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  • 算数・数学の学び方・教え方について、あれこれ

  • 投稿者:積分定数
 
 似たようなタイトルで遠山啓の本があったけど、まねしたわけではありません。掛け算の順序指導をしている教師とやり取りしていて、そもそも目指すべき方向が私と根本的に異なると思うことがあるので、算数・数学を学ぶ・教えるとはどういうことなのか、総論・各論、一般論・具体論含めて考えていきたいと思います。

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  • 「セルフ塾のブログ」でのやり取り その7 まとめ

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 5月 9日(月)01時59分57秒
  • 編集済
  • 返信
 
これ以上の意見交換は不毛だと思います。
 それで、ぼくはこの意見交換を終わりにしようと思います。



とのことなので、これまで書いたこととも重なる点もあるが、まとめる。

なお、当然ながら、ブログ主の人格を攻撃することが目的ではなく、あくまでブログの内容に関しての私の考えである。

なお「セルフ塾のブログ」に書かれたことに関しての考えであって、ブログ主であるselfyojjiさんが実際に塾でどう教えていたのかは分からない。

もしかしてブログで書いてある教え方に対して、積分定数が批判しても、実際にselfyojjiさんはそうは教えていなくて、私の批判はあたっていない、ということもありえる。

 結局は文面でしか分からないから仕方がない。
また、ブログとして不特定多数に公開されていて、小・中学生や教える立場の人も見る可能性が高く、ブログ主もそれを望んでいるのだから、ブログ主が実際に塾でどう教えたかとは独立に、ブログの内容で批判すべきことがあれば批判すべきだと思っている。

http://selfyoji.blog28.fc2.com/blog-entry-4763.html
ケーキ1/3個で100g。1個では何gか。
 上の場合と似ています。3個が1/3個になっているだけです。
 1個の重さを求めているという点でも同じです。

 だから100÷1/3 で求めるのです。

 1/3個で100gなら1個では300gというのは分かります。
 そして、式を書かせると
 100×3 と書く子が多いです。

 答えは正解になりますが、問題文の中の3が使われていません。
 だから、式は100×3ではいけないのです。

 式は、100÷1/3でなければいけないのです。


はっきり言うと、これはやってはいけない最悪の教え方である。
あのブログを読んだ小・中学生は、「100×3では駄目で00÷1/3でなければいけない」などというのは無視しないとならない。
算数・数学を教えている人は、やってはいけない最悪の教え方であると認識しないとならない。


 まず原則として、どんな方法であれ正解が出ている以上、基本的にそれは認めるべきである。

 とはいえ、教えたい側が望んでいない方法で解かれた場合に、望んだ方法に誘導することが全て否定されるわけではない。
効率の悪いやり方をやっていれば、「もっといい方法があるよ」と誘導することもありえる。

 「はじき」を使って解くという私が蛇蝎の如く嫌う方法も一応は認めざるを得ないが、その場合は、単純に公式を当てはめたら解けない問題を出して、理解することを促すことになる。


 しかし、今回のケースは、「ケーキ1/3個で100g。1個では何gか。」という問題で100×3と解いたというケースである。

この問題を100×3で解くのはもっともエレガントで簡潔で優れた解法である。

これを敢えて否定する指導などありえないし、あってはならない。

例え分数の割り算を知っていても、こういう場合には100×3と求めることが出来るようになることこそ、目標とされないとならない。

 そのためには、誰に気兼ねすることなく、教師の意図など気にしないで、「先生はどんな解法を望んでいるのだろうか?」などと余計なことを考えずに、算数・数学それ自体に取り組むようにさせるべきである。

 算数・数学は伸び伸びと自由に取り組むべきである。



 ところがブログ主はまったく逆のことを主張している。


 算数・数学教育の目的・目標は、このような問題で「100gの3倍」と発想できるようにさせることである、と私は考える。

 それをさせない指導と言うのは、そもそも算数・数学教育とはいえない。

 ブログ主は色々理由を述べているが、まったく説得力がない。

仮に指導上の都合で、「ケーキ1/3個で100g。1個では何gか。」を「100gの3倍」と発想することを押さえつけないとならないとしたら、そのような指導は間違っている。



では、ブログ主はなぜ「100×3」では駄目だといっているのか?


 わり算というのは、1あたり量(単位あたり量)を求めたり、いくつ分を求めるときに使う計算です。
 ここでは、1あたり量を求めることに限ることにします。

 ケーキ3個で300g。1個では何gか。
 300÷3 で求めますね。わり算です。分けています。そして、1個の重さを求めているのです。

 ケーキ1/3個で100g。1個では何gか。
 上の場合と似ています。3個が1/3個になっているだけです。
 1個の重さを求めているという点でも同じです。

 だから100÷1/3 で求めるのです。

 1/3個で100gなら1個では300gというのは分かります。
 そして、式を書かせると
 100×3 と書く子が多いです。

 答えは正解になりますが、問題文の中の3が使われていません。
 だから、式は100×3ではいけないのです。

 式は、100÷1/3でなければいけないのです。


不可解と言うほかない。a個でbgなら1個の重さは割り算で求められるが、それ以外の方法で求めてはいけない理由はまったくない。


その後、ブログ主は以下のような理由を書いた。

問題文の数を使って式を立てる
http://selfyoji.blog28.fc2.com/blog-entry-4765.html

さて、式はなぜ書くのか。
 それは、自分がどのように解いたのか、その思考した過程を他人に知らせるためです。

これは、算数教育界に蔓延しているおかしな考え方である。思考を伝えたければ言葉を使えばいい。教える側も、「どういう風に考えたの?」と言葉で聞けばいいだけ。

なぜ、式と言う乗せられる情報がかなり限定されている簡潔な記号列で思考を伝えないとならないのか、まったくわからない。

いろいろ考えて、ああ、あなたはこのように考えたのですね、というのではなく、式を見たらすぐにその考えが分かるようにするのです。

ケーキ3個で300g。1個では何gか。 という問題で、100×3という式を立てた子がどのように考えたのか分からないとしたら、その人には算数・数学を教える資格はない。


でも、問題文の中の数を使って式を立てる、ということを指導するのは難しいことではありません。それが他人に自分の思考を見てもらう一歩です。

 小学生のときから、そのような指導をすべきだと思うのです。


 100×3 と書いてきたら、これではだめだ、文中の数を使って書き直しなさい、と言うのです。もちろん、そでができるように前もって指導する必要はあります。


何度も書いているが結局ブログ主からの回答はなかったことがある。


式を見たらすぐにその考えが分かるようにするのです。
という指示に従うなら、

問題文を見てすぐに「100gを3倍すればいい」と発想した場合
100×3 以外にどんな式を書けというのか? 


「考えを式で表せ」かつ「100×3は駄目」となると、
ブログ主は「3倍すればいい」と発想してはいけない」、と教えるべきだと主張していることになる。

一体、ブログ主はどういう生徒を育てたいのだろうか?


自己流で解いていると、壁にぶつかることが
http://selfyoji.blog28.fc2.com/blog-entry-4766.html

ぼくは、自分なりに工夫して、問題を解くことは大切だと思っています。
 確かに、100×3は間違いではありません。

 だから、分数のわり算を習っていないときに、100×3という式を立てたら、無条件でほめてあげるでしょう。

 しかし、分数のわり算を教えた。しかし、問題文では1/3が与えられているのに、100÷1/3 ではなく、100×3 という式を立てた、ということは、分数のわり算を理解していないということです。
 逆に言えば、ぼくら指導者がその子が十分に理解できるように教え込んでいないということです。

 分数のわり算の意味はきちんと理解して欲しい。だからこそ、100÷1/3 という式を立てるように指導しなければいけないのです。



ここもまったく意味が分からない。分数の割り算を理解している人であっても、100×3と発想して式を立てるのは、ごく普通のことである。

分数の割り算を教えたあとだからといっても、掛け算で簡潔に短時間で効率よく出せるのだから、そのほうが合理的である。

分数のわり算を教えたから、例え効率が悪くても分数の割り算を使うべき、という発想は一体どこから出てくるのだろうか?

これでは教わる側は、与えられた問題の答えを求めることよりも、指導者の意図を忖度することに神経を使わないとならなくなる。

私が教える場合、等差数列の総和の公式を教えた直後に、もし1+2+3をこの公式に当てはめて解く生徒がいたら、不安になる。その生徒が、和の公式が成り立つかどうかを確認するために簡単な数値でやっているのならもちろん問題ないが、等差数列の和は公式を使わないとならない、と思い込んでいたら、その考えを訂正する必要がある。

この点もブログ主とまったく逆である。

ちょっと勘のいい子がいました。
 中1になり、方程式を学びます。

 でも、両辺を同じ数でわる、移項する、ということは教わっても、それは使わずに自己流で解いていました。
 適当な数を代入するのです。

 「3x+5=11 xは?」、というとき、勘を働かせてxに2を代入し、
 3(2)+5=11 成り立った、だからx=2 のように。

 間違いではありませんね。よく考えたものです。

 でも、解が分数になるような方程式になると、パニックにおちいて、「こんな問題が解けるはずがない」と怒っていました。壁にぶち当たったのです。

  新しい知識を学ぶとき、それが理解できないから、既知のもので代用するという場合は、新しい知識をきちんと教えるべきです。
 それをしないのは、指導の放棄です。



ブログ主は、「100×3を認める」というのを「分数の割り算を理解していなくても放置する」と勘違いしている節があるが、もちろんそんなことは誰も言っていない。

方程式を当たりをつけて代入して求めるのもなんら問題ない。


ブログ主は解が分数になると代入で求める方法が通用しなくなるといっているが、それなら解き方を教えればいいだけである。
代入で求められるケースまで移項などでやらせる必要はない。

 ブログ主は水道方式の影響か、「一般から特殊」というのを重視しているようだ。私はそのように教える順序を固定することに疑問があるが、いずれにしても、「一般から特殊」というのは教える側が配慮すべきことで、教わる側がそんなことを気にする必要はない。

 ブログ主はもしかして、「代入で求められるのは数値が簡単な特殊な場合である。それよりも移項などで求める方法がまずは基本で一般的」と考えているかもしれないが、

方程式と言うものを広く見た場合には、代入で求めるほうが一般的である。

例えば割り算の筆算、仮商を立てるというのはまさに当たりをつけて代入してもとめることになる。
2次以上の方程式や因数分解、代入して当てはまるものを見つける。
積分は、微分したらその形になる関数をあれこれ探すことである。
√1000の整数部分は? 当たりをつけて代入して求める

こうしてみてくると、移項などで求める、という一般的解法は、1次方程式という特殊なケースだから使えるのであって、代入で求めるほうがむしろ一般的とさえ言える。

つまり、特殊だとか一般だとか言っても、それらは相対的であり、また見方によって逆転するものであり固定されたものではない。

 さらに「一般→特殊」がいいか、「特殊→一般」がいいかと言うことも、それこそ一般的なことは言えないでケースバイケースである。


 以上長くなったが、再度もう一度言う。

1/3個で100g、1個の重さは?

100×3という発想を否定する指導は最悪である。

http://


  • [12]
  • 「セルフ塾のブログ」でのやり取り その6

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 5月 7日(土)20時58分19秒
  • 編集済
  • 返信
 
自己流で解いていると、壁にぶつかることが
http://selfyoji.blog28.fc2.com/blog-entry-4766.html

>ぼくには、自分の主張を証明するデータは持ち合わせていません。積分定数さんもそのようです。
 お互いに自分の思いで語っています。
 これでは、かみ合うことはないでしょう。

そんなことはありません。私の主張は仮に「100×3」とする子は分数の割り算を理解していない可能性が高いとしても、「100÷1/3」と書かせるように指導する必要はないと言うことです。

 分数の割り算を理解していなければ分数の割り算を教えればいいだけのことです。

分数の割り算を理解しているかどうかを、「1/3個で100g、1個では?」を100×3とするか、100÷1/3とするかで判断したり

分数の割り算を理解させるために100÷1/3と書かせることに意味があるとは思えません。


この主張は、仮に「100×3」と書く生徒の100%が分数の割り算を理解していなくても成り立ちます。

その子が「100÷1/3と求めてはいけない」と思っていたら、「そんなことはない。」と教える必要はあるのでしょうが、「100×3とするべきではない」とする必要はないでしょう。


>これ以上の意見交換は不毛だと思います。
 それで、ぼくはこの意見交換を終わりにしようと思います。


了解しました。


>壁にぶつかるような問題を出せばいいのではないですか?


これに関して、私も同感だし、実際に作るのは難しくありません。もし実際に作るのが難しいとするなら、壁にぶつからないことになり、selfyojjiさんのこのブログの主張と矛盾することになります。

 等差数列の総和の公式を習った後に1+2+3をやらせて公式を使わなかったからと言って、理解していないと見做したり公式を使うように指導するのは馬鹿げています。

 1+2+・・・・・+1000 と言うような問題を出すべきでしょう。

分数の割り算を教える必要があるのは、分数の割り算が必要な状況があるからでしょう。だからそういう問題を出せばいいのです。

1/3個で100g、1個では?

では分数の割り算を使わないで難なく解けてしまうので、分数の割り算の必要性を感じさせるのは無理でしょう。

  • [11]
  • 「セルフ塾のブログ」でのやり取り その5 指導者が望む答案を書かせるには

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 5月 7日(土)16時43分18秒
  • 返信
 
自己流で解いていると、壁にぶつかることが
http://selfyoji.blog28.fc2.com/blog-entry-4766.html

>例えば、「1人3個のあめ玉を集めたら12個になった。何人があめ玉を持ってきたのか」という問題で、 式(3×4)  答え(4人) とする子がいます。
 この子の頭の中では、3×x=12 という方程式をつくり、解いたのでしょう。でも方程式を作る力はもちろんないので(3×4)とすると12になるから、ということで考えたのです。
 考え方に間違いはありませんね。それなら、式は(3×4)でいいのでしょうか。
 この子は、わり算の概念ができていないので、かけ算で解いたのです。
 わり算という方法を教えてあげなければいけません。


3×4とした子は問題をちゃんと理解して正しく答えている。

割り算を理解していないとはいえない。割り算の式や言葉を知らなくても、このように解いていると言うことは割り算の概念を潜在的に理解しているといえる。

割り算とは掛け算の逆であり、12÷3の計算は、3×x=12 のxを求めることに他ならない。

仮に割り算の記号を教わって知っていて、割り算の概念を理解していても、3×4=12 と書くことはありえる。

この子にどうしても12÷3という式を書いてほしければ、問題に「等式の右側に求める数値が繰るような式を書きなさい」と指示するしかないだろう。

その指示がない状態で、「割り算記号を習ったのだから、等号の右側に求める数値が繰るような式を立てるのは当然のこと」とすべきではない。

 いちいち問題文に書くのが煩わしいからということで、これを暗黙の了解とするとしたら、

子どもに「暗黙の了解を覚える」という負担をかけることになる。しかも、暗黙の了解はこれだけではないとしたら、負担はより大きくなる。また、これがselfyojjiさんが教える際のローカルルールではなく、一般的なものと子どもが勘違いすることもありえる。


そうすると、「1日に2匹に分裂する単細胞生物が1匹いる。20匹以上になるのは何日後か?」という問題が解けなくなってしまう。


「等式の右側に求める数値が来るような式を書きなさい」と指示しなくても、そうせざるを得ないような問題を作ることは出来る。


1人帰ったので3人になった。最初にいたのは何人?

4-1=3 と求めても構わない。式を書かなくても構わない。理解していて正しい答えが求められるならそれで構わない。

何のため式を要求するのだろうか?その子が理解しているかどうかを確認するため?
しかしこんな簡単な数値では、式に書くまでもなくすぐに分かるから、式を書いてもそのこが理解しているかどうか分からない。そもそも正しい答えが得られている段階で「理解している」と見做すべきではないのか?

どう考えたかを知りたかったら、直接口頭で聞いてみればいい。



ここで、「答えが統合の右側」と明示しないで、3+1=4に相当する式を書いてほしいとする。
明示しないでなぜそのような式を書いてほしいのか、疑問もあるが仮にそういうことにしておく。

どうすればいいか?




a人帰ったのでb人になった。最初にいたのは何人?


と言う具合に、文字式を使う手もあるが、文字の導入は難しいと言う子もいるだろう。

7693人帰ったので749人になった。最初は何人?

計算式だけでもいいよ。その計算をしたら最初の人数が出るような式を出してくれたら計算しなくてもいいよ。

よほどの計算好きな子でもない限り、7693+749 とするだろう。


このように演算記号が残る答案も是認することは、その後の文字式指導の伏線にもなる。


「教えた方法があるからそれを答案に書くのが当然」ではない。


等差数列の総和の公式を教えた後であっても、1+2+3は普通に計算したほうが早い。

公式を使ってほしければ、公式を使わざるを得ない問題を出すべき。

そのような問題に触れることで公式のありがたさが分かる。

  • [10]
  • 「セルフ塾のブログ」でのやり取り その4

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 5月 7日(土)16時07分57秒
  • 返信
 
100×3とした子は理解していないのか?


まず、問題文の状況はちゃんと理解している。

また、分数の割り算を理解していないかどうかに関しては、控えめに言っても「不明」、ことによると÷1/3とする子よりも十分理解しているかもしれない。


1/3個で100g、1個の重さを求めるのに、分数の割り算は不要。分数の割り算を仮に理解していたとしても、3を掛けるという発想の方がエレガント。

十分理解していれば、÷1/3 と ×3 はまったく同じことと認識されて、無意識に楽な式である×3を書くことになる。

その状態の子に「÷1/3と書くように」と指導することは、理解の向上になんら寄与しない。


逆に、÷1/3で求めた場合はどうか?これも理解しているのかそうではないのかは不明である。


牛刀の使い方を教えた後に、鶏を切るのに牛刀を使っていなかったとして、「この子は牛刀の使い方を知らない」と判断すべきではない。

むしろ、鶏を割くのに牛刀を使っていたら「この子は何でもかんでも牛刀で切れると思っているかもしれない」と疑う必要がある。


3:6=14:x これを、内項の積=外項の積 の公式を使って解く子は公式を暗記しているだけで比の概念を理解していない可能性が高い。

すぐに28と出せる子は理解している可能性が高い。


だからと言って、「こういう場合には公式を使わないですぐに28と出すように」と指導することに意味はない。


まずはその子が理解しているかどうか見極める必要がある。

1:2:3=5:x:y

これも 内項の積=外項の積 で無理やり解こうとしていたら、比を理解していない疑いが濃厚。

その場合は改めて比について教えることになる。


selfyojjiさんの主張だとむしろ逆に、内項の積=外項の積 を教えた後は、3:6=14:xを

内項の積=外項の積を使った子は「理解している」とみなして、

一発で出す子がいたら、理解していないとみなして、内項の積=外項の積 を使うように指導する

となるように思える。



教わった方法でやった子は理解していないでやり方を覚えていただけ
教わった方法と別の方法でやった子は理解している

ということもありえるのだが。


また、「教わった方法は理解している。我流は理解していない」と見做すすようにしていれば、子どもは自分で試行錯誤するよりも、解法を覚えてそれを実行することに一所懸命になる。

 そして結果的にはみんなが教えたとおりに解くことになって、「みんな理解している」となりかねない。



1/a+1/bを通分してみて と中学生に言ったら困ってしまった子がいる。

文字式は理解している。1/2+1/3の通分は出来る。でもこれだと出来ない。

どうしてなのか分からなくて色々聞いたら「最小公倍数が分からないからできない」と言われた。

この子は「通分は最小公倍数でやる」と教わってそれを素直にやってきたのだろう。そして教師も「この子はちゃんと理解している」と見做しただろう。

一方で、1/2+1/8=8/16+2/16=10/16=5/8 とする子は「理解していない」と見做されていたかもしれない。

しかしこの子なら1/a+1/bは難なく出来たかもしれない。
また、「通分と言うのは分母を共通にすればなんでもいい。」と考えているなら、「通分は最小公約数でないとやってはいけない」と間違って理解しているよりも優れているとも言える。


もちろんこの子を放置していいと言う話ではない。最大公約数で通分するほうが楽であることを教える必要がある。

 私がここで言いたいのは、

教えた方法でやる
我流でやる

前者が理解していて、後者が理解していない、とは限らない。むしろ逆のこともありえるということ。

  • [9]
  • 「セルフ塾のブログ」でのやり取り その3

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 5月 7日(土)15時31分44秒
  • 返信
 
自己流で解いていると、壁にぶつかることが
http://selfyoji.blog28.fc2.com/blog-entry-4766.html

>しかし、分数のわり算を教えた。しかし、問題文では1/3が与えられているのに、100÷1/3 ではなく、100×3 という式を立てた、ということは、分数のわり算を理解していないということです。

>分数のわり算の意味はきちんと理解して欲しい。だからこそ、100÷1/3 という式を立てるように指導しなければいけないのです。


ここでは2つの論点がある。

100×3とした子は理解していないのか?
100÷1/3と書くように指導すべきなのか?


前者に関しては後で論ずる。

後者に関して、一般論として以下のように問題を設定する。


ある問題に関して、解法AとBで解いた子がいた。どちらも正しい答えが求まる方法であるが、どちらにも、ちゃんと理解している子とそうでない子が混在しているとする。過去の統計から以下のようなことが分かっているとする。


解法Aで解いた子で 理解しているのは20% 理解していないのは80%
解法Bで解いた子は全員が理解している



この場合、解法Aを使った子に解法Aを放棄して解法Bを使うように指導することは有効であろうか?


まずこの問題をやらせることで、子供が理解しているかどうかを判断する材料にはなるだろう。

Bで解いた子は取り敢えず理解しているということでOK

Aで解いた子は理解していない可能性が高い。

そうすると、その子が本当に理解しているかどうか見極めるために他の問題を出したりすることになる。

あるいは、「理解していない」とみなして理解するように教えることもあるだろう。


しかしそれは「Bで解くように」と教えることを必ずしも意味しない。


解法AとBで理解している割合に有意な差があったとしてもそれは相関関係が提示されたわけであって、因果関係があるかどうかは分からない。

解法Bでやるようにと指導した結果、解法Bで解くようになっても理解が促された結果かどうかは分からない。


毎晩高級料亭で飲食する人に高所得者が多かったとしても、毎晩高級料亭に行くことで所得が上がるわけではない。


また、解法AかBかで、その子が理解しているかどうか推測できるにもかかわらず、「Bで解くように」と指導することで、理解していなくてもBで解く子が出てきてしまうかもしれない。

そうなると、AかBかで、理解しているかどうか判断することが困難になってまう。


理解させるために、Aで解いた子に「Bで解くように」と指導することが有効であるためには、

Aで解いた子は理解していない可能性が高い
Bで解いた子は理解している可能性が高い

という事実だけでは不十分。

Aで解いていた子がBで解くようにすることで理解が促される

ということにならないとならない。


100×3と書いた子に100÷1/3と書くように指導することで理解が促されるかどうか、私は疑問である。


「理解している」の定義を「Bで解く」としてしてしまうのもまずい。

selfyojji さんの主張を見ると、「ちゃんと理解しているのならそれが指導者に分かるように100÷1/3という式を立てるべき」というように思える。

そうすると子どもは、「理解しようとする」のではなく「100÷1/3という式を立てる」ことになる。

つまり、理解することではなく、指導者から「この子は理解している」と思われるような答案を書くことになる。

理解することと、「指導者に理解しているとみなされる答案を書く」ことは必ずしも一致しない。

指導者の責務は、その子が本当に理解しているかどうかを見極めることである。そのためにいろんな問題を出すこともあるだろう。その子の答案や返答、表情などから判断することもありえる。


「答案Aだと理解していないとみなす。答案Bだと理解しているとみなす。だから答案Bを書くようにしなさい」

と指導することではないはず。

  • [8]
  • 「セルフ塾のブログ」でのやり取り その2 矛盾した指示  

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 5月 7日(土)14時49分41秒
  • 編集済
  • 返信
 
http://selfyoji.blog28.fc2.com/blog-entry-4765.html
>さて、式はなぜ書くのか。
 それは、自分がどのように解いたのか、その思考した過程を他人に知らせるためです。私はこのように考えてこの問題を解きました、ということを見せるためです。だから、自分だけが分かるような書き方ではいけないのです。




http://selfyoji.blog28.fc2.com/blog-entry-4763.html
>1/3個で100gなら1個では300gというのは分かります。
 そして、式を書かせると
 100×3 と書く子が多いです。
 答えは正解になりますが、問題文の中の3が使われていません。
 だから、式は100×3ではいけないのです。
 式は、100÷1/3でなければいけないのです。



ケーキ1/3個で100g。1個では何gか。


この問題を見て「100gの3倍だから300g」とすぐにわかった子はどうすればいいのか?


考えを式に表すように、とのことだから、100×3 式にしたら


「それではいけない」と言われることになる。


100÷1/3という式を立てることは、自分が思いついた方法と違うので、考えを式で表現する、という指示に反することになる。


ここでダブルバインドに陥ってしまう。


これを裂けるには、「100gの3倍だから300g」と思いつかないようにして、教わった方法が思いつくようにしないとならない。


これは算数・数学教育が目指すべき方向なのだろうか?


一方でこうも書いてある。


http://selfyoji.blog28.fc2.com/blog-entry-4766.html
>学習においては、できるだけスマートに解くように指導しています。
 スマートというのは、先人が考え出した合理的な方法です。それよりもさらにいい方法を自分で編み出しているのならもちろんいいです。すばらしい。


とのことだが、スマートさと言うことで言えば、100×3と発想するのがスマートともいえる。



問題文を見て幸か不幸か「100gの3倍」と発想してしまったら、
考え方を式に表現するために100×3とすべきなのか?

でも「それではいけない」という。

では、「100gの3倍」と考えても、式としては100÷1/3と書くべきなのか?

それでは、考えを式に表すことにならない。

では、「100gの3倍」と発想しないようにしないとならないのか?


それだと今度は「できるだけスマートに解く」という指導に反することになる。


どうにも困ったことになってしまいます。

  • [7]
  • 「セルフ塾のブログ」でのやり取り その1  想定・設定がアンフェアでは?

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 5月 7日(土)13時32分38秒
  • 編集済
  • 返信
 
両者は、1/3個で100gのケーキ1個の重さは? と言う問題で、100×3=300 と式を立てて求めることに関して、

積分定数  何の問題もない、
selfyojjiさん 100÷1/3という式を書かせるように指導するべき

という具合に意見が異なっている。


自己流で解いていると、壁にぶつかることが
http://selfyoji.blog28.fc2.com/blog-entry-4766.html
>まだ1/3程度ならいいのですが、帯分数のわり算が出てきたときに、壁にぶち当たってしまいます。
>それもできるが、30×4 にしたならまだいいのですが、そうでないなら壁にぶち当たってしまいます。
>新しい知識を学ぶとき、それが理解できないから、既知のもので代用するという場合は、新しい知識をきちんと教えるべきです。
 それをしないのは、指導の放棄です。


100×3という式を立てた子は壁にぶち当たる、として、きちんと教えないのは指導の放棄、とのことだが想定・設定がアンフェアに思える。

100×3という式を立てた子が100÷1/3と書いた子に比べて壁にぶち当たる可能性が高いかどうかは後で論ずるが

壁にぶち当たったら、それを乗り越えられるように教えるのは言わずもがなの当然のこと。「きちんと教える必要がない」とは誰も言っていない。


100×3という式を認めることと、きちんと教えることはなんら矛盾しない。

方程式を数値を当てはめて解く子の例が出されているが、

移項などを使わないで当てはまる数を見つけて解くことを認めることが、

分数が解になる場合には困ってしまっている状態になっても放置することを意味するわけではない。


 逆の状況を想定することも出来る。

2^x=8 や x^x=27

方程式を移項などを使って教わったとおりに解く子はこのような問題で困ってしまうかもしれない。未知数に数値を当てはめて解く子はこのような問題も解ける可能性が高い。

2x+3=11 を移項などで教わったとおりに解いた子が

2^x=8 や x^x=27 などを解けなかったとして放置するのは指導の放棄。

もちろんこんな方程式は中学では扱わない。しかし「方程式とは当てはまる未知数を見つけることである」と言うことが分かっていて、累乗の表記が分かっていれば解けるはずである。

これが解けないとして、1次方程式は教わった方法で解けるとしたら、その子は方程式は何なのか、というのを理解していなくて、教わったとおりに手を動かしているだけかもしれない。


100×3や、移項などを使わないで当てはまるxを見つける、という答案を認めることへの反論として「壁にぶち当たる」「きちんと教えないのは指導の放棄」ということが成り立つとしたら、

100÷1/3や、移項などを使っての標準的な解法を是とすることに対しても同様にして、「壁にぶち当たる」「きちんと教えないのは指導の放棄」という反論が成り立ってしまうと思います。


 そういうことではないと思います。100×3という式を認めることは、壁にぶち当たったときに教えないことをなんら意味しないわけです。

 解が分数になると出来ないのなら、できるように教えるのは当然です。そのことと、「あてはまるxを探し出す』と言う方法を認めることは矛盾しません。

  • [6]
  • 「セルフ塾のブログ」でのやり取り その0

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 5月 7日(土)12時59分21秒
  • 返信
 
http://selfyoji.blog28.fc2.com/blog-entry-4763.html
http://selfyoji.blog28.fc2.com/blog-entry-4764.html
http://selfyoji.blog28.fc2.com/blog-entry-4765.html
http://selfyoji.blog28.fc2.com/blog-entry-4766.html


このブログに関してやり取りをしているが、論点がいくつかあるのでこちらで自分の考えを書く。


ブログ主はmixiで知り合いとなりマイミクにもなっている。
英文法に関しては私と考えが近い。
http://selfyoji.blog28.fc2.com/blog-entry-4763.html?q=%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%AE%9A%E6%95%B0&charset=utf-8#comment

また私に水道方式や遠山啓を勧めてくれた人でもある。それまで名前を知ってはいたがちゃんと読んだことはなかった。

それで色々読んで、大いに参考になる部分もあった。
しかし、水道方式・遠山啓・銀林浩・数教協の教え方は大きな間違いが潜んでいると考えている。


 いずれにしても、両者の関係がどうであるかとは独立に、互いの考えを披露しあい異論があれば批判する、というようなことは健全なこと。

 当然のことだが、別に喧嘩しているわけではない。

  • [5]
  • 方程式を解くとは条件にあう数を探し出すこと

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 4月22日(金)10時16分19秒
  • 編集済
  • 返信
 
方程式を解くとは条件にあう数を探し出すこと

当たり前と思うかもしれないが、この当たり前のことが分かっていない生徒が多い。


方程式を教わった後に 0.2x+0.3x=5x とする生徒は多い。

同じものを違う式で表現するという式変形と、当てはまる数を捜し求める方程式の違いが分からないで

0.3x+0.7=0.1 という問題だと条件反射的に10倍して
3x+7=1 として解く

となっているので、0.2x+0.3xも見た瞬間に2x+3xとしてしまうことになる。


算数・数学全般がそうなのだが、各論での手順を教え込むことの弊害である。


まずは、移項とか小数なら全体を10倍するとか、そんな瑣末なことは後回しにして、

方程式を解くとは条件にあう数を探し出すこと

というのときちんと意識させるべき。



現在の方程式の教え方は、1次方程式 連立方程式 2次方程式 と言うような具合になっている。これだと教わる側も「1次方程式はこうやって解く」「連立方程式はこうやって解く」・・・と順に覚えていくことになりかねない。

 私はいきなり、x^x=27 というような問題をやらせることもある。

方程式を解くプリミティブな方法は、片っ端から代入して条件にあう数を見つけることである。

その上で、次々当てはめていくのは大変だから、効率よく見つける方法はないのか?、とか、アルゴリズムはないのか?ということで、各論に入ることになる。

「方端から代入して当てはまるものを探す」というのは、数学全般においてきわめて応用範囲が広い。


割り算
掛け算の逆算である。筆算するときに仮商を立てるのはまさに代入して当てはまるのを探す行為。


多項式の因数分解
(x+○)(x+△)=x^2+10x+16
○と△に好きな数を当てはめて展開して右辺と一致するかどうかを見ていく。
「たすきがけ」だの「足したら10、掛けたら16」など知らなくて、何度もやれば自然に身につく。


不定積分
x^3の不定積分は、F’(x)=x^3 を満たすF(x)を探すこと。まずは片っ端から当てはめていけば、いずれ正解に行き着く。


漸化式から数列を求める
これも片っ端から数列を入れてみる。


それぞれに関して、効率のいい方法などはあるが、まずはとにかく代入して当てはまるのを探す、という姿勢が重要。何度も代入していくうちに、あたりをつけられるようになる。


不等式も同様である。

x^2-10x+21≦0

最初は、「この条件を満たす整数をひとつだけでいいから見つけて」「見つかったら、それ以外にも見つけてみて」と言う具合にやる。


そうしないと、単に手順を覚えることになりかねず、そうなると、上に凸、下に凸、≦、≧、などでそれぞれ異なる手順を覚えることになりがち。

そうなったら数学がわからなくなるのは必至。

  • [4]
  • 公式を提示しないで分数の掛け算・割り算を教えてみた

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 4月21日(木)08時17分19秒
  • 返信
 
公式を提示しないで分数の掛け算・割り算を教えてみた
http://togetter.com/li/964852

  • [3]
  • Re: 高校数学 整式の割り算 指導案

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 4月11日(月)08時53分26秒
  • 返信
 
>>2

ポイントの一つは整数の割り算とのアナロジー。

だから、整数の割り算を見直す作業が必要。


そこで、余りを一意的に求めることよりも、「余り群」とも言うべき概念で捉えることが重要。

20を6で割った余り群は、2+7n n:整数 の形で書ける整数全体、というような捉え方。

余りを一意的に定めておくことはそれはそれで便利だから、教える。あくまで余り群の中の代表、というイメージで捉えるようにする。

整数xをaで割った余りをφ(x)で表す。

φ(x+y)=φ(φ(x)+φ(x))
φ(xy)=φ(φ(x)・φ(y))

と言う具合に、φが準同型写像になっていることも抑えておきたい。

φ(x+y)=φ(x)+φ(x) とならないのは、

a=6でx=11、y=10で考えると分かるが、細かい話ではある。



以上と同様の話が多項式の割り算でも言えることを理解させる。


例えば、因数定理を教えないで、「x^100をx+2で割った余りを求めよ」を出題する。

ここで、最終的な数値を求めなくても計算式だけで構わないとしておく。
これは、おそらく算数でも有効。文字式を導入しなくてもそれと同様の一般化抽象化が可能となる。

因数定理を知らないで取り組むとしたどうするか?

最初はx^3など、商も余りも求められるケースをやるのが順当だろう。

このように、

出された問題が難しければ、自分で易しい問題にアレンジして様子を見る、

というのが、数学のほかの単元の勉強にも有効。

ここから、(-2)^100が見えてくるだろう。

最初から、x-αで求めさせると、すぐに状況が見えてしまって面白くない。

次に、2x+3 などもやって、最終的にはf(x)をx-αで割った余りはf(α)となることを確認する。

実際に、x-αで割る筆算をすると綺麗にf(α)が出てきて面白い。


次に、f(x)をx^2-5x+6で割った余りを出す問題。

2次式で割るから余りは1次式以下。ax+bと置いて、

f(2)=2a+b
f(3)=3a+b

で連立を解けばいい。


発展

x^100をx^2+4で割った余り?

虚数を知っていればx^2-5x+6の場合と本質的には同じ問題だが、虚数なしで解けるのか?

x^1、x^2、x^3、・・・を割ってみて法則性に気づけば解くことが出来る。

ただしこれも、x^2+Aというタイプのものだけで、虚数解が複雑になるタイプだと、x^1、x^2、x^3、を割った余りを具体的に求めて法則を見つけるのは難しくなる。


x^100を(x-p)^2で割った余りは?

優秀な生徒にはこのような重解になるケースを出題するのも面白い。


解法をいくつか書いておく

A 余りをax+bと置いて、x=pを代入。両辺を微分してx=pを代入する。あとは連立方程式を解く。


B 取り敢えずpを代入してb=p^100-apを求める。
x^100=(x-p)^2・Q(x)+ax+p^100-ap
ここから移項したり式変形をしてaを求める。その過程でいろいろ面白いことに気づく。


C x-p=tとおく。(t+p)^100=t^2・Q(t+p)+tの1次式
左辺を2項定理で展開すればいい。tが1次と0次の箇所だけ。

100p^99・t+p^100 となり、t=x-pを入れることで

100p^99・x-99p^100 を得る。 この方法は昨日気づいた。(x-p)^3で割った余りなども容易に求められる。



Aは微分、Bはx^n-y^n=(x-y)(・・・・)の変形、Cは変数変換、それぞれ重要な概念。

微分を知らないでAの方法に気づいて微分の概念に自分で気づく、というのは考えにくいが、B、Cの方法を自分で気づくことはありえるし、
x^n-y^n=(x-y)(・・・・) という公式に自分で気づく可能性はある。


いずれにしてもあえて標準の問題から外れた問題に取り組むことで数学全般へのつながりが見えてくる。

  • [2]
  • 高校数学 整式の割り算 指導案

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 4月 8日(金)23時26分48秒
  • 返信
 
 高校数学ではなぜか多項式の割り算とは言わないで整式の割り算と言う。どっちもでいいから、私は馴染み深い多項式を使う。もちろん、単項式も多項式。

 ここのところは、なぜ割り算をするのか、という動機付けが難しい。この先数学を勉強すると、いろいろ面白いことになるのだが、最初の導入は天下り的になってしまう。これについては今後も検討課題。



【0】 余りのある割り算を思い出してもらう。

20÷6の商と余りを求めてもらう。当然、3・・・2となる。

次に、20を6と3と2で表してもらう。大抵20=6×3+2となる。

次に、20=6x+y となる整数の組をいくつか求めてもらう。
xは任意の整数が入り、それに応じてyが一意的に決まることを理解する。

このようなyが2+6n n:整数 などの形で表されることを理解する。
そのために、条件を満たすyのうち、100以上のもので最小のものは? というような問題も出してみる。

こうして、yが 2+6の倍数 なることを確認して、その中で、0以上の整数のもので最小のものを、余り と称していることを確認する。

今度は、20を0で割った余りを求めてもらう。「20」と答えられたら、割り算のイメージが、

20÷0ではなく、20=0×( )+( ) に当てはまる整数を探すというイメージに転換しているといえる。


【1】 多項式の割り算

多項式の割り算も同様で、f(x)とg(x)を与えて

f(x)=g(x)・Q(x)+R(x)を満たす、Q(x)とR(x)の組をいくつか求めてもらう。

今度は、それらのR(x)の中で次数が最も小さいものを求めてもらう。

このR(x)を 余り と定義する。
一意的に定まり、g(x)よりも次数が小さいことを確認する。


【2】 x^100+4x^23-7x^10 を
x-1 で割った余り、x+1で割った余り、x^2-1で割った余り を求めてもらう。

まともにやると大変だが、工夫することで簡単にもとまる。

x^5+3x^4-7x^3+2x^2+4x+1 をx^2-3x+2で割った余りを求めてもらう。


因数定理に気づかなければ、x-αで割った余りを求めてもらう。


因数定理を教えて、因数定理を使う問題を解いてもらうのではなく、
因数定理を教えないで、因数定理に気づかないと苦しい計算をすることになる問題を出す。


【3】 多項式の割り算を筆算のように行う方法などは、後でゆっくりやればいい。 

  • [1]
  • 教えたとおりに解いたのなら、それは理解していないのでは?

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 3月17日(木)16時31分52秒
  • 返信
 
 「教えたのと違う方法で解いたからバツ」と言う人がいて呆れる事が多い。しかも「教えたの通りの方法で説かなかったということは理解していなかったから」という意味不明なことを言う人もいる。

 教える側が算数・数学を学ぶとはどういうことかが分かっていないといわざるを得ない。

 教えたとおりの方法で正解に行き着いた
 教えたのと異なる方法で正解に行き着いた

理解している蓋然性が高いのは当然、後者である。だからと言って、前者が理解していないとは限らない。


では、子供の理解しているかどうかを知りたいと思ったらどうするか?

理解しているなら正解で、理解していないなら不正解になるような問題を出せばいい。

それは、「教えた方法をそのまま真似するだけでは解けない問題」をだすこと。

例えば多項式の微分を学んだ状態だと、「指数を前に出して指数を1つ減らせばいい」と覚えるだけの高校生が実に多い。

そこで、「微分の意味は?」などと質問しても、曖昧な答えが返ってくるだけだろう。また、「指数を前に出して指数を1つ減らすこと」と答えても間違えとは言えない。代数学では微分をそうやって定義する。

 ここで、「1/(x^2+1)の微分は?」などと問う。多項式の微分しか学んでなくても微分の意味を理解していたら何とか解けるはず。


 3×6を解ける子が掛け算の概念を知らないで九九を暗記しただけなのか、ちゃんと解しているのかを知りたければ、12×3を解かせればいい。

 掛け算が何かを知っていれば、2桁の掛け算を習っていなくても解けるはず。

「こんなの習っていない」といったら、理解しているかどうかあやしい。


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