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sage

  • [59]
  • 算数と高等数学の関係

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月29日(水)10時20分3秒
  • 返信
 
>>52
> twitterでのご回答ありがとうございます。
> 行数の制限の無い方が書きやすいので,こちらで感想を書きます。
>
> (A)0は偶数とするが,2の倍数には入れない。(小学校)
> (B)0は,0を含むすべての整数の倍数である。(中学校)
> (C)0を含むすべての整数は,0の約数である。(高校)
> (D)「0は0の倍数で,0は0の約数で,0は0で割り切れる」と言うとき,0÷0は関係ない。(大学)
>
>  (B)(C)は納得できるのですが,(A)で,0は偶数とするなら,「2の倍数にはしない」と言う必要はないと思うし,(D)で,「0は0で割り切れる」と言う必要はないと思うのです。
>  かけ算の順序の話のときに,行列だとか群だとか,はては四元数などを持ち出す議論は関係ないとしたように,(A)(B)(C)の話に剰余環の話は関係あるんでしょうか?(群や四元数や剰余環やイデアルが興味深い話であることは別にして。)
>


掛算の順序議論で、非可換積の例を出すのは、多くの場合「順序は大切」とする側。しかし、そもそも算数においての「掛算の順序」と、非可換積とは何の関係もない。行列の積が可換ではない、というのと、「4人に3個ずつ蜜柑を配る場合に、4×3とすると12人の意味になる」という算数での謎理論とは、何の関係もない。

 行列も、1行1列であれば可換だし、各成分の計算や行列式の計算は、通常の数の計算が適用される。

 可換・非可換とはどういう場合かが明確な行列その他の非可換積の話と、場当たり的で曖昧で有害無益な算数での掛算の順序は、全く別物。

 掛算に順序は関係ないことは、算数の範囲で十分理解できる。そもそも算数の正規のカリキュラムで交換法則が教えられている。格子状に並べた図で1つ分といくつ分の区別が無意味であることが直感的に分かるようになっている。

 だから、掛算の順序強制を批判するのには、高等数学の理解は不要。


0は倍数か、否か、 に関しても、0を倍数に含めないと数直線上の倍数の分布が不自然になるわけで、算数の段階で不合理なことが露呈する。

 負の数まで考えると不自然さはより明らかになる。高度な数学になればなるほど、0が倍数から除かれることの不合理性はより明白となるが、せいぜい中学数学の理解までで十分。

 0が絡んだ約数や「割り切れる」となると、話がややこしくなるので、算数においては、これについては考えないと言うことでいいと思う。

aはbの倍数  bはaの約数 aはbで割り切れる

これらは同値としていい。0が絡んでも成り立つが、敢えて触れることはない。

子供が質問したきたら、そういう疑問を持つことを褒め称えた上で、「そのうち分かるときが来るかもしれないから」とごまかすのもあり。

 私は、教師が子供の疑問に全て明瞭に答える必要はないと思う。謎や含みを残し、子供をもやもやした状態にするのもありだと思う。

 ただし、教え方とは別に、「aはbの倍数  bはaの約数 aはbで割り切れる」 が、0を含んだ整数全体で同値であることはどう理解すべきか、

 となると、算数を若干逸脱することになる。

 とくに、「割り切れる」とかの余りのある割り算に関して、概念を転換する必要がある。

もともと、余りのある割り算と言うのは、20個の蜜柑を6個ずつ配ると何人分か?というような問題で、3人分で2個あまる、という具合に導入される。

 答えとして重要なのは3人分で、2個あまるというのは添え物、という感じ。

 ところが、倍数とか約数、さらに高度な数学になってくると、余りがあるかどうか、余りがいくつか、の方が重要になってくる。

 取り敢えず非負整数で考える。a÷bの商とあまりを求めるというのは、
a=b×c+r となる、cとrを求めるということ。ただし、r<b

bが0でなければ、cとrは一意的に決まる。

b=0だと

a=0×c+r となる。r<0となる非負整数は存在しない。

だったら、r<bという制約をなくせばいい。そうすると、一意性を失うが、大した問題ではない。

20÷6=2あまり8 というのもありにしてしまう。数の分類が目的なら、一意性に拘る必要はない。

 こうすることで、倍数、約数、割り切れる の概念は0を含んだ整数全体に例外なく拡張できる。さらには、複素整数や多項式にまで概念の拡張が可能。

 算数を教える上で、あるいは、0が倍数ではないとされていることを批判する上でこれらを理解する必要はないが、理解しているのに越したことはない。