• [0]
  • 0は偶数でも奇数でもない?

  • 投稿者:積分定数
 
 私自身、小学校6年のときの算数の授業で「0は偶数でも奇数でもない」と教わった記憶があります。当時は「偶数じゃないの?」とは思いました。

 中学の数学の授業では「0は偶数」と教師が教えました。同級生の1人が「今度は偶数なんだ・・・」とつぶやき、私も「そうなだな。このほうが理屈にあるな」と思いました。

 私はずっと、6年のときの教師の単なる勘違いだと思っていましたが、「0は偶数でも奇数でもない」と教える人が複数いるようです。

 どうもそれには事情があるようです。

投稿者
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*内容 入力補助画像・ファイル<IMG>タグが利用可能です。(詳細)
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sage

  • [83]
  • この話は、高校で虚数を教えるときに、 √(-1) は i のみであって (-i) ではない、と教えてることに似ています。

  • 投稿者:福島原発ウォッチャー
  • 投稿日:2019年 5月 6日(月)22時47分19秒
  • 返信
 
おそらく、0を偶数に含めてしまうと、
教育要綱の都合で、正確に教えずに、はしょって誤魔化してる事柄と、
矛盾してしまうんでしょうね。
それなら「0は偶数でも奇数でもない」とはせずに
「0が偶数か奇数かは未定とする」としないといけないと思いますが...

この話は、高校で虚数を教えるときに、
√(-1) は i のみであって (-i) ではない、と教えてることに似ています。
そんな言い分、認めたら、√(- 2 - 2(√3)i) はどうするんだ?
(- 1 + (√3)i)^2 も (1 - (√3)i)^2 も - 2 - 2(√3)i になるけど、
- 1 + (√3)i と 1 - (√3)i の中から選ぶとき、どんな規則に従って選べばいいんだ?
実数部がプラスの 1 - (√3)i を選ぶ? 虚数部がプラスの - 1 + (√3)i を選ぶ?
決めようがない。
√(-1) は、たまたま i と (-i) だから、プラスの方という規則にすればよかったけど、
他の場合には、共通に使える規則を作れない。
だから、- 1 + (√3)i と 1 - (√3)i の中のどちらかに決めて、
最初から最後までその決め方で統一することにしてある。
これは、どちらを選んでも、対称性から同じ結果になるから、できるわけですが...


http://fukushimadisasternote.1apps.com/


  • [82]
  • 高等学校の教科書で、0の倍数を考えないものがあるらしい

  • 投稿者:TaKu
  • 投稿日:2019年 4月30日(火)20時08分17秒
  • 返信
 
教科書の内容に関するQ&A - 数研出版
https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/78/78-10.pdf
常日頃,先生方から高等学校の教科書につきましていろいろなご質問をいただいております。

>数学Aの「整数の性質」で約数・倍数を定義しますが,定義が教科書によって異なるようです。数研の教科書では次のように書かれています。
「2つの整数 a,b について,ある整数 k を用いてa=bk と表されるとき, b は a の約数であるといい, a は b の倍数であるという。」
ところが他の教科書を見ると, b について「b≠0」という条件を付加している場合があります。どういうことでしょうか。


「b≠0」という条件を付加している教科書があるようです。
「0の倍数は0」は考えてはいけない方針なのかもしれません。

  • [81]
  • 日本大百科全書(ニッポニカ)では、偶数に0を含めていない

  • 投稿者:TaKu
  • 投稿日:2019年 4月19日(金)22時38分49秒
  • 返信
 
偶数(ぐうすう)とは - コトバンク
日本大百科全書(ニッポニカ)の解説
https://kotobank.jp/word/%E5%81%B6%E6%95%B0-54878#E6.97.A5.E6.9C.AC.E5.A4.A7.E7.99.BE.E7.A7.91.E5.85.A8.E6.9B.B8.28.E3.83.8B.E3.83.83.E3.83.9D.E3.83.8B.E3.82.AB.29
自然数のなかで、2、4、6のように2で割り切れる数をいう。つまり、ある自然数の2倍の形に書かれる数である。したがって、偶数は2×n(nは自然数)の形に表される。自然数は偶数か奇数かのどちらかである。丁半というときの丁が偶数を意味している。偶数については次のことがいえる。二つの偶数の和は偶数である。また、二つの偶数の積も偶数である。[三輪辰郎]

三輪辰郎氏の名前は、筑波大学数学教育研究室に載っています。
http://www.human.tsukuba.ac.jp/~mathedu/03.htm


日本大百科全書(ニッポニカ)の解説では、自然数に0を含めていないようです。
https://kotobank.jp/word/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0-73600#E6.97.A5.E6.9C.AC.E5.A4.A7.E7.99.BE.E7.A7.91.E5.85.A8.E6.9B.B8.28.E3.83.8B.E3.83.83.E3.83.9D.E3.83.8B.E3.82.AB.29
1、2、3、……のように、ものを数えたり、順番を示したりするのに使われる数をいう。これは、正の整数ということもできる。

こちらにも[三輪辰郎]とあります。

  • [80]
  • 0を偶数に含めないという指導に配慮?

  • 投稿者:TaKu
  • 投稿日:2018年 8月16日(木)20時14分33秒
  • 返信
 
小学校学習指導要領(平成29年告示)解説 算数編
算数(1)第1章~第2章  (PDF:1689KB)
http://www.mext.go.jp/component/a_menu/education/micro_detail/__icsFiles/afieldfile/2018/05/07/1387017_4_1_2.pdf
・2,4,6…から共通の性質を見いだして「偶数」という一つのものにまとめるというように集合から捉える。

0を偶数に含めないという指導に配慮されているような記述になっています。

  • [79]
  • 山本良和氏は数学では普通は0が倍数であることを知らないのかも

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2017年 8月 8日(火)22時08分48秒
  • 返信
 
山本良和の算数授業 必ず身につけたい算数指導の基礎・基本55 資質・能力を育む授業を実現するための方法

http://takexikom.hatenadiary.jp/entry/2017/08/08/054332

 算数の学習場面では,「わかる」「できる」「知っている」という状態が混在しています。それは,「算数ができる子ども」「算数がわかっている子ども」「算数を知っている子ども」というふうに子どもに置き換えて表現してみると,それぞれ言葉が異なるように意味合いが違います。この中で,一番表面的で浅い理解を表したものは「算数を知っている子ども」です。
 例えば,低学年でも偶数や奇数という言葉を使う子どもがいます。多くの場合,このような子どもは偶数,奇数という言葉だけを知っている(知識)だけの状態です。だから,「1.2」という小数を見ても,「これは偶数だ」と言うのです。「偶数」という言葉に出会った子どもが自分なりにイメージしたことを結びつけただけの曖昧な状態なので,このような誤った反応が現れます。こういう傾向は,塾などに行って先取り知識を持っている子どもに多くみられます。特に質が悪いのは,その状態でその子ども自身は「自分はわかっている」と思い込んでいるという点です。このような曖昧な子どもの理解を正しい理解へと促すのが学校教育における算数授業の役割の一つだと言えます。
 「1.2」は小数です。偶数は整数を分類したものですから,当然「1.2」は偶数ではありません。小数第一位の「2」だけを見て偶数ととらえてしまっている子どもは,偶数を理解できていないということになります。一方,「1.2は小数だから偶数じゃないよ」と言える子どもは「算数がわかっている子ども」です。学校の算数授業では,このような「わかっている子ども」を育てています。
 余談ですが,{0,2,4,6,8,10…}という集合(A)と,{2,4,6,8,10…}という集合(B)の違いは「0」の有無です。偶数はどちらでしょうか。
 当然,集合(A)が偶数です。では集合(B)は何でしょうか。こちらは2の倍数です。5年生で倍数の学習をした子どもでも,偶数と2の倍数が同じだと思っている子どもはたくさんいます。このような正確な判断ができることが「算数がわかっている子ども」の姿であるということを改めて確認しておきましょう。



この文を読むと、山本良和氏は「0は倍数だが、指導の都合上算数においては便宜的に0は倍数ではないとしておく」とは思っていなくて、「そもそも0は倍数ではなくて、子どもはこのことをちゃんと知っておく必要がある」と思っているように見える。

  • [78]
  • 初等教育研究所 山﨑 憲

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2017年 1月27日(金)20時31分40秒
  • 返信
 
http://www.djn.co.jp/support/special/point/docs/2015/6/2/2.php
>ただし、倍数の学習をした後では「偶数は2の倍数」と言いたくなりますが、0は倍数に含まないため「2の倍数は偶数」と言えても「偶数は2の倍数」とは言えず、「偶数は2の倍数と0」としなくてはなりません。同様に、奇数は「2の倍数より1大きい」では「1」が含まれません。そこで奇数は「2の倍数より1小さい」と言わねばなりません。従って式の一般化は上学年にゆだねるべきで、あまりやり過ぎないのがよいだろうと思います。


くだらん

  • [77]
  • 中学校で、0を倍数に入れて誤答

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年10月11日(火)08時51分0秒
  • 返信
 
http://superkoushi.blog136.fc2.com/blog-entry-105.html
>ところが、今から3年前の新中1生でそのことをしっかり覚えていた生徒が、
「先生、学校のテストで倍数に0を書いたら×になった!」


  • [76]
  • 「2の倍数にあたる数を◯で囲みましょう」「0には◯つけないで」と指導

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年10月 1日(土)12時16分34秒
  • 返信
 
https://twitter.com/vecchio_ciao/status/782054667849043969
https://twitter.com/vecchio_ciao/status/782056146689372160

  • [75]
  • 2桁の数-その数の一の位と十の位を入れ替えた数

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 8月25日(木)09時18分16秒
  • 編集済
  • 返信
 
中学生の夏休みの宿題で

2桁の数とその数の一の位と十の位を入れ替えた数の差が9の倍数であることを示せ、

というのがあった。「aとbの差」が、a-b、b-a、|a-b|のどれなのか?あるいは特にどれと決まっていないのか不明だが、

どの解釈であっても、22と22の差は0だから、

この問題では、0は倍数と解釈しないとならない。

中学生には、3の倍数を列挙してもらって、0や-3、-6も含めて3の倍数、
3×整数 で書けるなら3の倍数

ということを説明して、すんなり理解してくれた。


小学校算数での0を3の倍数から除外するのって、いつ解除されたの?

  • [73]
  • TOSSによると、0は整数ではない

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年12月17日(木)03時06分51秒
  • 返信
 
http://www.tos-land.net/teaching_plan/contents/14758
>説明1:
3に整数をかけてできる数を3の倍数と言います。3の倍数。
「3の倍数」を子どもにも言わせて、押さえる。

発問1:
3に0をかけると、0になります。0も3の倍数ですか?
子どもに挙手させる。
倍数だという子とそうではないという子がいるはずだ。

指示2:
教科書に証拠がありますよ。
早く見つけることができた子をほめる。
0は倍数に入れないことを確認する。



教科書が「証拠」というのもなんだかな~
まあ、TOSSだから

http://8254.teacup.com/kakezannojunjo/bbs


  • [72]
  • 算数教育ローカルルールを理解していない、さいたま市教委

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 8月 4日(火)13時08分50秒
  • 返信
 
算数教育ローカルルールを理解していない、さいたま市教委
http://gakkoukyouiku.saitama-city.ed.jp/sosiki/sidou1/kisogakuryoku/H23sansu/syou/6nenn/07hitohinoatai.pdf#page=3
0は2の倍数、3の倍数、5の倍数らしい。

0が倍数で何がおかしいのか?もちろん何もおかしくない。でも、算数教育では「0は倍数ではない」というおかしなルールになっている

  • [71]
  • 3個を0人で分けました。何個余りますか?

  • 投稿者:くろきげん
  • 投稿日:2015年 8月 2日(日)17時02分59秒
  • 返信
 
3個余りますよね。

0個を0人で分けました。余りは何個?

余りは0個ですよね。

以上のような意味でも、0で割った余りの話は算数レベルの話ですよね。


  • [70]
  • 「aで割った余りが等しい」は「差がaの倍数になる」の意味

  • 投稿者:くろきげん
  • 投稿日:2015年 8月 2日(日)07時48分4秒
  • 編集済
  • 返信
 
YHさんの言う通りです。以下, a,b,c,…,x,y,zは整数。

「xとyのaで割った余りが等しい」は
「x-yがaの倍数になる」と同じ意味です。

そして、「商」だけではなく、「余り」そのものさえも定義せずに、
「余りが等しい」の概念をそのように定義することから
出発することもできます。

数直線上の数を等間隔aで同じ仲間とみなすという
視覚的に見易い話から出発する話は、
「余り」そのものを定義せずに、
「余りが等しい」の概念から出発する話だとみなせます。
おそらく数直線を使った「余りが等しい」の概念の説明は
実際にどこかの算数の授業で実際に扱っている。
だから、これは完全に算数レベルの話だとみなされるべきでしょう。

「余り」を定義する前に「余りが等しい」などと言うのは
けしからんと怒る人は今までの話を何も聴いて無かった人。
そういう思考法を改めておいた方が算数や数学を教える大人の
立場として好ましいです。
(子供に教えるときの話とは違う話をしていることに注意。)

aで割った余りを求めることは
aで割った余りが等しい数の中から特定の数を選び出す操作
として定義されることが多いです。
たとえば5で割った余りは0,1,2,3,4の中から選び出すのが
普通だということになっている。
しかし、目的に合わせてそこは自由に変えて構いません。

実際、私はある理由があって、ある数式処理ソフトで計算する
ときに、n で割った余りを1,2,...,n から選び出す函数を書いて
利用する必要に迫られました。その函数を利用している限り、
余りは決して 0 にならない(笑)。

「aとbを0で割った余りが等しい」は「a-bが0の倍数になる」
という意味なので、「a=b」と同じ意味になります。
「0で割った余りが等しい」による仲間分けにおいて、
aの仲間はaしかいない。
だからaを0で割った余りの選択肢はa自身しかない。
というわけで、aを0で割った余りはa自身になります。

余りの選択肢の中に常に0を含めておくことにすれば、
「aはbの倍数」「bはaの約数」「aはbで割り切れる」「aをbで割った余りは0」
のすべてが例外無しに(bが0であっても)全部同じ意味になります。

例外無しに全部うまく行く仕組みを知っていると、
例外を勝手に作って無用な但し書きを付けることに気を使う必要が
一切無くなります。こういう類のことを膨大に積み重ねると、
算数や数学について考えるときの心理的負担も大幅に減ることになります。

同じヒトなのに、
ある人はものすごく楽に何の苦しみもなく様々なことを理解できるのに、
別のある人は汗をかきながら必死になって考えても理解できない。
心理的負担がない人とたくさんの心理的重荷を背負ったままの人では
同じ努力をしていても大きな差が出てしまいます。

本当はくだらないことなのに大事なことだと錯覚するたびに
その人の数学的才能は傷付けられて行くことになります。
それはとてももったいないことです。


  • [69]
  • わり算を実行しなくても、いいと思いますが・・・・

  • 投稿者:YH
  • 投稿日:2015年 8月 1日(土)14時55分55秒
  • 返信
 
 7と4が3で割ったときに同じ余りを持つかは、具体的に
   7÷3=2・・・1
   4÷3=1・・・1
と、わり算を実行しなくても
   7-4=3=3×1 ・・・7-4は3の倍数
とすれば、わかります。
   0-0=0=0×0 ・・・0-0は0の倍数
で、0は0で割り切れることがわかります。私は、このように理解しています。

  • [68]
  • (無題)

  • 投稿者:kankichi573
  • 投稿日:2015年 8月 1日(土)13時11分29秒
  • 返信
 
>0は偶数でも奇数でもない?
それはきっとルーレットの話なんだ。

  • [67]
  • またしても残念な反応でした。

  • 投稿者:くろきげん
  • 投稿日:2015年 7月31日(金)21時17分32秒
  • 返信
 
私が https://twitter.com/genkuroki/status/625102016268734464 で曰く
>たとえば、0は3の倍数であり、0は3で割り切れ、3は0の約数である。
>0は0の唯一の倍数なので、0は0で割り切れ、0は0の約数である。
>こういうことを算数で問題を出して確認する必要はないですが、
>教える側はこういうものだと了解しておいた方がよいと思う。

ポイントは(子供相手に)算数で問題を出して「0は0で割り切れる」こと
を確認する必要はないということを私が最初から明確に述べていたということ。
問題は教える側が概念的に「同じ」と考えるべきことを
「同じ」と考えることができるようになっているか否か。
教える側が「割り切れる」と書いてあっても「商を求める割算」を
想像する必要がないという事実を理解しているかどうかも重要。

この件に対するメタメタさんの反応は極めて残念なものでした。

メタメタさんが >>52 で曰く
>(A)0は偶数とするが,2の倍数には入れない。(小学校)
>(D)「0は0の倍数で,0は0の約数で,0は0で割り切れる」と言うとき,0÷0は関係ない。(大学)
>(A)で,0は偶数とするなら,「2の倍数にはしない」と言う必要はないと思うし,
>(D)で,「0は0で割り切れる」と言う必要はないと思うのです。

私が >>55 で曰く
>「0は0で割り切れる」と言う必要はないと思った理由は何でしょうか?

>    個人のレベルで「必要はない」と思うのは勝手ですが、
>さすがに(A)と(D)を同列に並べて「必要はないと思う」などと言うのはまずいでしょう。

>(A)の教え方はとてもまずい。
>(D)は理解していれば小学校レベルの話です。
>「割り切れる」と「商を求める」の概念の違いを明確に認識するだけの問題。
>(A)と(D)を同列に並べるのはおそらく十分な理解に達していないからです。

>もしかして「割り切れる」に「割る」という言葉が入っていることに
>まだこだわっているのかな?もしもそうなら、それはかなりまずいです。

ポイントは(A)と(D)をメタメタさんが同一の「必要はないと思う」という言い方で
同列に並べていたこと!この点に関する釈明が無ければ私の質問にまともに
答えたとはみなせない。

さらに私は「これは全然大学の数学の話じゃないよ」という意味の発言をしています。

ぼく自身は自分以外の大学の数学の先生から「0は0で割り切れる」という
言い方を聞いたことがないので、大学の数学の先生特有の言い回しという
わけでもない。

「0は0で割り切れる」という言い方には、
大人で算数や数学を教えているくせに
「0÷0」にこだわることを止められない人達を挑発する意図がありました。

これはもともとそういう文脈の話なのです。

こういう流れがわかっていれば >>65 の反応の仕方がとても残念だった
ということがそれなりに多くの人にわかってもらえるのではないでしょうか?

さすがに(A)と(D)を完全に同じ言い方で同列に扱うのはまずいでしょう。


  • [66]
  • Re: 大日本図書教師用指導書 解説編 続き

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月30日(木)12時01分45秒
  • 返信
 
>>64
>  これもひどい。
>
>  子どもは、液体を別の容器に移し替えただけで重さや体積が変わると思っているらしい。9~10才くらいまでは重さが変わると思ってるらしい。11,12歳くらいまでは体積が変わると思っているらしい。
>


ピアジェのそのあたりの話は怪しいようですね。
https://twitter.com/genkuroki/status/276540298262351872


  • [65]
  • Re: 「0は0で割り切れる」と言う必要はないと思った理由は?

  • 投稿者:メタメタ
  • 投稿日:2015年 7月30日(木)02時01分3秒
  • 返信
 
>>55

<0=0×k の式を満たす整数kがあるとき,0は0の倍数であり,0は0の約数である>と理解しているときに,「0は0で割り切れる」という言い回しが出てくると,「商を求める通常の割算」(@黒木さん)のことと思って,0÷0は不定じゃないの,という疑問が出てきます。いや,ここでは0÷0は関係なくて,「「剰余」の意味での割算(商を求める必要はなく、余りだけを求めればよい割算のこと)」(同前)というなら,そういう言い回しはそれが必要なときに持ち出せばいいのでは,ということです。
かけ算の順序で算数の教科書の記述の是非を論じていたときに通常のかけ算の話をしていたように,大学数学の「独特の用語の言い回し」ではない「通常の割り算」の話で十分だと思うのです。


  • [64]
  • 大日本図書教師用指導書 解説編 続き

  • 投稿者:鰹節猫吉
  • 投稿日:2015年 7月30日(木)00時06分5秒
  • 返信
 
 これもひどい。

 子どもは、液体を別の容器に移し替えただけで重さや体積が変わると思っているらしい。9~10才くらいまでは重さが変わると思ってるらしい。11,12歳くらいまでは体積が変わると思っているらしい。


  • [63]
  • 素数の定義

  • 投稿者:YH
  • 投稿日:2015年 7月29日(水)20時04分1秒
  • 返信
 
手元にある小学校・中学校・高校の教科書で素数の定義を調べてみました。

「2,3,5などは、1とその数自身の積の形でしか表されない数である。このよう
な自然数を素数という。1は素数に含めない。
 素数は約数を2個だけもつ自然数である」
  (大日本図書『数学の世界3』、H24.2.5 、P24

 「2以上の自然数で、1とそれ自身以外に正の約数を持たない数を素数という」
  (数研出版『数学A』H25.1.10 P113)

 「2,3,5,7・・・のように、1とその数以外に約数がない数を、素数といいます。
  1は素数に入れないことにします。」
  (大日本図書『たのしい算数5』H27.2.5 P94)

いずれも問題なく定義されていました。

※投稿するページを間違えて、こちらにコピーしました。もとのページの削除をお願いします。

  • [62]
  • Re: 素数の定義

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月29日(水)17時25分13秒
  • 返信
 
>>61

1を素数に入れないのは便宜的なものでしょうね。

「素数pを法とする剰余類は体になる」

これは成り立つか?1を法とする剰余類は、ただ1つの元になる。

1=0となる。

体の満たすべき公理は満たすが、普通は体は1=0となるものは除外するようだけど、これも便宜的だからね。


で、1を素数から除外するのはいいのだけど、

普通は、「1とその数自身のみしか約数としてもたない数。但し、1は除く」という具合に定義する。

「1とその数自身しか約数がない」だけで、1が除かれるという解釈は、少なくとも数学ではあまりない。

 算数教育学での「単項演算・二項演算」が、数学での単項演算・二項演算とは似て非なるもの、というか似てもいない全く別物、であったように、

 算数教育界での言葉は、独特の意味になっている可能性があります。

  • [61]
  • 素数の定義

  • 投稿者:YH
  • 投稿日:2015年 7月29日(水)15時20分29秒
  • 返信
 
57
>1とその数自身しか約数をもたない自然数を素数という。
 いままで素数のこの定義のことばをじっくり考えて見たことがありませんでしたが、
言われてみれば1も素数に入ってしまいますね。1を素数に入れないのは素因数分解の
一意性との関連だと思いますが・・・。要は1を素数に含めない方が便宜だという理由
だと思います。
 ところで、この定義は中・高生にわかりにくいと思います。そこで、「正の整数で約数の個数が
2個のみになる数を素数という」と再定義して教えています。
 「積分定数」氏の指摘、「a,bの2つの整数がある」と言った場合、私は当然a=b
の場合も想定します。そうしたことから考えると「「1とその数自身しか約数がない」との定義は、
1を素数に含むと言えなくはありません。しかし、所詮ことばによる定義には限界があると思って
いますので、そのような素数の定義でも仕方がないというのが、正直な私の感想です。


  • [60]
  • Re: 大日本図書 教師用指導書 解説編

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月29日(水)11時30分2秒
  • 返信
 
>>57
>  大日本図書教師用指導書の解説編のほうの画像をはります。
>
> > なお、約数に関連して、1とその数自身しか約数をもたない自然数を素数という。
> > 例えば、 3, 5, 7, 11, 13, …などである。
> > ただし、1は、1しか約数がないことになり、素数の定義にあてはまらないので素数ではない。
>
>
>  ずいぶん、ズサンな作り方をしているようで……
>
>  素数の定義が「1とその数自身しか約数がない」だとすると、1も素数ということになると思いますが……


昔、数学セミナーで読んだことを思い出しました。

詳細は忘れましたが、

算数教育の現代化がうまく行かなかった、算数教育関係者(教師だったかも)と数学の専門家で認識の違いがあり、話がかみ合わなかったと言う話。

「a,bの2つの整数がある」

こういうときに、どうも、算数教育関係者は「aとbは異なる」と認識するらしいとういことでした。

一般的かどうかわかりませんが、筆者がそういう経験をした、あるいはそういう話を誰かから聞いた、

というような話です。

「1とその数自身しか約数がない」から、「2つの異なる約数を持つ」という意味に自動的に解釈され、1は素数から除外されることが導かれているとしたら、

 数学とは異なる、算数独特の用語の使い方があるのかもしれません。


 「a,bの2つの整数がある」、

これは「一般にはaとbは異なる」ということで「aとbが一致する場合も排除していない」

しかし、算数教育では、「一般にはaとbは異なる」を「全ての場合においてaとbは異なる」と解釈している可能性があります。


 数学で言う「一般」が、「具体的数3+5=5+3が成り立つ、に対して、一般的に、a+b=b+a」と言うような意味http://8254.teacup.com/kakezannojunjo/bbs/t19/5
と、「測度0程度の例外を除いて」と両方に使われて、大抵は文脈でわかるのですが、http://8254.teacup.com/kakezannojunjo/bbs/t19/5

 算数教育では、独特の用語の使い方があるのかもしれません。

  • [59]
  • 算数と高等数学の関係

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月29日(水)10時20分3秒
  • 返信
 
>>52
> twitterでのご回答ありがとうございます。
> 行数の制限の無い方が書きやすいので,こちらで感想を書きます。
>
> (A)0は偶数とするが,2の倍数には入れない。(小学校)
> (B)0は,0を含むすべての整数の倍数である。(中学校)
> (C)0を含むすべての整数は,0の約数である。(高校)
> (D)「0は0の倍数で,0は0の約数で,0は0で割り切れる」と言うとき,0÷0は関係ない。(大学)
>
>  (B)(C)は納得できるのですが,(A)で,0は偶数とするなら,「2の倍数にはしない」と言う必要はないと思うし,(D)で,「0は0で割り切れる」と言う必要はないと思うのです。
>  かけ算の順序の話のときに,行列だとか群だとか,はては四元数などを持ち出す議論は関係ないとしたように,(A)(B)(C)の話に剰余環の話は関係あるんでしょうか?(群や四元数や剰余環やイデアルが興味深い話であることは別にして。)
>


掛算の順序議論で、非可換積の例を出すのは、多くの場合「順序は大切」とする側。しかし、そもそも算数においての「掛算の順序」と、非可換積とは何の関係もない。行列の積が可換ではない、というのと、「4人に3個ずつ蜜柑を配る場合に、4×3とすると12人の意味になる」という算数での謎理論とは、何の関係もない。

 行列も、1行1列であれば可換だし、各成分の計算や行列式の計算は、通常の数の計算が適用される。

 可換・非可換とはどういう場合かが明確な行列その他の非可換積の話と、場当たり的で曖昧で有害無益な算数での掛算の順序は、全く別物。

 掛算に順序は関係ないことは、算数の範囲で十分理解できる。そもそも算数の正規のカリキュラムで交換法則が教えられている。格子状に並べた図で1つ分といくつ分の区別が無意味であることが直感的に分かるようになっている。

 だから、掛算の順序強制を批判するのには、高等数学の理解は不要。


0は倍数か、否か、 に関しても、0を倍数に含めないと数直線上の倍数の分布が不自然になるわけで、算数の段階で不合理なことが露呈する。

 負の数まで考えると不自然さはより明らかになる。高度な数学になればなるほど、0が倍数から除かれることの不合理性はより明白となるが、せいぜい中学数学の理解までで十分。

 0が絡んだ約数や「割り切れる」となると、話がややこしくなるので、算数においては、これについては考えないと言うことでいいと思う。

aはbの倍数  bはaの約数 aはbで割り切れる

これらは同値としていい。0が絡んでも成り立つが、敢えて触れることはない。

子供が質問したきたら、そういう疑問を持つことを褒め称えた上で、「そのうち分かるときが来るかもしれないから」とごまかすのもあり。

 私は、教師が子供の疑問に全て明瞭に答える必要はないと思う。謎や含みを残し、子供をもやもやした状態にするのもありだと思う。

 ただし、教え方とは別に、「aはbの倍数  bはaの約数 aはbで割り切れる」 が、0を含んだ整数全体で同値であることはどう理解すべきか、

 となると、算数を若干逸脱することになる。

 とくに、「割り切れる」とかの余りのある割り算に関して、概念を転換する必要がある。

もともと、余りのある割り算と言うのは、20個の蜜柑を6個ずつ配ると何人分か?というような問題で、3人分で2個あまる、という具合に導入される。

 答えとして重要なのは3人分で、2個あまるというのは添え物、という感じ。

 ところが、倍数とか約数、さらに高度な数学になってくると、余りがあるかどうか、余りがいくつか、の方が重要になってくる。

 取り敢えず非負整数で考える。a÷bの商とあまりを求めるというのは、
a=b×c+r となる、cとrを求めるということ。ただし、r<b

bが0でなければ、cとrは一意的に決まる。

b=0だと

a=0×c+r となる。r<0となる非負整数は存在しない。

だったら、r<bという制約をなくせばいい。そうすると、一意性を失うが、大した問題ではない。

20÷6=2あまり8 というのもありにしてしまう。数の分類が目的なら、一意性に拘る必要はない。

 こうすることで、倍数、約数、割り切れる の概念は0を含んだ整数全体に例外なく拡張できる。さらには、複素整数や多項式にまで概念の拡張が可能。

 算数を教える上で、あるいは、0が倍数ではないとされていることを批判する上でこれらを理解する必要はないが、理解しているのに越したことはない。


  • [58]
  • 今後、バルタン成人 さんの書き込みは禁止します。

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月29日(水)08時30分25秒
  • 返信
 
バルタン成人 さんの書き込みは禁止します。

何か言いたい事があるようでしたら、ツイッターで私に言うか、mixiの
http://mixi.jp/view_bbs.pl?comm_id=4341118&id=66762402&comment_count=104
に書き込んでください。

  • [57]
  • 大日本図書 教師用指導書 解説編

  • 投稿者:鰹節猫吉
  • 投稿日:2015年 7月29日(水)01時00分57秒
  • 返信
 
 大日本図書教師用指導書の解説編のほうの画像をはります。

> なお、約数に関連して、1とその数自身しか約数をもたない自然数を素数という。
> 例えば、 3, 5, 7, 11, 13, …などである。
> ただし、1は、1しか約数がないことになり、素数の定義にあてはまらないので素数ではない。


 ずいぶん、ズサンな作り方をしているようで……

 素数の定義が「1とその数自身しか約数がない」だとすると、1も素数ということになると思いますが……


  • [56]
  • 昔からよくしていたタイプの回答

  • 投稿者:くろきげん
  • 投稿日:2015年 7月28日(火)23時53分24秒
  • 返信
 
バルタン成人氏がこれ以上ここに書き込むようだと
私はこの掲示板から撤退するかもしれません。
個人的にはバルタン成人氏の発言は削除してもらえると助かります。

私はどこの何者かわからない人物とはやりとりしないようにしています。
恥をかけるだけ十分な情報をどこかで公開してからにしないと
私に相手をしてもらうのは難しいと思います。

http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/keijiban/Anonymous.html

  • [55]
  • 「0は0で割り切れる」と言う必要はないと思った理由は?

  • 投稿者:くろきげん
  • 投稿日:2015年 7月28日(火)23時46分22秒
  • 返信
 
>>52
>(A)0は偶数とするが,2の倍数には入れない。(小学校)
>(D)「0は0の倍数で,0は0の約数で,0は0で割り切れる」と言うとき,0÷0は関係ない。(大学)

>(A)で,0は偶数とするなら,「2の倍数にはしない」と言う必要はないと思うし,(D)で,「0は0で割り切れる」と言う必要はないと思うのです。

「0は0で割り切れる」と言う必要はないと思った理由は何でしょうか?

個人のレベルで「必要はない」と思うのは勝手ですが、さすがに(A)と(D)を同列に並べて「必要はないと思う」などと言うのはまずいでしょう。

(A)の教え方はとてもまずい。(D)は理解していれば小学校レベルの話です。「割り切れる」と「商を求める」の概念の違いを明確に認識するだけの問題。(A)と(D)を同列に並べるのはおそらく十分な理解に達していないからです。

もしかして「割り切れる」に「割る」という言葉が入っていることにまだこだわっているのかな?もしもそうなら、それはかなりまずいです。

  • [54]
  • Re: 典拠を示さないのはまずい

  • 投稿者:バルタン成人
  • 投稿日:2015年 7月28日(火)23時41分59秒
  • 返信
 
それは失礼しました。
以後気をつけます。
ところで、今までくろきさんは質問にお答えいただけないですね。
「はい」または「いいえ」で答えられる単純なことなのに、答えると何か都合が悪いのですか?

さて質問です。
1 掛け算をファイバー構造で説明するのは、笑われることだ
2 ファイバー構造で説明した数学者は、笑われるべきだ。

「はい」「いいえ」でお答えください。

  • [53]
  • 0^0について

  • 投稿者:YH
  • 投稿日:2015年 7月28日(火)16時15分14秒
  • 返信
 
くろきげん氏の指摘、「次の2つは別の話なので混同しない方がよいです。
 ・(x,y)=(0,0)の近くで x^y はどう振る舞うか
  ・0^0 をどのように定義するかしないか」
は、参考になりました。と言うより0^0を定義しない理由として(x,y)=(0,0)の近くで x^y
振る舞いが異なることを理由に思っていました。
 0^0=1と定義する場合が多いことは知っていましたが、自分で納得ができなかったのです。
[50]を読んで、数学の基本は「約束事は自分が好きなように決めてよいです」はよくわかりま
した。

  • [52]
  • Re: 典拠を示さないのはまずい

  • 投稿者:メタメタ
  • 投稿日:2015年 7月28日(火)15時21分44秒
  • 返信
 
twitterでのご回答ありがとうございます。
行数の制限の無い方が書きやすいので,こちらで感想を書きます。

(A)0は偶数とするが,2の倍数には入れない。(小学校)
(B)0は,0を含むすべての整数の倍数である。(中学校)
(C)0を含むすべての整数は,0の約数である。(高校)
(D)「0は0の倍数で,0は0の約数で,0は0で割り切れる」と言うとき,0÷0は関係ない。(大学)

 (B)(C)は納得できるのですが,(A)で,0は偶数とするなら,「2の倍数にはしない」と言う必要はないと思うし,(D)で,「0は0で割り切れる」と言う必要はないと思うのです。
 かけ算の順序の話のときに,行列だとか群だとか,はては四元数などを持ち出す議論は関係ないとしたように,(A)(B)(C)の話に剰余環の話は関係あるんでしょうか?(群や四元数や剰余環やイデアルが興味深い話であることは別にして。)


  • [51]
  • Re: 0÷0

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月28日(火)12時52分55秒
  • 編集済
  • 返信
 
>>45

0^0に関して、くろきげんさんが既に書かれていますが、私の考えを述べます。

0^0をいくつに定義しても、x^y (0≦x)をxとyの連続関数としてすることは出来ません。

しかしこのことは定義できないことを意味しません。

集合論では、集合Aから集合Bへの写像全体の集合を、B^Aと定義します。
写像は、AとBの直積の部分集合である性質を満たすものとして定義します。

それやこれやで、0^0も定義できて、これはφからφへの写像全体の濃度となるのですが、結局、φが唯一の写像となり、

φ^φ={φ} ということで、0^0=1となります。

  • [50]
  • 「0^0は値が確定しないから定義しません」は誤り

  • 投稿者:くろきげん
  • 投稿日:2015年 7月28日(火)11時00分54秒
  • 返信
 
次の2つは別の話なので混同しない方がよいです。

・(x,y)=(0,0)の近くで x^y はどう振る舞うか
・0^0 をどのように定義するかしないか

大学1年生向けの教科書には

e^x = Σ_{n=0}^∞ x^n/n!

という公式が書いてあります。この公式を使って e^0 を求めるときには「0^0は不定である」なんて考えません。実際には多くの場面で 0^0=1 ということになっています。

数学の基本は「約束事は自分が好きなように決めてよい」です。数学の世界で何が起こっているかを誤解してしまうのはまずいですが、約束事は自分勝手に決めてよい。

「(x,y)=(0,0)の近くで x^y の振る舞い」についてきちんと考えることができる人は世間一般的には相当な数学的実力の持ち主だとみなせると思います。そんなに数学的実力があるなら、「他人が0^0をどう定義しているかしていないか」なんて気にせずに「約束事は自分が好きなように決める」と考えた方がよいと思います。

定義や約束事は目的ごとに変えるのが基本なのですが、そのときに自分が採用したスタイルが目的にとって不適切な場合には「何て馬鹿なことをやっているんだ」と他人に思われることになります。しかし、馬鹿にされることをおそれていると、いつまでたっても、適切な約束事を自分で決めることができなくなる。数学的実力がある人がそうなってしまうのはもったいないです。


  • [49]
  • 典拠を示さないのはまずい

  • 投稿者:くろきげん
  • 投稿日:2015年 7月28日(火)10時28分43秒
  • 返信
 
>>36 は他人の著作物を何の典拠も示さずに転載しています。
それではここだけを見た人は

・どのような文脈で書かれたものなのか
・その後どのような展開があったのか

を知ることが困難になります。

というわけで次回からはきちんと以下のように
リンクをはって頂きたいと思います。

https://twitter.com/genkuroki/status/625102016268734464
>たとえば、0は3の倍数であり、0は3で割り切れ、3は0の約数である。0は0の唯一の倍数なので、0は0で割り切れ、0は0の約数である。こういうことを算数で問題を出して確認する必要はないですが、教える側はこういうものだと了解しておいた方がよいと思う。

上のリンク先にアクセスすればその後の展開も読めます。たとえば

https://twitter.com/genkuroki/status/625536041747808257
>メタメタさんから寄せられた質問は「0は0の倍数なので、0は0の約数であり、0は0で割り切れる」と言うとき、「0÷0の式を許しているのでしょうか?」です。答えは「0÷0はこの話題には関係ない」です。なぜならば商を求める必要が一切ない話だからです。続く

https://twitter.com/genkuroki/status/625537337519280129
>積分定数さんが説明したように、私は「aはbの倍数」「bはaの約数」「aはbで割り切れる」は全部「a=bcをみたすcが存在する」と同じ意味だと定義しています。どこにも商を求める割算が含まれていないので0÷0を思い浮かべること自体がナンセンスです。

https://twitter.com/genkuroki/status/625537821793632256
>おそらく「0が0で割り切れる」という言い方の中に「割る」という言葉が入っているので「0÷0」を思い浮かべてしまったのでしょう。しかし、算数や数学では単純に字面通りに解釈するとダメだということになっています。ダメなことをやるからおかしなことになる。

算数や数学では単純に字面通りに解釈しようとすると、多くの場合におかしな考え方にはまりこんでしまい本質を見失ってしまいます。たとえば「長方形は長くなければいけない。だから正方形は長方形ではない」のように考えるのはとてもまずい。「割り切れると書いてあったから、割って商を求めなければいけない」と考えるのもまずいです。

まずい考え方にはまり込んでしまっている人をよく観察すると、直観的にクリアに理解できていないせいで、字面に頼った苦しい思考を行なわざるを得ない状況に追い込まれている場合が多いです。心の中にしっかり直観が育成されていれば「ああ、あれか!」でおしまいになる。

https://twitter.com/genkuroki/status/625538935427481600
>ちなみに、a÷0を考えることなく、aを0で割った余りを含むようにaをbで割った余りを定義できます。(この話は剰余環の概念を知っていれば自明。)そのようにうまく「余り」の概念を定義しておけば~続く

https://twitter.com/genkuroki/status/625539559552454657
>b=0の場合も含めて例外なく「aはbの倍数」「bはaの約数」「aはbで割り切れる」と「aをbで割った余りは0」がすべて論理的に同値になるようにできます。例外が一切ないので例外事項について一切暗記する必要がなくなります。

続きの解説をリンク先で読めます。

わざわざこうやって本人が出て来てリンクを代わりにはるというのはおかしいよね。最初からリンクを示しておいてくれれば私の側はこういうことをする手間がなくなる。

  • [48]
  • 0÷0

  • 投稿者:YH
  • 投稿日:2015年 7月28日(火)07時39分8秒
  • 返信
 
投稿番号[45]の0^0=0の例が間違っていました。
 (誤)x→0のとき、x^0→0^0=0
 これはx→0のとき、x^0→0^0=1になってしまいます。
 (正)x→0のとき、0^x→0^0=0
もっと有用な例として 0<=c<1に対して
    x→0のとき、{c^(1/|x|)}^|x|→0^0=c
がどこかの本にのっていました。いずれも、0^0は値が確定しないから定義しません。
 0÷0も確定しないから、定義しないでいいと思います。「0で割り切れる」ことを
「0÷0」に結びつける必要がないと思います。
 間違いがありましたので、お詫びして訂正しておきます。




  • [47]
  • Re: 積分定数さんに質問

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月28日(火)00時26分38秒
  • 返信
 
>>44
> 0÷0=c
>
> のCの値は、何ですか?
>
> Cの値が何でもありならば、
>
> 0÷0=1
> 0÷0=2
>
> よって 1=2
> と、矛盾があり、定義そのものが怪しくなりそうですが、それで大丈夫なんですか?
>

割り切れるかどうか、という話であって、0÷0の値が確定するというわけじゃありませんよ。

  • [46]
  • Re: 0÷0

  • 投稿者:バルタン成人
  • 投稿日:2015年 7月27日(月)22時57分50秒
  • 返信
 
ありがとうございました。


  • [45]
  • 0÷0

  • 投稿者:YH
  • 投稿日:2015年 7月27日(月)22時33分1秒
  • 返信
 
 0の約数はすべての整数になります。0の約数のなかに0も含めて考えることができます。
つまり、「0は0で割り切れる」と言うことになります。
 しかし、
   0÷0=1
   0÷0=2
となって、値が確定しません。このような場合は、普通0÷0を定義しません。
 これと似た例として、0^0があります。
 x→0のとき、x^x→0^0=1
となります。
 一方、x→0のとき、x^0→0^0=0
になります。この場合も値が確定しません。したがって、0^0は定義しないということになります。
 私見ですが、私も「積分定数」氏の言われるとおり、、「0は0で割り切れる」でいいと思います。
ただし、有限確定でないから
  0÷0を定義しない
でいいと思います。定義しない以上、「バルタン成人」氏の言うような1=2という矛盾は起きないと
思います。
 この考え方は全く私見で、何かを参考にしたわけではありません。念のために。


  • [44]
  • Re: 積分定数さんに質問

  • 投稿者:バルタン成人
  • 投稿日:2015年 7月27日(月)21時56分45秒
  • 返信
 
0÷0=c

のCの値は、何ですか?

Cの値が何でもありならば、

0÷0=1
0÷0=2

よって 1=2
と、矛盾があり、定義そのものが怪しくなりそうですが、それで大丈夫なんですか?


  • [43]
  • Re: 積分定数さんに質問

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月27日(月)05時21分55秒
  • 返信
 
>>42
> > 定義次第だけど、私は「割り切れる」でいいと思いますよ。
>
> 割り切れた結果は?
>

結果とは?

  • [42]
  • Re: 積分定数さんに質問

  • 投稿者:バルタン成人
  • 投稿日:2015年 7月26日(日)22時12分33秒
  • 返信
 
> 定義次第だけど、私は「割り切れる」でいいと思いますよ。

割り切れた結果は?


  • [41]
  • Re: 積分定数さんに質問

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月26日(日)21時25分18秒
  • 返信
 
>>40
> ありがとうございました。
>
> そうすると答えは何になるんですか?

定義次第だけど、私は「割り切れる」でいいと思いますよ。

  • [40]
  • Re: 積分定数さんに質問

  • 投稿者:バルタン成人
  • 投稿日:2015年 7月26日(日)20時23分56秒
  • 返信
 
ありがとうございました。

そうすると答えは何になるんですか?

  • [39]
  • Re: 積分定数さんに質問

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月26日(日)17時26分12秒
  • 返信
 
>>36
> >たとえば、0は3の倍数であり、0は3で割り切れ、3は0の約数である。0は0の唯一の倍数なので、0は0で割り切れ、0は0の約数である。こういうことを算数で問題を出して確認する必要はないですが、教える側はこういうものだと了解しておいた方がよいと思う。
>
> 0は0で割り切れるんですか?

a,b,cを整数とするとき、

「aはbで割り切れる」の定義が

「a/bが整数である」ということなら、0/0で不定形になるから微妙ですが、

「a=bcとなる整数cが存在する」という定義なら、「0は0で割り切れる」となりますね。

私は「0は0で割り切れる」ということでいいと思いますよ。




  • [38]
  • 訂正

  • 投稿者:黄昏
  • 投稿日:2015年 7月26日(日)15時46分1秒
  • 返信
 
間違えました。
0X2=0でした。

  • [37]
  • Re: 積分定数さんに質問

  • 投稿者:黄昏
  • 投稿日:2015年 7月26日(日)15時43分39秒
  • 返信
 
>>36
横レスしますが、
発言した人に直接聞いた方がいいと思います。
とは言うものの
0X0=0 0X1=0  0X2=2・・・・・・
だから0は0の倍数ですね。

  • [36]
  • 積分定数さんに質問

  • 投稿者:バルタン成人
  • 投稿日:2015年 7月26日(日)11時55分18秒
  • 返信
 
>たとえば、0は3の倍数であり、0は3で割り切れ、3は0の約数である。0は0の唯一の倍数なので、0は0で割り切れ、0は0の約数である。こういうことを算数で問題を出して確認する必要はないですが、教える側はこういうものだと了解しておいた方がよいと思う。

0は0で割り切れるんですか?

  • [35]
  • 学校図書最新版(2015年3月発行)

  • 投稿者:鰹節猫吉
  • 投稿日:2015年 7月25日(土)07時12分5秒
  • 返信
 
 学校図書教科書・教師用指導書最新版の情報です。
 今年出たばかりのものになります。

 実践編(児童用教科書+朱註&教師向注意事項) p100~101
 解説編(実践編とは別冊の教師向の分厚い本) p.160

 けっこうしつこく「0は倍数ではない」と言っています。

① 博士が 「0はのぞいて考えます。」 と説明。
② 正の整数を順に書かせて、 3, 6, 9, 12, … が3の倍数であることを確認。
③ 0から始まる数直線を見せて、~の倍数にマルをつけさせ、「0はのぞいて考えます」を再確認。
④ 教師向には、中学校とは違う、公倍数を考えるときにいちいち「0を除く」ということわりをもうけるのは煩わしい、と説明。


  • [34]
  • 3の倍数を小さいものから4つ書きなさい」 正解は「0、3、6、

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月23日(木)11時44分19秒
  • 返信
 
http://homepage1.nifty.com/tadahiko/ZOKI/ZOKI-004-0.HTML
3の倍数を小さいものから4つ書きなさい」
 などというのがある。小学校では負の数は扱っていないから、正解は「0、3、6、9」である


この方、奈良教育大学小学校課程数学科卒業とのことですが、算数では0は倍数ではない、ということをご存じなかったらしいです。

https://twitter.com/hoshitada/status/622929968637460481
そんなローカルルールがあるなんて! 私は小学校で0を含めずにバツにされた記憶があるのです。


 私自身は小学校時代にどう習ったのか記憶にないけど、その後普通に数学を勉強していれば、「0は倍数」という認識になるのは普通。「0は倍数ではない」などというローカルルールを知ったのは1年ちょっと前、


「0は倍数ではない」というのは不合理なわけだから、これを教えようとすると歪が生じるのは必然。

 「算数は数学とは違う」などといって、この歪が算数教育界の権威筋の権威を高めることになるから始末が悪い。

 

  • [33]
  • “素数の中でも仲間外れな数”とは

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月22日(水)12時48分30秒
  • 返信
 
http://blog.livedoor.jp/wordroom/archives/51114813.html
>“素数の中でも仲間外れな数”とは2のこと。
2は素数の中で唯一の偶数。
(「3は素数の中で唯一3の倍数」とか「5は素数の中で唯一の5の倍数」とか
 反論されるが、偶数は0を含んでおり、偶数=2の倍数ではないので倍数云々の理屈は通らない)

>ってか
0は偶数でもあり2の倍数です。
偶数=2の倍数 じゃないの?

>↑教科書読み直せ

  • [32]
  • Re: 些細なことだが気になる点

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月19日(日)23時41分46秒
  • 編集済
  • 返信
 
>>25

書き直し。

0を倍数とするかどうかはともかく、算数の倍数の導入段階では正の整数について考察することが多いと思う。

算数教育では、「正の整数について考察することが多い」を、「0を除いて考える」とルール化して、さらには「0は倍数ではない」とまでしてしまっている。

逆に言えば、「0は倍数ではない」とするもともとの理由は、「倍数を考察する対象は自然数に限定する」というものである。

 倍数であるべき0ですら、考察対象から除外しているわけで、ましてや小数や分数は、ここでは考察の対象外のはずである。

 だから、9は4.5の倍数とすべきかどうか、なんてことはここでは考察する必要はない。

 ところで、画像の学校図書のクッキーの箱の例は、厚みが5cmなので、高さが5の倍数となる、ということであるが、

 長さは連続量であって、整数値となる必然性がない。

 厚みが4.5cmなら、箱を2つ重ねると9cm 9は4.5の倍数と言うのかかどうか私は知らないが、連続量×整数というのは、高校物理の波のところで、波長×整数値 という形で頻繁に出てくる。

 しかしここは倍数の導入部分。整数である必然性のある分離量が望ましいのではないだろうか?例えば、「クッキー5個入りの箱」という具合に。

 算数教育界は遠山啓の顰に倣い、割合分数と量分数だの、量を分離量と連続量に分けたり、https://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/sansu/WebHelp/05/page5_20.html
と、くだらないことをやっている割には、

 こういうところは杜撰に見える。

割合の導入部にシュートの成功率を持ってくるというのもそうだけど、
http://8254.teacup.com/kakezannojunjo/bbs/t5/28

算数教育界と言うのは、あれこれ細かく分類する割には、導入部の寝たとしてふさわしいかどうかあまり深く考えていないように思える。

  • [31]
  • Re: 些細なことだが気になる点

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月19日(日)23時11分18秒
  • 返信
 
>>30
> >>28
>
> >>25
> > 9は4.5の倍数 と言うのかどうか知らないが、算数のこの段階では、当面は自然数だけで考えるのが普通だろう。だからこそ、「0は倍数ではない」などという余計なことをしたのでは?
>
> すみませんが、ここでいう「自然数」に0が含まれていると、どうして
> >だからこそ、「0は倍数ではない」などという余計なことをしたのでは?
> という話に繋がるか分かりません。

あそこでは、0を含めるかどうか、あまり深く意識していなかったのです。

私の最初の文と、その後の弁明も確かにおかしいので書き換えますね。



  • [30]
  • Re: 些細なことだが気になる点

  • 投稿者:TaKu
  • 投稿日:2015年 7月19日(日)22時04分13秒
  • 返信
 
>>28

>>25
> 9は4.5の倍数 と言うのかどうか知らないが、算数のこの段階では、当面は自然数だけで考えるのが普通だろう。だからこそ、「0は倍数ではない」などという余計なことをしたのでは?

すみませんが、ここでいう「自然数」に0が含まれていると、どうして
>だからこそ、「0は倍数ではない」などという余計なことをしたのでは?
という話に繋がるか分かりません。

  • [29]
  • 既に問題性を指摘している人がいた

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月19日(日)21時58分32秒
  • 返信
 
http://home.hiroshima-u.ac.jp/teragai/oddman.html
>「倍数」

14年度以降,倍数は6年生(現在は5年生)で学習するのだが, 非常に気になることがある.
それは,「0は倍数にいれない」ということと,「0の倍数は考えない」という2点である.
6社とも,教科書に理由は書かれていない.
専門家にきいたら,次のような理由があるというのだ.

  • [28]
  • Re: 些細なことだが気になる点

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月19日(日)20時39分59秒
  • 編集済
  • 返信
 
>>26
> >>25
>
> >  9は4.5の倍数 と言うのかどうか知らないが、算数のこの段階では、当面は自然数だけで考えるのが普通だろう。
>
> 既に0を習っているのに、わざわざ0を除外する自然数だけとするのはおかしくないですか?
> 0を扱った掛け算も習っている筈ですよね?


そこはあまり深く考えていなかったというか、「自然数」が私の頭の中では、0を含んだり含まなかったりで、

ここで「自然数」としたのは、小数、分数×整数 というのは取り敢えず考えなくて、整数で、

という意味でした。

私は、

0を除く整数と言う意味では、「正の整数」
0を含む整数という意味では、「非負整数」

と言うことが多くて、「自然数」と言う場合は、0を含めるかどうかはあまり意識していない場合が多いです。

 ただ、誤解を招きやすかったですね。失礼しました。

  • [27]
  • 問題点を整理してみる

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月19日(日)18時29分6秒
  • 編集済
  • 返信
 
 例えば、「6の約数を全て挙げよ」といわれたら、「1,2,3,6」と答えることが多いだろう。「-3?」といわれれば、「まあ、それも約数といえば約数だね」となる。

 ある数が約数ならその-1倍も約数であるのは自明だから、普段は正の整数だけで考える、というのはごくありがち。

 「6の約数を全て挙げよ」に対して、「1,2,3,6」と答えた人は、理解していないわけではなくて、負数については失念していたか、面倒くさいから言わなかったか、「1の約数倍の違いについては無視する」という代数学の流儀を踏襲しただけであろう。

 負数を挙げなかったことを鬼の首を取ったように指摘するようなことではない。


 しかし、「-1、-2、-3、-6、1,2,3,6」という答えに対して、「負数は約数に入れない」と指摘する人がいたとしたら、その人は理解していないだろう。

 仮にどこかの書物に「約数には負数を除く」という文言があって、その人がその記述を念頭においていたとしても、理解していない。

 その人は「約数に負数を含めるかどうか」なんてことは、誰か偉い人が決めているのではなく、その場で都合のいいように決めればいい、ということが分かっていないことを意味する。

 数学をある程度勉強していれば、定義や用語は絶対的なものでなくて、その場で都合のいいものを採用していると分かるはず。

 この対偶は、「定義や用語は絶対的なものと思っている人は、数学をある程度まで勉強してない」となる。

 「負数は約数から除く」(という流儀があるのかどうか私は知らない)というのが仮にどこかの流儀としてあるとしても、それをグローバルルールと思い込んで、「負数は約数じゃない」と指摘する人は理解していない。



小学校算数の倍数の指導についても

 「3の倍数を小さいほうから言ってみて」に対して、「3,6、・・・」と答えた子に、「0を入れないと駄目だろう」と指摘することはないだろう。

 約数・倍数に関して、正の整数を念頭に考えるのは自然なことだろう。


「正の整数だけで」というのを、教える側に対して、「教える際の配慮」として求めるのは問題ない。

正の整数をいくつか並べて、「3の倍数を選べ」とかはいいだろう。

ところが算数教育界がアホなのは、「正の整数だけで考える」を、倍数の定義として採用してしまい、

「0は倍数か否か?」を子供に問い、「倍数ではない」と正しい答えとして要求するという

馬鹿げたことをやっていることである。

0については倍数かどうかは明示しないで、0が倍数かどうかを問う問題は出さないのならまだしも、 >>24 で示したように、数直線でもろに0が倍数かどうかを問い、「0は倍数ではない」という不自然不合理な方を正解としている。


 これは、「正方形が長方形であるというのは子供には難しい」「長方形としてイメージするのは正方形ではない長方形である方が自然」という理由から、

「正方形が長方形かどうかは不問にして棚上げ」としないで、
「正方形は長方形ではない」としてしまうのと同様である。

正方形は長方形ではないとする大日本図書
http://blog.goo.ne.jp/mh0920-yh/e/6627a8b114a095d274ade554ef3dcfa1

この場合は、長方形が正方形が含まれるように定義しているにもかかわらず、問題の答えとしては、正方形は長方形ではない、としているので本当に酷い。

 それに比べたら、

「0は倍数ではない」という不合理な定義をしたうえで、0を倍数に入れると不正解

というのは、多少ましだが五十歩百歩。



0を倍数として、最小公倍数の定義としては、「0以外の公倍数で最小の数」とすべき


それが無理なら、

0については一切言及しないで、「3の倍数を選べ」と言う問題の選択肢にも0は入れない。児童の質問に備えて、教える側は「0は倍数である」と正しく認識していることが必要。


現状は、「0は倍数ではない」として、わざわざ「0は倍数ではないから気をつけよう」と教えている。教師も算数教育界の権威筋も「0は倍数ではない」と認識している。

最悪である。

http://


  • [26]
  • Re: 些細なことだが気になる点

  • 投稿者:TaKu
  • 投稿日:2015年 7月19日(日)18時27分17秒
  • 返信
 
>>25

>  9は4.5の倍数 と言うのかどうか知らないが、算数のこの段階では、当面は自然数だけで考えるのが普通だろう。

既に0を習っているのに、わざわざ0を除外する自然数だけとするのはおかしくないですか?
0を扱った掛け算も習っている筈ですよね?

  • [25]
  • 些細なことだが気になる点

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月19日(日)17時19分58秒
  • 編集済
  • 返信
 
画像は学校図書の教科書から

クッキーの箱の厚みが5cmなので、重ねると高さが5の倍数になるということだが、

長さは連続量だから、整数値になる必然性はない。たまたま5cmだったわけだで、4.5cmということもありえる。

 9は4.5の倍数 と言うのかどうか知らないが、算数のこの段階では、当面は自然数だけで考えるのが普通だろう。だからこそ、「0は倍数ではない」などという余計なことをしたのでは?

 算数教育では、分数を割合分数と量分数に分けたり、遠山啓の顰に倣い量を分離量と連続量に分けるなどというくだらないことをする割には杜撰に思える。

 「クッキーが1箱5個入っている」とかの方がいいように思うけどどうなんだろうか?

 連続量×整数値 と言うタイプの考察は、倍数とは別にやったほうがいいと思う。


啓林館サイトから、遠山啓の真似をしている。
 https://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/sansu/WebHelp/05/page5_20.html

  • [24]
  • 数直線を提示しての倍数表示

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月19日(日)17時03分26秒
  • 編集済
  • 返信
 
0を含んだ数直線が全教科書に掲載されている。


0については深入りしないとか棚上げならまだしも、「0は倍数かどうか?」を問う形になっていて、しかも、「0は倍数ではない」としないとならないようだ。

しかも、数直線で倍数に印とつけると、0に印をつけたほうが整合性があることが分かってしまう。




大日本図書
http://blog.goo.ne.jp/mh0920-yh/e/2bc9486ba61e27769f9d467046afdae7

日本文教出版
https://twitter.com/genkuroki/status/622349733994999808

東京書籍
https://twitter.com/genkuroki/status/622381505717800960

教育出版
https://twitter.com/genkuroki/status/622382650284597249

啓林館
https://twitter.com/genkuroki/status/622382087316750337

画像は、学校図書


  • [23]
  • 「0は偶数ではない」と思っている人は意外と多いかも

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月19日(日)13時06分18秒
  • 編集済
  • 返信
 
連れ合い、知人、塾生(高校生)4人に以下のようなテストをやってもらった

3の倍数に○をつける
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

偶数に○をつける
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

3で割って2あまる数に○をつける
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10


ほぼ全員が、0は3の倍数とはしなかった。0を偶数としたのは1人だけ。2を3で割って2あまる数としないというのも、約半数。


「0が倍数や偶数であるかどうか、算数・数学の定義はともかくとして、どちらの方が整合性があると思うか?」と聞くと、ほぼ全員が「0を倍数や偶数としたほうが理屈にあう」と言っていた。


 最初に質問したときに0を倍数や偶数から除外した理由を尋ねると

「小学校でそう習った気がする」「0は考えないものと思っていた」など。


算数教育界においては、「0は倍数ではないが偶数」とされているが、2の倍数と偶数は同じことと認識していて、「0は偶数ではない」と認識している人が多数いるように思える。


 私自身は明確に「0は偶数ではない」と小6のときの教わった。「変だな」と思ったが、中学で「0は偶数」と教わり、「そりゃそうだよな」と思った。倍数についてどう教わったか記憶にないが、0が倍数であることは当然のことと認識していた。


 数学をある程度やっている人であれば、倍数や偶数の定義として最初にどう習ったかなんて関係なく、都合がいいように解釈していて、結果的に0は倍数で偶数などと言うのは言うまでもなく当たり前、と捉えていると思うが


 実施した人数が少ないとはいえ、今回のアンケートの結果からすると、


世間には、「0は偶数ではない 倍数でもない」 と認識している人が相当数いると思われる。

  • [22]
  • Re: TOSS

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月19日(日)12時42分25秒
  • 返信
 
>>21
> tossの場合は向山洋一からして守破離で
> 初心者はそのとおりにやりなさいだからたちわるい。
> いろいろ工夫した案だけど、もし悪いところがあったら指摘してと言うのなら改善していくと思うんですが、
> とんでもさえも続いていく。


 なるほど、TOSSの授業スタイルというのは、そのまま、教師自身が教え方を指南される構造そのままなんですね。


 科目にしろ、指導法にしろ、それをどう勉強してきたかは、教え方に影響すると思います。

 TOSSにしろ、数教協にしろ、そういうところに入ろうとする人というのは、そもそも教えを請うという意識なんだと思います。

 そうすると、それは児童と教師の関係もそうなりがちなのかもしれません。


  • [21]
  • Re: TOSS

  • 投稿者:黄昏
  • 投稿日:2015年 7月18日(土)06時45分57秒
  • 返信
 
tossの場合は向山洋一からして守破離で
初心者はそのとおりにやりなさいだからたちわるい。
いろいろ工夫した案だけど、もし悪いところがあったら指摘してと言うのなら改善していくと思うんですが、
とんでもさえも続いていく。

  • [20]
  • 秋田県総合教育センター

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月18日(土)05時45分21秒
  • 返信
 
http://www.akita-c.ed.jp/~ckyk/kyoukakenkyu/sansuu/sansuu%20jugyou%20hint/h22tamaki/tamaki1.2.pdf

【「4の倍数」は,4に整数をかけてできる数】としながら、【0は倍数に入れない】と強調

さらに、

【次の数を6の倍数とそうでない数に分けてみよう。】

として、0を「6の倍数ではない」と分類している。
これらは、「6でわりきれない」としてある。


秋田県総合教育センターは、「0は6でわりきれない」という認識らしい。

  • [19]
  • 岡山県教委

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月18日(土)05時38分22秒
  • 返信
 
http://www.pref.okayama.jp/uploaded/attachment/162413.pdf
・0を除く偶数は2の倍数であることを知る。

  • [18]
  • TOSS

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月18日(土)05時35分1秒
  • 編集済
  • 返信
 
http://www.tos-land.net/teaching_plan/contents/7178
発問7:
「0は、倍数に入りますか?」
「入りません。」


身も蓋もないというか、ここまであっさりしていると潔いと思えてしまう。


まあTOSSだから、まともに検証しても仕方ない。

  • [17]
  • 指導要領解説

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月15日(水)07時51分6秒
  • 編集済
  • 返信
 
http://www.mext.go.jp/component/a_menu/education/micro_detail/__icsFiles/afieldfile/2009/06/16/1234931_004_2.pdf

これの164ページですね。

  • [16]
  • とりあえず、指導書の問題部分だけ画像はります

  • 投稿者:鰹節猫吉
  • 投稿日:2015年 7月15日(水)00時26分8秒
  • 返信
 
 問題の大日本図書の指導書最新版です。

 2の倍数と偶数は違うそうです。


  • [15]
  • 0を倍数から除く?

  • 投稿者:YH
  • 投稿日:2015年 7月14日(火)22時51分47秒
  • 返信
 
 大日本図書の『たのしい算数5』の0が偶数であることの説明に数直線を用いて
0,2,4,・・・・に同じ色のぬりつぶしが行われている。3の倍数では、同じような数直線で
0は除かれている。児童の自然な発想として、「なぜ0に丸がないの?」ということになる。
その説明がつかない。
 0を偶数としたら、0は3の倍数とする(同じように2の倍数)のが自然だともいます。
 ところで、ほとんどの教科書が0を整数に入れない原因は、小学校学習指導要領の解説
にあります。そこでは、

 8の倍数は{8,16,24,32,・・・}であり、12の倍数は{12,24,36,・・・}
である。これから、8と12の公倍数は{24,48,72,・・・}となる。最小公倍数は
、公倍数の中の最小の数であるから、24であることがわかる。(p142)

とある。私たちにとって学習指導要領の解説などどうでもいいが、教科書会社にとっては検定がかかっているから
絶対的なのです。学習指導要領の解説の倍数に0が入っていない以上、教科書はそれに従うでしょう。全ての教科書が
同じ扱いをしていることでしよう。




  • [14]
  • はじめまして

  • 投稿者:Sanchez
  • 投稿日:2015年 7月14日(火)11時08分1秒
  • 返信
 
積分定数さん、はじめまして。

 はい。おっしゃる通り、「正方形は長方形ではない」のならば、名前のついた四角形はすべて「四角形ではない」ことになり、多角形でもなくなり、平面図形ですらなくなってしまうので明確におかしいと思います。

 私もそれに比べたら、「今回は自然数に限定して、倍数を扱い、公倍数、最小公倍数を考えます」ということだろうと思うので、ましだと思います。

 ただし、「0 から始まる数直線が書いてあって「 3 の倍数」にマルする問題」で、ゼロにマルをしたらバツにするのであれば、「自然数かつ3の倍数」にマルする問題に改題しない限りダメだろうと私も考えます。

 本来は他人に教える前に自分の頭で考えるべきなのに、教える人間がそれができていないことがいけないと思うのです。

 大学以上になると、教わった学説が最新の学識ではくつがえっていることなどいくつもありますから、悪気もなく間違いを教わることもあるし、生徒自身でも確かめながら学んで行くべきなのですが、そのような生徒を育てようとすると、どう言ってあげるのがベストなのかな?

 小学生であっても、冒頭で、
「倍数をある整数を整数倍した数と定義すれば、ゼロはすべての整数の倍数である(もちろん偶数でもある)。」と触れた上で、「公倍数、最小公倍数を考えるので、自然数に限定して倍数を考える。」とする。

「本当はゼロも含めて考えると、「nの倍数」=「nで(商が整数で)割り切れる数」がきちんと成立する」とかそういったことは、「興味がある人は自分でも考えてみてね。」というラインで時間内にまとめておく位かななどと考えていますが、実際のところ、このあたりの匙加減は自分の中でも結論は出ていません。

  • [13]
  • 身勝手な主張 へのコメント

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月14日(火)06時09分41秒
  • 編集済
  • 返信
 
http://blog.goo.ne.jp/mh0920-yh/e/2bc9486ba61e27769f9d467046afdae7


不合理で無矛盾、ということはありえる。


Sanchezさん、初めまして。

私はこの件は、「正方形は長方形ではない」よりはましだと考えています。
http://blog.goo.ne.jp/mh0920-yh/e/6627a8b114a095d274ade554ef3dcfa1

【『たのしい算数2』
長方形・・・・かどがみんな直角になっている四角形を、長方形といいます。(P105)
  正方形・・・・かどがみんな直角で、へんの長さがみんな同じ四角形を、正方形といいます。(P106)】

このように定義している以上、正方形は長方形であるはずですが、長方形を全部選択するという問題で、正方形は除外されているわけで、明確におかしい。


 それに比べたら、この件は、0は倍数から除外するとしているので、ましだとは思います。

 しかし不合理であり、混乱を招くことになるかと思います。

 「2の倍数」「2で割り切れる数」、これらが同義ではなく偶数の定義は後者

 というのも分かりにくいです。現に私が小6のときの教師は「0は偶数ではない」と言っていました。以前はこの教師の単なる勘違いだと思っていましたが、このような倍数の分かりにくい定義によって生み出された誤解だと思います。

 最小公倍数を定義するときに、「0は除く」とすれば済む話なのに、倍数の定義において0を除外するとすることで、話がややこしくなってしまうのだと思います。

 学校図書は「0は倍数ではない」とはしないで、「0はのぞいて考えます。」という玉虫色の文言で、「0は倍数ではない、とは言っていない」ということなのでしょう。

東京書籍の教科書では「 0 は,倍数に入れないことにします。」としてあり、

https://twitter.com/ysmemoirs/status/620592064024064004
【0 から始まる数直線が書いてあって「 3 の倍数」にマルする問題】

があるそうです。

0にマルをつけたら誤答にされてしまうのだと思います。

 何らかの理由(公倍数の最小、などと考える上では正の数だけで考えたいとか?)でなされる配慮(0は倍数に入れない)によって、混乱が生じる。

また、算数の理解とは関係ない単なる便宜的な倍数のローカル定義を問題として問う。

 算数教育の闇を象徴している事例だと思います。

http://


  • [12]
  • 東京書籍

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月13日(月)21時19分57秒
  • 返信
 
https://twitter.com/ysmemoirs/status/620516364285947905
>「 0 は偶数だが 2 の倍数ではないことにする」みたいですね。

  • [11]
  • 学校図書

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月13日(月)21時17分41秒
  • 返信
 
>>10

学校図書は、「3×1、3×2、3×3、・・・・のように、3を整数倍してできる数を、3の倍数といいます。0はのぞいて考えます。」

とあります。

「0は3の倍数ではない」とは言っていないわけで、玉虫色でごまかしている感じですね。

「0も倍数」としたうえで、「最小公倍数は、0以外の公倍数で最小の数」とすればいいだけだと思うのですがね。


「偶数」の定義は見つけられませんでした。私が見落としているのかもしれません。

  • [10]
  • 大日本図書も、「0は2の倍数でない」

  • 投稿者:YH
  • 投稿日:2015年 7月13日(月)20時55分26秒
  • 返信
 
しかし、公倍数を考えるときになると、「0は3の倍数にいれないことにします」となっています。
だから、偶数を2の倍数と定義しながら2の倍数に入れないという矛盾をおこしています。
http://blog.goo.ne.jp/mh0920-yh/e/2bc9486ba61e27769f9d467046afdae7

  • [9]
  • 大日本図書は、0は偶数

  • 投稿者:YH
  • 投稿日:2015年 7月13日(月)20時36分32秒
  • 返信
 
大日本図書の『たのしい算数5』では、「偶数・・・2で割ったとき割りきれる数、
奇数・・・余りが1になる数」と定義し、0は偶数としています。定義から0は2で割り切れる
数、2の倍数としていると思います。
 http://blog.goo.ne.jp/mh0920-yh/e/2bc9486ba61e27769f9d467046afdae7

  • [8]
  • 2は、5で割って2あまる数 じゃない?

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 5月24日(日)08時50分13秒
  • 返信
 
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1411166739
>子供が通う塾の問題ですが
Q、1から100までの整数のうち、5で割って2あまる数は何こありますか?
A、19個
???なんで20個なのではと・・・
子供も納得いかないようですが先生が言われたと申しております。

>つまり、5の倍数+2の数です。
7・12・17・22・27・32・37・42・47・52・57・62・67・72・77・82・87・92・97
と全部で19個になります。2は、5で割って2あまる数に入らないと思います。


>倍数分布の問題ですね。
2÷5=0…2
と解釈すればよいというのは小学生への説明としては極めて不適切です。
というのは、塾であれ学校であれ、
0÷5=0
だから、0は5の倍数だなんて教え方はしていないからです。(小学生の場合、塾でも学校でも0を5の倍数とは数えない。)


非合理な設定をするので矛盾がどんどん拡大してわけが分からなくなるのも、算数教育では見慣れた風景。

  • [7]
  • なぜ0を倍数からの除くのか?

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 5月24日(日)08時40分56秒
  • 返信
 
「最小公倍数」の定義のため?

3の倍数を0,3,6,9,・・・
5の倍数を0,5,10,15,・・・

とすると、3と5の公倍数は、0,15,30,・・・

「3と5の最小の公倍数は0」となってしまう。それを避けるため?


しかし、それなら「最小公倍数」の定義を「0以外の公倍数で最小のもの」としておけば言いだけだと思うが・・・。文字通り最小の公倍数だと最小公倍数はすべて0になってしまうから、概念として無意味になってしまう、ぐらいのことは子供も理解できると思う。



「そうしないと子供が混乱するから」?

葵の御紋ですねw


教科書会社には問い合わせていない。どうせ、あれこれ屁理屈を並べるのは目に見えて、聞かされたこちらがどっと疲れるのは目に見えている。

 だれか問い合わせたら、ここに報告してくれるとありがたい。




  • [6]
  • 文科省への問い合わせ

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 5月24日(日)08時32分36秒
  • 返信
 
文科省に問い合わせたところ


「0は除いて考える」のだから「0は倍数ではない」というようなことではない。むしろ「除く」だから、「0は倍数」ということを示しているともいえる。倍数だから「除く」必要がある。倍数でないなら「除く」必要がない。


というような、禅問答のような回答だった。

  • [5]
  • 算数教育では、「0は倍数ではない」らしい

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 5月24日(日)08時31分28秒
  • 編集済
  • 返信
 
「教科書ガイド」とあるので、おそらく教科書会社(東京書籍)が作ったものではない。
http://www.asutoro.co.jp/transition/file/ikou_gs151.pdf
p25 「0は、倍数に入れないことにします」


http://newpapa-math.blog.so-net.ne.jp/phrase_baisu
------------------------------------------------------------------------
 倍数とは?
整数Aの整数倍となる整数Bを、整数Aの倍数という。 ただし 0 を除く。
もしくは

整数Cが整数Dで割り切れる時(商が整数の時)、整数C は 整数Dの倍数という。 ただし 0 を除く。
------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------
なぜ 0 は 倍数に含まれないのか? という疑問に関しては、新米パパが小学生のころの塾では
 >> 0 ÷ 3 = 0 ではあるが、この答えの 0 は、3で割り切れた 0 では無く、割れなかった余りの 0 だ !! (すなわち、無いもの( 0 ) を割る事は出来ないという考え方) と習ったのですが...。 自信はありません(汗) すみません...。
------------------------------------------------------------------------


手元にある学校図書教科書(6年上 H16検定済み H20発行)p6
------------------------------------------------------------------------
3×1、3×2、3×3、・・・のように、3を整数倍してできる数を、3の倍数といいます。
0はのぞいて考えます。
------------------------------------------------------------------------


算数教育界では、「0は倍数ではない」となっていることがほぼ確定した。

http://


  • [4]
  • 「0は偶数でも奇数でもない」説はどこから?

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 5月24日(日)08時09分5秒
  • 返信
 
「そうしないと子供が混乱するから」説

算数教育でのおかしな教え方を全て合理化する「そうしないと子供が混乱する」「子供の発達段階を考慮して」

で、「掛け算の順序」や「正方形は長方形ではない」として、余計に子供が混乱してしまっている、という算数教育でのありがちが光景がある。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BC%E3%83%AD%E3%81%AE%E5%81%B6%E5%A5%87%E6%80%A7#cite_note-MarkAlanStewart-12
>しかしながら、一般社会において、ゼロの偶奇性を認識することは、他の整数の偶奇性に比較して困難が伴い、混乱の元になるようだ。ある研究によれば、小学校の生徒たちは半数程度がゼロが偶数であることを正しく認識できなかった(後述)。また、数学専攻の学生や数学の教師でさえ、0が偶数であることに対して、しばしば誤った認識を持つ(後述)。

これが事実なら、「0は偶数であると理解するのは子供は困難だから、どちらでもないとしておく」、あるいは、教える教師自身が「0は偶数であると理解できない」という可能性もある。




「偶数・奇数は自然数の分類 0は自然数ではないから」説

>>3に引用したブログでも、このような意見が紹介されている。




「0は2の倍数ではないから」説
算数教育では「0は倍数ではない」というのがあるらしい。そこから「偶数とは2の倍数のことだから、0は偶数ではない」となっている可能性がある。

  • [3]
  • 巷間での「0は偶数でも奇数でもない」説

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 5月24日(日)07時47分23秒
  • 編集済
  • 返信
 
ぐぐって分かったが、「0は偶数でも奇数でもない」説というのはそこそこあるようで、私の小学校時代の教師がたまたま勘違いしていたというようなことでもないらしい。



http://blog.livedoor.jp/smamelog/archives/224699.html
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問題9 0は偶数ですか?(-5)は奇数といえますか?どうでしょう★
答えは下にあるよ



問題9の答え
 「偶数でも奇数でもない」です。
 数学の世界は、すべて定義(約束のこと)の中で成立しているものなのです。

 偶数は、「自然数の中で、2で割り切れる数」と定めていますし、奇数は、「自然数の中で、2で割り切れない数」と定めているのです。つまり、「偶数」「奇数」は、「自然数」の世界にかぎられているのです。
 自然数というのは、
1,2,3,4,5,……
のように、1から始まってひとつずつ増えていく数の世界なので、0もマイナスの数も含みません。したがって、「0」も「-5」も自然数でないので、答えはどちらでもないとなるのです。
 なお、自然数(正の整数)、0、負の整数を合わせた数を整数と言っています。
自然数(正の整数)
整数 0
     負の整数
 このように、数学の世界では、前提条件となる定義をはっきりさせておくことが常で、その範囲で考えるということが約束事になっています。例えば、三角形の内角の和は、180度と学校で教えられたと思いますが、これは平面幾何学(ユークリッド幾何学)で成立する定義で、皆さんはこれに基づいて幾何学を学習したと思います。このことを三次元の世界に広げたリーマン幾何学やロバチェフスキー幾何学では、三角形の内角の和が常に180度より大きくなったり、小さくなったりするのです。この幾何学をつかって、アインシュタインは相対性理論を発表したのです。
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http://lineq.jp/q/22311950
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>0は偶数ですか奇数ですか? それともどちらでもないですか?
>数学の本でも「0 や -1 は偶数でも奇数でもない」とするものと 「0 は偶数である」としているものがあります。
>どちらでもない
>数学の本でも「0 や -1 は偶数でも奇数でもない」とするものと 「0 は偶数である」としているものがあります。
>0とは 存在しないものです! どちらでもありませんね!
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http://www1.odn.ne.jp/haru/sansu/column_01.html
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 ある本にはこう書かれています。

 数学では、
   偶数は 「自然数の中で2で割り切れる数」
   奇数は 「自然数の中で2で割り切れない数」
 と定められています。

 偶数、奇数は自然数に限られています。自然数というのは、
     1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 ・・・
のことで、0 やマイナスの数は含みません。

 つまり、「0 や -1 は偶数でも奇数でもない」 が正解です。
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どうも、参考書の記述として「0は偶数ではない」としているものがあるらしい。現物は確認していない。情報求む。

http://


  • [2]
  • 「0は偶数ではない」は100%誤りか?

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 5月24日(日)07時35分23秒
  • 編集済
  • 返信
 
 ぐぐると、「0は偶数でも奇数でもない」説というのはそこそこあるようである。

 所詮定義の話だから、「0は偶数でも奇数でもない」は、「絶対に誤り」ともいえない。

 0が自然数に含まれるかどうかも、普遍的に決まっているわけじゃない。一般的には高校数学までは0は自然数としないが、大学以降の数学では0も含める。

 「数学の本質はその自由性にある」(by カントール)とはいえ、好き勝手に恣意的に出鱈目に定義していいというわけでもない。

 より合理的で整合性がある定義が望ましいのは言うまでもない。




「0は偶数」としたほうが合理的。
 

  • [1]
  • 算数教育界でも0は偶数らしい

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 5月24日(日)07時12分5秒
  • 返信
 
まず、算数教育界でも「0は偶数でも」となっているらしい。
https://twitter.com/MathEdr/status/602135646753280000


ただし、「正方形は長方形か?」に関して、当初は私自身「算数では正方形は長方形であると積極的には教えないが、正方形は長方形ではないと教えているわけではない」という文科省の説明を鵜呑みにして、「一部の教師が勘違いして正方形は長方形ではないとしてしまっている」という認識だったが、のちにそれが誤りであることが判明した。

 「0は偶数」に関しては教科書に明記されているのだから、大丈夫だとは思うが、安心は出来ない。


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