• [0]
  • 0は偶数でも奇数でもない?

  • 投稿者:積分定数
 
 私自身、小学校6年のときの算数の授業で「0は偶数でも奇数でもない」と教わった記憶があります。当時は「偶数じゃないの?」とは思いました。

 中学の数学の授業では「0は偶数」と教師が教えました。同級生の1人が「今度は偶数なんだ・・・」とつぶやき、私も「そうなだな。このほうが理屈にあるな」と思いました。

 私はずっと、6年のときの教師の単なる勘違いだと思っていましたが、「0は偶数でも奇数でもない」と教える人が複数いるようです。

 どうもそれには事情があるようです。

投稿者
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sage

  • [33]
  • “素数の中でも仲間外れな数”とは

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月22日(水)12時48分30秒
  • 返信
 
http://blog.livedoor.jp/wordroom/archives/51114813.html
>“素数の中でも仲間外れな数”とは2のこと。
2は素数の中で唯一の偶数。
(「3は素数の中で唯一3の倍数」とか「5は素数の中で唯一の5の倍数」とか
 反論されるが、偶数は0を含んでおり、偶数=2の倍数ではないので倍数云々の理屈は通らない)

>ってか
0は偶数でもあり2の倍数です。
偶数=2の倍数 じゃないの?

>↑教科書読み直せ

  • [32]
  • Re: 些細なことだが気になる点

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月19日(日)23時41分46秒
  • 編集済
  • 返信
 
>>25

書き直し。

0を倍数とするかどうかはともかく、算数の倍数の導入段階では正の整数について考察することが多いと思う。

算数教育では、「正の整数について考察することが多い」を、「0を除いて考える」とルール化して、さらには「0は倍数ではない」とまでしてしまっている。

逆に言えば、「0は倍数ではない」とするもともとの理由は、「倍数を考察する対象は自然数に限定する」というものである。

 倍数であるべき0ですら、考察対象から除外しているわけで、ましてや小数や分数は、ここでは考察の対象外のはずである。

 だから、9は4.5の倍数とすべきかどうか、なんてことはここでは考察する必要はない。

 ところで、画像の学校図書のクッキーの箱の例は、厚みが5cmなので、高さが5の倍数となる、ということであるが、

 長さは連続量であって、整数値となる必然性がない。

 厚みが4.5cmなら、箱を2つ重ねると9cm 9は4.5の倍数と言うのかかどうか私は知らないが、連続量×整数というのは、高校物理の波のところで、波長×整数値 という形で頻繁に出てくる。

 しかしここは倍数の導入部分。整数である必然性のある分離量が望ましいのではないだろうか?例えば、「クッキー5個入りの箱」という具合に。

 算数教育界は遠山啓の顰に倣い、割合分数と量分数だの、量を分離量と連続量に分けたり、https://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/sansu/WebHelp/05/page5_20.html
と、くだらないことをやっている割には、

 こういうところは杜撰に見える。

割合の導入部にシュートの成功率を持ってくるというのもそうだけど、
http://8254.teacup.com/kakezannojunjo/bbs/t5/28

算数教育界と言うのは、あれこれ細かく分類する割には、導入部の寝たとしてふさわしいかどうかあまり深く考えていないように思える。

  • [31]
  • Re: 些細なことだが気になる点

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月19日(日)23時11分18秒
  • 返信
 
>>30
> >>28
>
> >>25
> > 9は4.5の倍数 と言うのかどうか知らないが、算数のこの段階では、当面は自然数だけで考えるのが普通だろう。だからこそ、「0は倍数ではない」などという余計なことをしたのでは?
>
> すみませんが、ここでいう「自然数」に0が含まれていると、どうして
> >だからこそ、「0は倍数ではない」などという余計なことをしたのでは?
> という話に繋がるか分かりません。

あそこでは、0を含めるかどうか、あまり深く意識していなかったのです。

私の最初の文と、その後の弁明も確かにおかしいので書き換えますね。



  • [30]
  • Re: 些細なことだが気になる点

  • 投稿者:TaKu
  • 投稿日:2015年 7月19日(日)22時04分13秒
  • 返信
 
>>28

>>25
> 9は4.5の倍数 と言うのかどうか知らないが、算数のこの段階では、当面は自然数だけで考えるのが普通だろう。だからこそ、「0は倍数ではない」などという余計なことをしたのでは?

すみませんが、ここでいう「自然数」に0が含まれていると、どうして
>だからこそ、「0は倍数ではない」などという余計なことをしたのでは?
という話に繋がるか分かりません。

  • [29]
  • 既に問題性を指摘している人がいた

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月19日(日)21時58分32秒
  • 返信
 
http://home.hiroshima-u.ac.jp/teragai/oddman.html
>「倍数」

14年度以降,倍数は6年生(現在は5年生)で学習するのだが, 非常に気になることがある.
それは,「0は倍数にいれない」ということと,「0の倍数は考えない」という2点である.
6社とも,教科書に理由は書かれていない.
専門家にきいたら,次のような理由があるというのだ.

  • [28]
  • Re: 些細なことだが気になる点

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月19日(日)20時39分59秒
  • 編集済
  • 返信
 
>>26
> >>25
>
> >  9は4.5の倍数 と言うのかどうか知らないが、算数のこの段階では、当面は自然数だけで考えるのが普通だろう。
>
> 既に0を習っているのに、わざわざ0を除外する自然数だけとするのはおかしくないですか?
> 0を扱った掛け算も習っている筈ですよね?


そこはあまり深く考えていなかったというか、「自然数」が私の頭の中では、0を含んだり含まなかったりで、

ここで「自然数」としたのは、小数、分数×整数 というのは取り敢えず考えなくて、整数で、

という意味でした。

私は、

0を除く整数と言う意味では、「正の整数」
0を含む整数という意味では、「非負整数」

と言うことが多くて、「自然数」と言う場合は、0を含めるかどうかはあまり意識していない場合が多いです。

 ただ、誤解を招きやすかったですね。失礼しました。

  • [27]
  • 問題点を整理してみる

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月19日(日)18時29分6秒
  • 編集済
  • 返信
 
 例えば、「6の約数を全て挙げよ」といわれたら、「1,2,3,6」と答えることが多いだろう。「-3?」といわれれば、「まあ、それも約数といえば約数だね」となる。

 ある数が約数ならその-1倍も約数であるのは自明だから、普段は正の整数だけで考える、というのはごくありがち。

 「6の約数を全て挙げよ」に対して、「1,2,3,6」と答えた人は、理解していないわけではなくて、負数については失念していたか、面倒くさいから言わなかったか、「1の約数倍の違いについては無視する」という代数学の流儀を踏襲しただけであろう。

 負数を挙げなかったことを鬼の首を取ったように指摘するようなことではない。


 しかし、「-1、-2、-3、-6、1,2,3,6」という答えに対して、「負数は約数に入れない」と指摘する人がいたとしたら、その人は理解していないだろう。

 仮にどこかの書物に「約数には負数を除く」という文言があって、その人がその記述を念頭においていたとしても、理解していない。

 その人は「約数に負数を含めるかどうか」なんてことは、誰か偉い人が決めているのではなく、その場で都合のいいように決めればいい、ということが分かっていないことを意味する。

 数学をある程度勉強していれば、定義や用語は絶対的なものでなくて、その場で都合のいいものを採用していると分かるはず。

 この対偶は、「定義や用語は絶対的なものと思っている人は、数学をある程度まで勉強してない」となる。

 「負数は約数から除く」(という流儀があるのかどうか私は知らない)というのが仮にどこかの流儀としてあるとしても、それをグローバルルールと思い込んで、「負数は約数じゃない」と指摘する人は理解していない。



小学校算数の倍数の指導についても

 「3の倍数を小さいほうから言ってみて」に対して、「3,6、・・・」と答えた子に、「0を入れないと駄目だろう」と指摘することはないだろう。

 約数・倍数に関して、正の整数を念頭に考えるのは自然なことだろう。


「正の整数だけで」というのを、教える側に対して、「教える際の配慮」として求めるのは問題ない。

正の整数をいくつか並べて、「3の倍数を選べ」とかはいいだろう。

ところが算数教育界がアホなのは、「正の整数だけで考える」を、倍数の定義として採用してしまい、

「0は倍数か否か?」を子供に問い、「倍数ではない」と正しい答えとして要求するという

馬鹿げたことをやっていることである。

0については倍数かどうかは明示しないで、0が倍数かどうかを問う問題は出さないのならまだしも、 >>24 で示したように、数直線でもろに0が倍数かどうかを問い、「0は倍数ではない」という不自然不合理な方を正解としている。


 これは、「正方形が長方形であるというのは子供には難しい」「長方形としてイメージするのは正方形ではない長方形である方が自然」という理由から、

「正方形が長方形かどうかは不問にして棚上げ」としないで、
「正方形は長方形ではない」としてしまうのと同様である。

正方形は長方形ではないとする大日本図書
http://blog.goo.ne.jp/mh0920-yh/e/6627a8b114a095d274ade554ef3dcfa1

この場合は、長方形が正方形が含まれるように定義しているにもかかわらず、問題の答えとしては、正方形は長方形ではない、としているので本当に酷い。

 それに比べたら、

「0は倍数ではない」という不合理な定義をしたうえで、0を倍数に入れると不正解

というのは、多少ましだが五十歩百歩。



0を倍数として、最小公倍数の定義としては、「0以外の公倍数で最小の数」とすべき


それが無理なら、

0については一切言及しないで、「3の倍数を選べ」と言う問題の選択肢にも0は入れない。児童の質問に備えて、教える側は「0は倍数である」と正しく認識していることが必要。


現状は、「0は倍数ではない」として、わざわざ「0は倍数ではないから気をつけよう」と教えている。教師も算数教育界の権威筋も「0は倍数ではない」と認識している。

最悪である。

http://


  • [26]
  • Re: 些細なことだが気になる点

  • 投稿者:TaKu
  • 投稿日:2015年 7月19日(日)18時27分17秒
  • 返信
 
>>25

>  9は4.5の倍数 と言うのかどうか知らないが、算数のこの段階では、当面は自然数だけで考えるのが普通だろう。

既に0を習っているのに、わざわざ0を除外する自然数だけとするのはおかしくないですか?
0を扱った掛け算も習っている筈ですよね?

  • [25]
  • 些細なことだが気になる点

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月19日(日)17時19分58秒
  • 編集済
  • 返信
 
画像は学校図書の教科書から

クッキーの箱の厚みが5cmなので、重ねると高さが5の倍数になるということだが、

長さは連続量だから、整数値になる必然性はない。たまたま5cmだったわけだで、4.5cmということもありえる。

 9は4.5の倍数 と言うのかどうか知らないが、算数のこの段階では、当面は自然数だけで考えるのが普通だろう。だからこそ、「0は倍数ではない」などという余計なことをしたのでは?

 算数教育では、分数を割合分数と量分数に分けたり、遠山啓の顰に倣い量を分離量と連続量に分けるなどというくだらないことをする割には杜撰に思える。

 「クッキーが1箱5個入っている」とかの方がいいように思うけどどうなんだろうか?

 連続量×整数値 と言うタイプの考察は、倍数とは別にやったほうがいいと思う。


啓林館サイトから、遠山啓の真似をしている。
 https://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/sansu/WebHelp/05/page5_20.html

  • [24]
  • 数直線を提示しての倍数表示

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月19日(日)17時03分26秒
  • 編集済
  • 返信
 
0を含んだ数直線が全教科書に掲載されている。


0については深入りしないとか棚上げならまだしも、「0は倍数かどうか?」を問う形になっていて、しかも、「0は倍数ではない」としないとならないようだ。

しかも、数直線で倍数に印とつけると、0に印をつけたほうが整合性があることが分かってしまう。




大日本図書
http://blog.goo.ne.jp/mh0920-yh/e/2bc9486ba61e27769f9d467046afdae7

日本文教出版
https://twitter.com/genkuroki/status/622349733994999808

東京書籍
https://twitter.com/genkuroki/status/622381505717800960

教育出版
https://twitter.com/genkuroki/status/622382650284597249

啓林館
https://twitter.com/genkuroki/status/622382087316750337

画像は、学校図書


  • [23]
  • 「0は偶数ではない」と思っている人は意外と多いかも

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月19日(日)13時06分18秒
  • 編集済
  • 返信
 
連れ合い、知人、塾生(高校生)4人に以下のようなテストをやってもらった

3の倍数に○をつける
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

偶数に○をつける
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

3で割って2あまる数に○をつける
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10


ほぼ全員が、0は3の倍数とはしなかった。0を偶数としたのは1人だけ。2を3で割って2あまる数としないというのも、約半数。


「0が倍数や偶数であるかどうか、算数・数学の定義はともかくとして、どちらの方が整合性があると思うか?」と聞くと、ほぼ全員が「0を倍数や偶数としたほうが理屈にあう」と言っていた。


 最初に質問したときに0を倍数や偶数から除外した理由を尋ねると

「小学校でそう習った気がする」「0は考えないものと思っていた」など。


算数教育界においては、「0は倍数ではないが偶数」とされているが、2の倍数と偶数は同じことと認識していて、「0は偶数ではない」と認識している人が多数いるように思える。


 私自身は明確に「0は偶数ではない」と小6のときの教わった。「変だな」と思ったが、中学で「0は偶数」と教わり、「そりゃそうだよな」と思った。倍数についてどう教わったか記憶にないが、0が倍数であることは当然のことと認識していた。


 数学をある程度やっている人であれば、倍数や偶数の定義として最初にどう習ったかなんて関係なく、都合がいいように解釈していて、結果的に0は倍数で偶数などと言うのは言うまでもなく当たり前、と捉えていると思うが


 実施した人数が少ないとはいえ、今回のアンケートの結果からすると、


世間には、「0は偶数ではない 倍数でもない」 と認識している人が相当数いると思われる。

  • [22]
  • Re: TOSS

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月19日(日)12時42分25秒
  • 返信
 
>>21
> tossの場合は向山洋一からして守破離で
> 初心者はそのとおりにやりなさいだからたちわるい。
> いろいろ工夫した案だけど、もし悪いところがあったら指摘してと言うのなら改善していくと思うんですが、
> とんでもさえも続いていく。


 なるほど、TOSSの授業スタイルというのは、そのまま、教師自身が教え方を指南される構造そのままなんですね。


 科目にしろ、指導法にしろ、それをどう勉強してきたかは、教え方に影響すると思います。

 TOSSにしろ、数教協にしろ、そういうところに入ろうとする人というのは、そもそも教えを請うという意識なんだと思います。

 そうすると、それは児童と教師の関係もそうなりがちなのかもしれません。


  • [21]
  • Re: TOSS

  • 投稿者:黄昏
  • 投稿日:2015年 7月18日(土)06時45分57秒
  • 返信
 
tossの場合は向山洋一からして守破離で
初心者はそのとおりにやりなさいだからたちわるい。
いろいろ工夫した案だけど、もし悪いところがあったら指摘してと言うのなら改善していくと思うんですが、
とんでもさえも続いていく。

  • [20]
  • 秋田県総合教育センター

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月18日(土)05時45分21秒
  • 返信
 
http://www.akita-c.ed.jp/~ckyk/kyoukakenkyu/sansuu/sansuu%20jugyou%20hint/h22tamaki/tamaki1.2.pdf

【「4の倍数」は,4に整数をかけてできる数】としながら、【0は倍数に入れない】と強調

さらに、

【次の数を6の倍数とそうでない数に分けてみよう。】

として、0を「6の倍数ではない」と分類している。
これらは、「6でわりきれない」としてある。


秋田県総合教育センターは、「0は6でわりきれない」という認識らしい。

  • [19]
  • 岡山県教委

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月18日(土)05時38分22秒
  • 返信
 
http://www.pref.okayama.jp/uploaded/attachment/162413.pdf
・0を除く偶数は2の倍数であることを知る。

  • [18]
  • TOSS

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月18日(土)05時35分1秒
  • 編集済
  • 返信
 
http://www.tos-land.net/teaching_plan/contents/7178
発問7:
「0は、倍数に入りますか?」
「入りません。」


身も蓋もないというか、ここまであっさりしていると潔いと思えてしまう。


まあTOSSだから、まともに検証しても仕方ない。

  • [17]
  • 指導要領解説

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月15日(水)07時51分6秒
  • 編集済
  • 返信
 
http://www.mext.go.jp/component/a_menu/education/micro_detail/__icsFiles/afieldfile/2009/06/16/1234931_004_2.pdf

これの164ページですね。

  • [16]
  • とりあえず、指導書の問題部分だけ画像はります

  • 投稿者:鰹節猫吉
  • 投稿日:2015年 7月15日(水)00時26分8秒
  • 返信
 
 問題の大日本図書の指導書最新版です。

 2の倍数と偶数は違うそうです。


  • [15]
  • 0を倍数から除く?

  • 投稿者:YH
  • 投稿日:2015年 7月14日(火)22時51分47秒
  • 返信
 
 大日本図書の『たのしい算数5』の0が偶数であることの説明に数直線を用いて
0,2,4,・・・・に同じ色のぬりつぶしが行われている。3の倍数では、同じような数直線で
0は除かれている。児童の自然な発想として、「なぜ0に丸がないの?」ということになる。
その説明がつかない。
 0を偶数としたら、0は3の倍数とする(同じように2の倍数)のが自然だともいます。
 ところで、ほとんどの教科書が0を整数に入れない原因は、小学校学習指導要領の解説
にあります。そこでは、

 8の倍数は{8,16,24,32,・・・}であり、12の倍数は{12,24,36,・・・}
である。これから、8と12の公倍数は{24,48,72,・・・}となる。最小公倍数は
、公倍数の中の最小の数であるから、24であることがわかる。(p142)

とある。私たちにとって学習指導要領の解説などどうでもいいが、教科書会社にとっては検定がかかっているから
絶対的なのです。学習指導要領の解説の倍数に0が入っていない以上、教科書はそれに従うでしょう。全ての教科書が
同じ扱いをしていることでしよう。




  • [14]
  • はじめまして

  • 投稿者:Sanchez
  • 投稿日:2015年 7月14日(火)11時08分1秒
  • 返信
 
積分定数さん、はじめまして。

 はい。おっしゃる通り、「正方形は長方形ではない」のならば、名前のついた四角形はすべて「四角形ではない」ことになり、多角形でもなくなり、平面図形ですらなくなってしまうので明確におかしいと思います。

 私もそれに比べたら、「今回は自然数に限定して、倍数を扱い、公倍数、最小公倍数を考えます」ということだろうと思うので、ましだと思います。

 ただし、「0 から始まる数直線が書いてあって「 3 の倍数」にマルする問題」で、ゼロにマルをしたらバツにするのであれば、「自然数かつ3の倍数」にマルする問題に改題しない限りダメだろうと私も考えます。

 本来は他人に教える前に自分の頭で考えるべきなのに、教える人間がそれができていないことがいけないと思うのです。

 大学以上になると、教わった学説が最新の学識ではくつがえっていることなどいくつもありますから、悪気もなく間違いを教わることもあるし、生徒自身でも確かめながら学んで行くべきなのですが、そのような生徒を育てようとすると、どう言ってあげるのがベストなのかな?

 小学生であっても、冒頭で、
「倍数をある整数を整数倍した数と定義すれば、ゼロはすべての整数の倍数である(もちろん偶数でもある)。」と触れた上で、「公倍数、最小公倍数を考えるので、自然数に限定して倍数を考える。」とする。

「本当はゼロも含めて考えると、「nの倍数」=「nで(商が整数で)割り切れる数」がきちんと成立する」とかそういったことは、「興味がある人は自分でも考えてみてね。」というラインで時間内にまとめておく位かななどと考えていますが、実際のところ、このあたりの匙加減は自分の中でも結論は出ていません。

  • [13]
  • 身勝手な主張 へのコメント

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月14日(火)06時09分41秒
  • 編集済
  • 返信
 
http://blog.goo.ne.jp/mh0920-yh/e/2bc9486ba61e27769f9d467046afdae7


不合理で無矛盾、ということはありえる。


Sanchezさん、初めまして。

私はこの件は、「正方形は長方形ではない」よりはましだと考えています。
http://blog.goo.ne.jp/mh0920-yh/e/6627a8b114a095d274ade554ef3dcfa1

【『たのしい算数2』
長方形・・・・かどがみんな直角になっている四角形を、長方形といいます。(P105)
  正方形・・・・かどがみんな直角で、へんの長さがみんな同じ四角形を、正方形といいます。(P106)】

このように定義している以上、正方形は長方形であるはずですが、長方形を全部選択するという問題で、正方形は除外されているわけで、明確におかしい。


 それに比べたら、この件は、0は倍数から除外するとしているので、ましだとは思います。

 しかし不合理であり、混乱を招くことになるかと思います。

 「2の倍数」「2で割り切れる数」、これらが同義ではなく偶数の定義は後者

 というのも分かりにくいです。現に私が小6のときの教師は「0は偶数ではない」と言っていました。以前はこの教師の単なる勘違いだと思っていましたが、このような倍数の分かりにくい定義によって生み出された誤解だと思います。

 最小公倍数を定義するときに、「0は除く」とすれば済む話なのに、倍数の定義において0を除外するとすることで、話がややこしくなってしまうのだと思います。

 学校図書は「0は倍数ではない」とはしないで、「0はのぞいて考えます。」という玉虫色の文言で、「0は倍数ではない、とは言っていない」ということなのでしょう。

東京書籍の教科書では「 0 は,倍数に入れないことにします。」としてあり、

https://twitter.com/ysmemoirs/status/620592064024064004
【0 から始まる数直線が書いてあって「 3 の倍数」にマルする問題】

があるそうです。

0にマルをつけたら誤答にされてしまうのだと思います。

 何らかの理由(公倍数の最小、などと考える上では正の数だけで考えたいとか?)でなされる配慮(0は倍数に入れない)によって、混乱が生じる。

また、算数の理解とは関係ない単なる便宜的な倍数のローカル定義を問題として問う。

 算数教育の闇を象徴している事例だと思います。

http://


  • [12]
  • 東京書籍

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月13日(月)21時19分57秒
  • 返信
 
https://twitter.com/ysmemoirs/status/620516364285947905
>「 0 は偶数だが 2 の倍数ではないことにする」みたいですね。

  • [11]
  • 学校図書

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月13日(月)21時17分41秒
  • 返信
 
>>10

学校図書は、「3×1、3×2、3×3、・・・・のように、3を整数倍してできる数を、3の倍数といいます。0はのぞいて考えます。」

とあります。

「0は3の倍数ではない」とは言っていないわけで、玉虫色でごまかしている感じですね。

「0も倍数」としたうえで、「最小公倍数は、0以外の公倍数で最小の数」とすればいいだけだと思うのですがね。


「偶数」の定義は見つけられませんでした。私が見落としているのかもしれません。

  • [10]
  • 大日本図書も、「0は2の倍数でない」

  • 投稿者:YH
  • 投稿日:2015年 7月13日(月)20時55分26秒
  • 返信
 
しかし、公倍数を考えるときになると、「0は3の倍数にいれないことにします」となっています。
だから、偶数を2の倍数と定義しながら2の倍数に入れないという矛盾をおこしています。
http://blog.goo.ne.jp/mh0920-yh/e/2bc9486ba61e27769f9d467046afdae7

  • [9]
  • 大日本図書は、0は偶数

  • 投稿者:YH
  • 投稿日:2015年 7月13日(月)20時36分32秒
  • 返信
 
大日本図書の『たのしい算数5』では、「偶数・・・2で割ったとき割りきれる数、
奇数・・・余りが1になる数」と定義し、0は偶数としています。定義から0は2で割り切れる
数、2の倍数としていると思います。
 http://blog.goo.ne.jp/mh0920-yh/e/2bc9486ba61e27769f9d467046afdae7

  • [8]
  • 2は、5で割って2あまる数 じゃない?

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 5月24日(日)08時50分13秒
  • 返信
 
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1411166739
>子供が通う塾の問題ですが
Q、1から100までの整数のうち、5で割って2あまる数は何こありますか?
A、19個
???なんで20個なのではと・・・
子供も納得いかないようですが先生が言われたと申しております。

>つまり、5の倍数+2の数です。
7・12・17・22・27・32・37・42・47・52・57・62・67・72・77・82・87・92・97
と全部で19個になります。2は、5で割って2あまる数に入らないと思います。


>倍数分布の問題ですね。
2÷5=0…2
と解釈すればよいというのは小学生への説明としては極めて不適切です。
というのは、塾であれ学校であれ、
0÷5=0
だから、0は5の倍数だなんて教え方はしていないからです。(小学生の場合、塾でも学校でも0を5の倍数とは数えない。)


非合理な設定をするので矛盾がどんどん拡大してわけが分からなくなるのも、算数教育では見慣れた風景。

  • [7]
  • なぜ0を倍数からの除くのか?

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 5月24日(日)08時40分56秒
  • 返信
 
「最小公倍数」の定義のため?

3の倍数を0,3,6,9,・・・
5の倍数を0,5,10,15,・・・

とすると、3と5の公倍数は、0,15,30,・・・

「3と5の最小の公倍数は0」となってしまう。それを避けるため?


しかし、それなら「最小公倍数」の定義を「0以外の公倍数で最小のもの」としておけば言いだけだと思うが・・・。文字通り最小の公倍数だと最小公倍数はすべて0になってしまうから、概念として無意味になってしまう、ぐらいのことは子供も理解できると思う。



「そうしないと子供が混乱するから」?

葵の御紋ですねw


教科書会社には問い合わせていない。どうせ、あれこれ屁理屈を並べるのは目に見えて、聞かされたこちらがどっと疲れるのは目に見えている。

 だれか問い合わせたら、ここに報告してくれるとありがたい。




  • [6]
  • 文科省への問い合わせ

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 5月24日(日)08時32分36秒
  • 返信
 
文科省に問い合わせたところ


「0は除いて考える」のだから「0は倍数ではない」というようなことではない。むしろ「除く」だから、「0は倍数」ということを示しているともいえる。倍数だから「除く」必要がある。倍数でないなら「除く」必要がない。


というような、禅問答のような回答だった。

  • [5]
  • 算数教育では、「0は倍数ではない」らしい

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 5月24日(日)08時31分28秒
  • 編集済
  • 返信
 
「教科書ガイド」とあるので、おそらく教科書会社(東京書籍)が作ったものではない。
http://www.asutoro.co.jp/transition/file/ikou_gs151.pdf
p25 「0は、倍数に入れないことにします」


http://newpapa-math.blog.so-net.ne.jp/phrase_baisu
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 倍数とは?
整数Aの整数倍となる整数Bを、整数Aの倍数という。 ただし 0 を除く。
もしくは

整数Cが整数Dで割り切れる時(商が整数の時)、整数C は 整数Dの倍数という。 ただし 0 を除く。
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なぜ 0 は 倍数に含まれないのか? という疑問に関しては、新米パパが小学生のころの塾では
 >> 0 ÷ 3 = 0 ではあるが、この答えの 0 は、3で割り切れた 0 では無く、割れなかった余りの 0 だ !! (すなわち、無いもの( 0 ) を割る事は出来ないという考え方) と習ったのですが...。 自信はありません(汗) すみません...。
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手元にある学校図書教科書(6年上 H16検定済み H20発行)p6
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3×1、3×2、3×3、・・・のように、3を整数倍してできる数を、3の倍数といいます。
0はのぞいて考えます。
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算数教育界では、「0は倍数ではない」となっていることがほぼ確定した。

http://


  • [4]
  • 「0は偶数でも奇数でもない」説はどこから?

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 5月24日(日)08時09分5秒
  • 返信
 
「そうしないと子供が混乱するから」説

算数教育でのおかしな教え方を全て合理化する「そうしないと子供が混乱する」「子供の発達段階を考慮して」

で、「掛け算の順序」や「正方形は長方形ではない」として、余計に子供が混乱してしまっている、という算数教育でのありがちが光景がある。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BC%E3%83%AD%E3%81%AE%E5%81%B6%E5%A5%87%E6%80%A7#cite_note-MarkAlanStewart-12
>しかしながら、一般社会において、ゼロの偶奇性を認識することは、他の整数の偶奇性に比較して困難が伴い、混乱の元になるようだ。ある研究によれば、小学校の生徒たちは半数程度がゼロが偶数であることを正しく認識できなかった(後述)。また、数学専攻の学生や数学の教師でさえ、0が偶数であることに対して、しばしば誤った認識を持つ(後述)。

これが事実なら、「0は偶数であると理解するのは子供は困難だから、どちらでもないとしておく」、あるいは、教える教師自身が「0は偶数であると理解できない」という可能性もある。




「偶数・奇数は自然数の分類 0は自然数ではないから」説

>>3に引用したブログでも、このような意見が紹介されている。




「0は2の倍数ではないから」説
算数教育では「0は倍数ではない」というのがあるらしい。そこから「偶数とは2の倍数のことだから、0は偶数ではない」となっている可能性がある。

  • [3]
  • 巷間での「0は偶数でも奇数でもない」説

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 5月24日(日)07時47分23秒
  • 編集済
  • 返信
 
ぐぐって分かったが、「0は偶数でも奇数でもない」説というのはそこそこあるようで、私の小学校時代の教師がたまたま勘違いしていたというようなことでもないらしい。



http://blog.livedoor.jp/smamelog/archives/224699.html
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問題9 0は偶数ですか?(-5)は奇数といえますか?どうでしょう★
答えは下にあるよ



問題9の答え
 「偶数でも奇数でもない」です。
 数学の世界は、すべて定義(約束のこと)の中で成立しているものなのです。

 偶数は、「自然数の中で、2で割り切れる数」と定めていますし、奇数は、「自然数の中で、2で割り切れない数」と定めているのです。つまり、「偶数」「奇数」は、「自然数」の世界にかぎられているのです。
 自然数というのは、
1,2,3,4,5,……
のように、1から始まってひとつずつ増えていく数の世界なので、0もマイナスの数も含みません。したがって、「0」も「-5」も自然数でないので、答えはどちらでもないとなるのです。
 なお、自然数(正の整数)、0、負の整数を合わせた数を整数と言っています。
自然数(正の整数)
整数 0
     負の整数
 このように、数学の世界では、前提条件となる定義をはっきりさせておくことが常で、その範囲で考えるということが約束事になっています。例えば、三角形の内角の和は、180度と学校で教えられたと思いますが、これは平面幾何学(ユークリッド幾何学)で成立する定義で、皆さんはこれに基づいて幾何学を学習したと思います。このことを三次元の世界に広げたリーマン幾何学やロバチェフスキー幾何学では、三角形の内角の和が常に180度より大きくなったり、小さくなったりするのです。この幾何学をつかって、アインシュタインは相対性理論を発表したのです。
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http://lineq.jp/q/22311950
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>0は偶数ですか奇数ですか? それともどちらでもないですか?
>数学の本でも「0 や -1 は偶数でも奇数でもない」とするものと 「0 は偶数である」としているものがあります。
>どちらでもない
>数学の本でも「0 や -1 は偶数でも奇数でもない」とするものと 「0 は偶数である」としているものがあります。
>0とは 存在しないものです! どちらでもありませんね!
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http://www1.odn.ne.jp/haru/sansu/column_01.html
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 ある本にはこう書かれています。

 数学では、
   偶数は 「自然数の中で2で割り切れる数」
   奇数は 「自然数の中で2で割り切れない数」
 と定められています。

 偶数、奇数は自然数に限られています。自然数というのは、
     1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 ・・・
のことで、0 やマイナスの数は含みません。

 つまり、「0 や -1 は偶数でも奇数でもない」 が正解です。
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どうも、参考書の記述として「0は偶数ではない」としているものがあるらしい。現物は確認していない。情報求む。

http://


  • [2]
  • 「0は偶数ではない」は100%誤りか?

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 5月24日(日)07時35分23秒
  • 編集済
  • 返信
 
 ぐぐると、「0は偶数でも奇数でもない」説というのはそこそこあるようである。

 所詮定義の話だから、「0は偶数でも奇数でもない」は、「絶対に誤り」ともいえない。

 0が自然数に含まれるかどうかも、普遍的に決まっているわけじゃない。一般的には高校数学までは0は自然数としないが、大学以降の数学では0も含める。

 「数学の本質はその自由性にある」(by カントール)とはいえ、好き勝手に恣意的に出鱈目に定義していいというわけでもない。

 より合理的で整合性がある定義が望ましいのは言うまでもない。




「0は偶数」としたほうが合理的。
 

  • [1]
  • 算数教育界でも0は偶数らしい

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 5月24日(日)07時12分5秒
  • 返信
 
まず、算数教育界でも「0は偶数でも」となっているらしい。
https://twitter.com/MathEdr/status/602135646753280000


ただし、「正方形は長方形か?」に関して、当初は私自身「算数では正方形は長方形であると積極的には教えないが、正方形は長方形ではないと教えているわけではない」という文科省の説明を鵜呑みにして、「一部の教師が勘違いして正方形は長方形ではないとしてしまっている」という認識だったが、のちにそれが誤りであることが判明した。

 「0は偶数」に関しては教科書に明記されているのだから、大丈夫だとは思うが、安心は出来ない。


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