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  • 「aで割った余りが等しい」は「差がaの倍数になる」の意味

  • 投稿者:くろきげん
  • 投稿日:2015年 8月 2日(日)07時48分4秒
  • 編集済
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YHさんの言う通りです。以下, a,b,c,…,x,y,zは整数。

「xとyのaで割った余りが等しい」は
「x-yがaの倍数になる」と同じ意味です。

そして、「商」だけではなく、「余り」そのものさえも定義せずに、
「余りが等しい」の概念をそのように定義することから
出発することもできます。

数直線上の数を等間隔aで同じ仲間とみなすという
視覚的に見易い話から出発する話は、
「余り」そのものを定義せずに、
「余りが等しい」の概念から出発する話だとみなせます。
おそらく数直線を使った「余りが等しい」の概念の説明は
実際にどこかの算数の授業で実際に扱っている。
だから、これは完全に算数レベルの話だとみなされるべきでしょう。

「余り」を定義する前に「余りが等しい」などと言うのは
けしからんと怒る人は今までの話を何も聴いて無かった人。
そういう思考法を改めておいた方が算数や数学を教える大人の
立場として好ましいです。
(子供に教えるときの話とは違う話をしていることに注意。)

aで割った余りを求めることは
aで割った余りが等しい数の中から特定の数を選び出す操作
として定義されることが多いです。
たとえば5で割った余りは0,1,2,3,4の中から選び出すのが
普通だということになっている。
しかし、目的に合わせてそこは自由に変えて構いません。

実際、私はある理由があって、ある数式処理ソフトで計算する
ときに、n で割った余りを1,2,...,n から選び出す函数を書いて
利用する必要に迫られました。その函数を利用している限り、
余りは決して 0 にならない(笑)。

「aとbを0で割った余りが等しい」は「a-bが0の倍数になる」
という意味なので、「a=b」と同じ意味になります。
「0で割った余りが等しい」による仲間分けにおいて、
aの仲間はaしかいない。
だからaを0で割った余りの選択肢はa自身しかない。
というわけで、aを0で割った余りはa自身になります。

余りの選択肢の中に常に0を含めておくことにすれば、
「aはbの倍数」「bはaの約数」「aはbで割り切れる」「aをbで割った余りは0」
のすべてが例外無しに(bが0であっても)全部同じ意味になります。

例外無しに全部うまく行く仕組みを知っていると、
例外を勝手に作って無用な但し書きを付けることに気を使う必要が
一切無くなります。こういう類のことを膨大に積み重ねると、
算数や数学について考えるときの心理的負担も大幅に減ることになります。

同じヒトなのに、
ある人はものすごく楽に何の苦しみもなく様々なことを理解できるのに、
別のある人は汗をかきながら必死になって考えても理解できない。
心理的負担がない人とたくさんの心理的重荷を背負ったままの人では
同じ努力をしていても大きな差が出てしまいます。

本当はくだらないことなのに大事なことだと錯覚するたびに
その人の数学的才能は傷付けられて行くことになります。
それはとてももったいないことです。