 4月11日(月)08時53分26秒
  • 返信
 
>>2

ポイントの一つは整数の割り算とのアナロジー。

だから、整数の割り算を見直す作業が必要。


そこで、余りを一意的に求めることよりも、「余り群」とも言うべき概念で捉えることが重要。

20を6で割った余り群は、2+7n n:整数 の形で書ける整数全体、というような捉え方。

余りを一意的に定めておくことはそれはそれで便利だから、教える。あくまで余り群の中の代表、というイメージで捉えるようにする。

整数xをaで割った余りをφ(x)で表す。

φ(x+y)=φ(φ(x)+φ(x))
φ(xy)=φ(φ(x)・φ(y))

と言う具合に、φが準同型写像になっていることも抑えておきたい。

φ(x+y)=φ(x)+φ(x) とならないのは、

a=6でx=11、y=10で考えると分かるが、細かい話ではある。



以上と同様の話が多項式の割り算でも言えることを理解させる。


例えば、因数定理を教えないで、「x^100をx+2で割った余りを求めよ」を出題する。

ここで、最終的な数値を求めなくても計算式だけで構わないとしておく。
これは、おそらく算数でも有効。文字式を導入しなくてもそれと同様の一般化抽象化が可能となる。

因数定理を知らないで取り組むとしたどうするか?

最初はx^3など、商も余りも求められるケースをやるのが順当だろう。

このように、

出された問題が難しければ、自分で易しい問題にアレンジして様子を見る、

というのが、数学のほかの単元の勉強にも有効。

ここから、(-2)^100が見えてくるだろう。

最初から、x-αで求めさせると、すぐに状況が見えてしまって面白くない。

次に、2x+3 などもやって、最終的にはf(x)をx-αで割った余りはf(α)となることを確認する。

実際に、x-αで割る筆算をすると綺麗にf(α)が出てきて面白い。


次に、f(x)をx^2-5x+6で割った余りを出す問題。

2次式で割るから余りは1次式以下。ax+bと置いて、

f(2)=2a+b
f(3)=3a+b

で連立を解けばいい。


発展

x^100をx^2+4で割った余り?

虚数を知っていればx^2-5x+6の場合と本質的には同じ問題だが、虚数なしで解けるのか?

x^1、x^2、x^3、・・・を割ってみて法則性に気づけば解くことが出来る。

ただしこれも、x^2+Aというタイプのものだけで、虚数解が複雑になるタイプだと、x^1、x^2、x^3、を割った余りを具体的に求めて法則を見つけるのは難しくなる。


x^100を(x-p)^2で割った余りは?

優秀な生徒にはこのような重解になるケースを出題するのも面白い。


解法をいくつか書いておく

A 余りをax+bと置いて、x=pを代入。両辺を微分してx=pを代入する。あとは連立方程式を解く。


B 取り敢えずpを代入してb=p^100-apを求める。
x^100=(x-p)^2・Q(x)+ax+p^100-ap
ここから移項したり式変形をしてaを求める。その過程でいろいろ面白いことに気づく。


C x-p=tとおく。(t+p)^100=t^2・Q(t+p)+tの1次式
左辺を2項定理で展開すればいい。tが1次と0次の箇所だけ。

100p^99・t+p^100 となり、t=x-pを入れることで

100p^99・x-99p^100 を得る。 この方法は昨日気づいた。(x-p)^3で割った余りなども容易に求められる。



Aは微分、Bはx^n-y^n=(x-y)(・・・・)の変形、Cは変数変換、それぞれ重要な概念。

微分を知らないでAの方法に気づいて微分の概念に自分で気づく、というのは考えにくいが、B、Cの方法を自分で気づくことはありえるし、
x^n-y^n=(x-y)(・・・・) という公式に自分で気づく可能性はある。


いずれにしてもあえて標準の問題から外れた問題に取り組むことで数学全般へのつながりが見えてくる。

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  • 高校数学 整式の割り算 指導案

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 4月 8日(金)23時26分48秒
  • 返信
 
 高校数学ではなぜか多項式の割り算とは言わないで整式の割り算と言う。どっちもでいいから、私は馴染み深い多項式を使う。もちろん、単項式も多項式。

 ここのところは、なぜ割り算をするのか、という動機付けが難しい。この先数学を勉強すると、いろいろ面白いことになるのだが、最初の導入は天下り的になってしまう。これについては今後も検討課題。



【0】 余りのある割り算を思い出してもらう。

20÷6の商と余りを求めてもらう。当然、3・・・2となる。

次に、20を6と3と2で表してもらう。大抵20=6×3+2となる。

次に、20=6x+y となる整数の組をいくつか求めてもらう。
xは任意の整数が入り、それに応じてyが一意的に決まることを理解する。

このようなyが2+6n n:整数 などの形で表されることを理解する。
そのために、条件を満たすyのうち、100以上のもので最小のものは? というような問題も出してみる。

こうして、yが 2+6の倍数 なることを確認して、その中で、0以上の整数のもので最小のものを、余り と称していることを確認する。

今度は、20を0で割った余りを求めてもらう。「20」と答えられたら、割り算のイメージが、

20÷0ではなく、20=0×( )+( ) に当てはまる整数を探すというイメージに転換しているといえる。


【1】 多項式の割り算

多項式の割り算も同様で、f(x)とg(x)を与えて

f(x)=g(x)・Q(x)+R(x)を満たす、Q(x)とR(x)の組をいくつか求めてもらう。

今度は、それらのR(x)の中で次数が最も小さいものを求めてもらう。

このR(x)を 余り と定義する。
一意的に定まり、g(x)よりも次数が小さいことを確認する。


【2】 x^100+4x^23-7x^10 を
x-1 で割った余り、x+1で割った余り、x^2-1で割った余り を求めてもらう。

まともにやると大変だが、工夫することで簡単にもとまる。

x^5+3x^4-7x^3+2x^2+4x+1 をx^2-3x+2で割った余りを求めてもらう。


因数定理に気づかなければ、x-αで割った余りを求めてもらう。


因数定理を教えて、因数定理を使う問題を解いてもらうのではなく、
因数定理を教えないで、因数定理に気づかないと苦しい計算をすることになる問題を出す。


【3】 多項式の割り算を筆算のように行う方法などは、後でゆっくりやればいい。 

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  • 教えたとおりに解いたのなら、それは理解していないのでは?

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 3月17日(木)16時31分52秒
  • 返信
 
 「教えたのと違う方法で解いたからバツ」と言う人がいて呆れる事が多い。しかも「教えたの通りの方法で説かなかったということは理解していなかったから」という意味不明なことを言う人もいる。

 教える側が算数・数学を学ぶとはどういうことかが分かっていないといわざるを得ない。

 教えたとおりの方法で正解に行き着いた
 教えたのと異なる方法で正解に行き着いた

理解している蓋然性が高いのは当然、後者である。だからと言って、前者が理解していないとは限らない。


では、子供の理解しているかどうかを知りたいと思ったらどうするか?

理解しているなら正解で、理解していないなら不正解になるような問題を出せばいい。

それは、「教えた方法をそのまま真似するだけでは解けない問題」をだすこと。

例えば多項式の微分を学んだ状態だと、「指数を前に出して指数を1つ減らせばいい」と覚えるだけの高校生が実に多い。

そこで、「微分の意味は?」などと質問しても、曖昧な答えが返ってくるだけだろう。また、「指数を前に出して指数を1つ減らすこと」と答えても間違えとは言えない。代数学では微分をそうやって定義する。

 ここで、「1/(x^2+1)の微分は?」などと問う。多項式の微分しか学んでなくても微分の意味を理解していたら何とか解けるはず。


 3×6を解ける子が掛け算の概念を知らないで九九を暗記しただけなのか、ちゃんと解しているのかを知りたければ、12×3を解かせればいい。

 掛け算が何かを知っていれば、2桁の掛け算を習っていなくても解けるはず。

「こんなの習っていない」といったら、理解しているかどうかあやしい。


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