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算数教育界では「2.5個」はアウト？
- 投稿者：積分定数
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小数の掛け算で、６×２．５を、「６を２．５個足したもの」というのを、算数教育界では忌避するらしい。
これについて情報収集と議論をするスレッドです。
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小数の乗法の学習水準に関する研究
岸本 忠之 1999年06月10日
筑波大学大学院教育学研究科
科学教育研究/23巻(1999)2号
https://www.jstage.jst.go.jp/article/jssej/23/2/23_KJ00003721260/_article/-char/ja/
https://www.jstage.jst.go.jp/article/jssej/23/2/23_KJ00003721260/_pdf/-char/ja
P122
＞児童は，必ずしも演算の意味を理解していなくとも，小数の乗法の文章題から演算決定できる．ここでいう演算の意味とは，割合の考えによる意味であり，「基準にする大きさをBとしたとき，このBに対する割合がpであるようなAを求める操作がB×pであるとまとめられたもの」である．しかしながら児童が小数の乗法の文章題からより確実に演算決定したり，乗数や被乗数を区別して演算決定できるためには，割合の考えによる演算の意味を理解する必要がある．
【ここでいう演算の意味とは，割合の考えによる意味であり】からは、割合の考えでなければいけないと考えていそうです。
【乗数や被乗数を区別して演算決定できるためには】
何故、乗数や被乗数を区別する必要があるのか何も述べていません。
P124
＞d．割合の考えによる演算の意味理解に関する問題
＞［A君の説明］
＞5x3は5＋5＋5で求められるから5×3は5を3回たすという意味です．だから60を2．3回たすということです．
＞［B君の説明］
＞かけ算は，もとにする大きさを1としたときその割合にあたる大きさを求めるということです，だから60を1としたとき，2．3にあたる大きさを求めるということです，
P125
＞d．割合の考えによる演算の意味理解
＞割合の考えによる演算の意味理解
＞「小数の乗法の演算決定に関する問題」4間中3問以上「（基準にする大きさ）×（割合）」の順序で正答．かつ「B割合の考え」を選択．
掛け算の順序によって、【割合の考えによる演算の意味理解】とやらを測っているようですｗ
P126
＞表7割合の考えによる演算の意味理解
＞A-×，B-○：A累加の意味はあてはまらないが，B割合の意味はあてはまる
＞A-○，B-○：A累加の意味もB割合の意味もあてはまる
A-×，B-○ 4年 15％ 26％ 23％
A-○，B-○ 4年 09％ 24％ 27％
からは、かなりの割合で「60を2．3回たす」と考えらると答えています。
>>1 の文献では、教員養成課程学生も「60を2．3回たす」と考えらると答えています。
P127
＞その結果，次の小数の乗法に関する4つの学習水準を設定した．
＞第Ⅰ水準において，児童は小数の乗法の文章題から演算決定できず，かつ小数の乗法の演算処理ができない．
＞第Ⅱ水準において，児童は小数の乗法の文章題から演算決定はできないが，小数の乗法の演算処理はできる．
＞第Ⅲ水準において，児童は小数の乗法の文章題から演算決定でき，かつ小数の乗法の演算処理ができる．
＞第IV水準において，児童は割合の考えによる演算の意味に基づいて小数の乗法の文章題から演算決定でき，かつ小数の乗法の演算処理ができる．
【割合の考えによる演算の意味に基づいて】とやらが最上位水準らしいｗ
>>1 の文献(2001年)では
＞小数の乗法において,累加の考えによる意味は,2.3個分や0.7個分のように通用しない｡
とありますが、「60を2．3回たす」とも考えられる人はかなりの割合で存在し、それで不都合を感じてはいないでしょう。
著者の岸本忠之氏は、現実を受け入れられないようです。
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算数科教科書における小数の乗法の歴史的変遷：『黒表紙教科書』から『算数』までを分析対象として
岸本 忠之 2018年10月25日
富山大学人間発達科学部紀要
https://toyama.repo.nii.ac.jp/?action=pages_view_main&active_action=repository_view_main_item_detail&item_id=16707&item_no=1&page_id=32&block_id=36
P17
＞尋常小学算術書 教師用 4 巻
＞高等小学算術書 児童用 4 巻 教師用 4 巻
＞ この教科書は，藤沢利喜太郎の影響があると指摘される（高木，1980, p.116）。藤沢は，分数よりも小数が重要であることを以下のように述べている。
＞「小数は整数と全く同一にして計算することを得又そこに小数の価値があるのです。実に整数と分数との入り雑ったものは計算上不便であるが，整数と小数との入り雑ったものは整数と同一の様に取扱て差支がないと云ふのは小数の大発明の世に行はれたる理由の一つであります。」（藤沢，1900, p.143）
＞ 教科書における小数と分数の指導順序は，小数の乗法・除法から分数の乗法・除法へ進む。『編纂趣意書』によれば，数と計算の種類の扱いは以下のようである。
＞「数の種類（整数，小数，分数）と計算の種類（加減乗除）とは独立せるものにして互に関渉することなし。是れ分数及ひ小数に関する計算の原則なり。例へは品物の単価に其数量を乗すれは其代価を得ることは其単価及ひ数量の整数なると小数なると分数なるとに関せさるか如く又尺数を六にて除すれは間数を得ることは其尺数ノ整数なると小数なると分数なるとに関せさるか如し。本書は児童をして此原則を十分に会得せしめ之に依りて小数及ひ分数に関する計算を為さしむることとしたり。蓋し小数及ひ分数に於ては其数の成立に於て既に乗除の意義を含めるを以て之を以て乗除する如きは複雑なる思考を要するか為めに児童は大に困難を感するを常とす。然れとも小数及ひ分数を単に一つの数なりと考へしめて其数の成立を顧みしめす上記の原則に依りて計算せしむる時は此困難を除去することを得へけるれはなり。」（文部省，1905a）
＞ 上記は，2 つのことを述べている。1 つは，数とその計算は無関係としていることである。例えば，80 × 3 は「80 の 3 個分」として意味づけられるが，80 × 2.7 は「80 の 2.7 個分」とは言えない。
いくら読んでも【「80 の 2.7 個分」とは言えない。】とは読み取れません。
【複雑なる思考を要するか為めに児童は大に困難を感するを常とす。】から【「80 の 2.7 個分」とは言えない。】と言っているのですかね。
岸本氏が曲解していると思われます。
P21
＞４．水色表紙教科書
＞ この改訂は，尋常小学校が国民学校に改称されたことによるもので，同時に教科が再編され，理数科算数，理数科理科となった。5 年生の教科書は昭和18 年に発行された。
＞カズノホン 1・2 年児童用・教師用各学年 2 冊
＞初等科算数 3 ～ 6 年児重用・教師用各学年 2 冊
＞ 教師用教科書には以下のように書かれている。
＞ 「小数を掛けることを指導するには，小数を掛けるといふことを考へる意義を認めさせると共に，小数を掛ける方法を会得させなくてはならない。ところで，小数を掛けると考へる意義を最初に理解させることは相当困難である。これまでは，掛算とは，被乗数を乗数の表す数だけ集めることであるとして教へて来た。整数の範囲ではこれで十分である。ところが小数になると，集める数（回数とも言ふべきもの）が半端になるから，これまでの掛算の意義だけでは考へられない。そこで，小数の掛算が必要となる実際の場合を考へさせ，事実に即して計算させることから出発し，小数を掛けると考へる意義を理解せしめるやうに導かなくてはならない。児童用書では，整数の掛算を要する実際の場合から，これを小数の場合に及ぼし，計算法を統一するといふ見地から小数の掛算に導き，その間に，小数を掛けると考へることの意義が次第に明らかとなるやうにした。」（文部省，1939a, pp.183-184）
文部省(1939a)尋常小学算術 第5学年上(教師用)では、【ところが小数になると，集める数（回数とも言ふべきもの）が半端になるから，これまでの掛算の意義だけでは考へられない。】と明記されているようです。
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小学校学習指導要領（平成29年告示）解説 算数編
P241-242
＞例えば，１ｍ 120 円のリボン 2.5 ｍ分の代金を求める場合で考える。２ｍ分の代金は 120×２，３ｍ分の代金は 120×３と表すことができたことから，長さが 2.5 ｍのときも，代金は 120×2.5 と表すことができるのではと類推して考えることができる。
＞一方，実際の値段を素朴に求めると，１ｍが 120 円，だから 0.5 ｍは 60 円。2.5ｍだから，120＋120＋60＝300 となり一致する。このことから，120×2.5 と書いてよさそうだと考えることができる。
この考えは、累加の延長と捉えられますね。
＞次に，乗数が整数の場合の乗法の意味では，乗数が小数の場合の意味を捉えることができないことから，乗法の意味を広げる必要がある。
累加の延長で考えられないと言いたいのだろうか？
【120＋120＋60＝300】の考えは何だと言いたいのか？？？
＞このようにして，乗法とは割合に当たる大きさを求める計算であると考えることで，乗数が整数の場合の意味も含み，乗数が整数でも小数でも同じ意味で捉えることができる。
何が何でも割合としたいようです。
P280
＞そして，「今までのかけ算は（一つ分の大きさ）×（幾つ分）で考えていたけど，120×2.3 という式はどういうふうに考えたらいいのだろうか。」と振り返り，小数を用いた倍の意味を基に「120 円を１としたときの 2.3 に当たる大きさを求める計算が 120×2.3 である」ことをまとめていく。
120円の2.3個分と考えてもいいのに、算数教育界ｗでは禁じ手のようです。
個人的には、累加の延長と2.3個分という考えは繋がっていると感じています。
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分数の乗法における意味の拡張に関する実践的研究
高淵 千香子
全国数学教育学会誌
発行日:2011年
公開日:2019年01月17日
https://www.jstage.jst.go.jp/article/jasme/17/2/17_KJ00008725854/_article/-char/ja/
https://www.jstage.jst.go.jp/article/jasme/17/2/17_KJ00008725854/_pdf/-char/ja
P145
＞この調査結果から，本実践授業で対象となる児童においても，中島（1968），浅田（2006）の調査結果と概ね同様の傾向がみられ，既習の同数累加の意味に不都合が起こることを半数の児童が意識していないことが分かった。
累加の延長とも考えられるので、不都合が起きなくて当然でしょう。
＞このことは，児童は乗法の意味の拡張を意識することなく学習しているという現実を示している。
＞小数の乗法の意味を同数累加や長方形の求積と捉えている児童が多くみられ（同数累加は3名，長方形の求積は29名），拡張された乗法の意味理解に課題がみられる児童が存在することが明らかになった。
「累加や長方形の求積でしか考えられない」と「累加や長方形の求積でも考えられる」の違いが分かっていないようです。
調査結果を冷静に分析しようとしないで生徒の発想を無視するという内容にしか見えませんでした。
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ここにもリンクも貼っておきます。
http://8254.teacup.com/kakezannojunjo/bbs/t61/38
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>>9
> 東京書籍 ２下 教師用指導書・指導編（朱註） です。
>
> (問) 1m 80円 です。2.3m だと何円になりますか？
>
> 「80円 が 2.3個」は不可。「長さが 2.3倍になったから、金額も 2.3倍。」が正しい考え方。ということみたいですね。
>
> 比例と乗除算の関係を説明する用語として「倍」という言葉を教え込む必要あり、ということなんですかねぇ…
>
算数教育界の人たちが馬鹿だな～と思うのは、概念を習得するかどうかと特定の用語を使うかどうかは別の話なのに、「この言葉を使ったから理解している」「使わなかったから理解していない」と思っているらしいということ。
言葉は概念に張り付いたラベルに過ぎないというのが分かっていないようだ。
２．３個と表現しようが、２．３倍と表現しようが、そんなこと本質的なことではないのに。
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>>5
> http://8254.teacup.com/kakezannojunjo/bbs/t21/1400
> http://8254.teacup.com/kakezannojunjo/bbs/t21/1403
> http://8254.teacup.com/kakezannojunjo/bbs/t21/2451
ありがとうございます。自分で書き込んでいならがすっかり忘れていました。
http://www.djn.co.jp/support/special/point/docs/2011/7/2/2.php
＞よく、８ ０ × ３ ． ５ って書いたっていいんだよ。だって３ ． ５ 個分と言っても意味が分かるじゃないかと言う子ども（ 先生） がいますが、それはおかしなことです。なぜなら、これまでのかけ算は、８ ０ × ３ なら、８ ０ ＋ ８ ０ ＋ ８ ０ のように同数累加で定義してきたのです。
８ ０ × ３ ． ５ は８ ０ の累加， つまり８ ０ のたしざんでは表せません。ですから、ここで新たに３ ． ５ 倍のように小数倍の場合を含めて８ ０ × ３ ． ５ と書いてもいいことにしようと決め直すのです。
従って「なに算になりそうですか。それはなぜそう思うのですか。」「かけ算になるとして、どんな式にしましょうか。」と発問して、子どもの類推を参考にしたようにして、８ ０ × ２ ． ３ を定義するのです。
このように，８ ０ × ２ ．３ は，子どもたちに「見つけさせる内容」ではなく，「教える内容」です。しかし， 単に「教え込む」のではなく， 子どもたちの既習を生かして新たに定義していく展開が望ましいですね。
こんなくだらないどーでもいいことをくどくど若い教師に説教することで、権威が保たれるのでしょうかね？
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小数の乗除の意味の指導について
片桐 重男 1975年
http://kamome.lib.ynu.ac.jp/dspace/handle/10131/2124
P89
＞Aは10人ぐらいずついたが,これはあまり好い結果とほいえないだろう.これは,指導が未だ十分ではないということであろうが,その一つの理由として,数範囲が小数にまで広げられたときは,これまでの意味,累加,累減や等分,包含では,意味として不十分であるということのおさえがたりなからたということと,具体的なことばの式では,量の種類が異なると用いられないのだという否定的面の強調が弱かったということが挙げられよう｡
小数では、累加等で考えるのは不十分であり、その点をおさえるべきと言っているようです。
累加で考える生徒がいても、とにかく全面否定し、矯正させたいのだと思われます。
P89-90
＞なお,乗法の意味について,中島健三氏の次のような調査結果がある11).これは都内の5年生801名について調査したものであるが,これを見ると,乗法の一般的意味について,私の調査よりはるかに多くのものが答えている｡
＞ア. 7を2.4回加えるという考え
＞この結果は,ア. 69名,イ. 50,ウ. 43, エ. 56,オ. 13,カ. 71であった｡
中島健三,乗法の意味の指導について,日本数学教育学会誌Vol. 50, No. 2. (1968年)
の調査でも、2.4回加えるという考えている生徒がいるのが見て取れます。
乗法の意味についての論争と問題点についての考察
(「乗法の意味についての論争と問題的について考察」というタイトルが正式かもしれません)
中島 健三 1968年
の引用が
http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20120301/1330547942
にあります。
＞累加の考えの問題点は，周知のように，整数の場合でなく，乗数が有理数の際に起こる．
周知のように問題が起こるらしい！
ここでも、頭ごなしに否定しています。
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天むす名古屋さんの連ツイ参照
https://twitter.com/temmusu_n/status/674201742314049536
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http://8254.teacup.com/kakezannojunjo/bbs/t52/28-37
５／７×２／３となる問題を作るという授業で
「５／７ｍのテープの２／３本分の長さは何ｍでしょう」
「１本５／７Ｌのジュースが２／３本あります。何Ｌあるでしょう」
などを「成立していない問題」としている
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http://utomir.lib.u-toyama.ac.jp/dspace/handle/10110/589
富山大学教育実践総合センター 小数の乗法に関する教員養成課程学生の理解
岸本 忠之 2001年
P19
＞小数の乗法において,累加の考えによる意味は,2.3個分や0.7個分のように通用しない｡
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