• [0]
  • 指導要領に付随する出版物の研究

  • 投稿者:積分定数
 
 学習指導要領および解説は、文科省が公式に出しているものであるが、これとは別に、民間の出版社が、指導要領を補完するような体裁で出版物を出している場合がある。

 文科省はこれらに関しては「関知しない」という立場ではあるが、著者・編者に指導要領策定に関わった人が名を連ねているなどしていて、

 教育現場ではそれなりに権威をもったものとして受け止められている可能性もある。

 これについて調べてみる。

 <思いやりのあるコミュニティ宣言>
 teacup.掲示板は、皆様の権利を守りながら、思いやり、温かみのあるコミュニティづくりを応援します。
 いつもご協力いただきありがとうございます。

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  • [58]
  • 『新しい算数研究』編集部 公式

  • 投稿者:TaKu
  • 投稿日:2020年 6月25日(木)20時43分53秒
  • 返信
 
https://twitter.com/shinsanken
『新しい算数研究』編集部 公式
編集:新算数教育研究会。小学校の算数教育の進歩・向上を目指して1971年より先生方と日々の実践・研究を伝える活動をしています。月刊誌『新しい算数研究』を刊行。
2020年5月からTwitterを利用しています

  • [57]
  • とりあえず、一区切り

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 1月27日(月)09時23分53秒
  • 編集済
  • 返信
 
以上、4冊取りあげて検証してきたけど一端終了。

これらの本は、学校や教育委員会ではなく教師が個人で買うらしい。

学校現場にどれほど影響を与えているのかは不明ですが、指導要領作成に携わっている人が書いているわけで、

 算数教育界主流派イデオロギーが如実に現れていると思う。

 かけ算の順序は逆順では駄目、などと露骨に書いてあるわけじゃないけど、

式が事柄・関係を表す というドグマから色々おかしな事が派生しているようだ。



 かけ算順序問題とは、単にテストで○かバツか、「バツはけしからん○にしろ」(という要求は全く正当)という類のことだけではなく、

 その背後には、このような算数教育界の困ったイデオロギーや“体系”がある。


 ブロック操作・お話づくり・問題づくり・なんとか図

など、本来なら算数理解のために役立ちそうな手法も、

このイデオロギーとネット上にある授業案や教科書指導書などにある具体的指導方法を考慮すると、

 かなり胡散臭い代物に見えてしまう。

 といことで、どこをどうすればいいのか分からないけど、闇は深いな、と言う感じです。

  • [56]
  • 感想 テープ図、逆思考問題

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 1月27日(月)08時51分1秒
  • 返信
 
「逆思考の問題」というのは、小学生低学年には難問らしい。それはそうだとしても、こう言うのを読むと不安になる。

 問題を解くのに「話の順序に即する」必要はあるのか?

 もちろん、そうやると解ける子がそうするのは一向に構わない。ただ、算数教育の世界ではなぜか「こういう方法もあるよ」という話が、「この方法でなければ駄目」となりがち。サクランボ計算が典型。

 「2人帰ったので3人残っている。今何人?」、これとか、今いる3人と帰った2人を足して5人と自然に考える子にとっては、「話に即して・・」というのは邪魔でしかないだろう。

 こういうことを言うと「それは出来る子の視点であって、苦手な子は・・・」と言われそうだが、あれこれやり方を指示されて混乱して出来なくなる子もいるのではないだろうか?

 出来ない子には、例えば、当てずっぽうでいいから人数を予想してもらう。例えば10人だとする。「10人にて、2人帰ったので、3人残った」でいいか質問してみる。おかしいと気付く。じゃあ、7人なら・・・、という具合に試行錯誤する。

 「こうすれば解けるよ」という方法を提示するよりも、こういう試行錯誤して当てはまる数を見つけだす経験の方が、中学、高校、さらには大学数学に大いに役立つと思う。


 他にも、□-2=3 の□を埋めるというような、方程式的考えだとか、色々なアプローチがあり得るのだが、

 どうも、テープ図という方法に持って行きたいようである。

 テープ図自体は私も小学校時代にやった記憶があるが、調べてみると胡散臭く思えてきた。

http://www.rs.tottori-u.ac.jp/mathedu/mathedu/journal13_files/13-08.pdf
の6~7ページを見ると、答えが出せたのにテープ図が出来ないという事例がある。

 本末転倒、手段の目的化の典型に思えるが、

>テープ図がやがて線分図へと発展することを念頭に

とあるように、「問題が解ければいいのではなくて、テープ図の理解はそれはそれで必要」となっているようだ。

ブロック → テープ図 → 線分図 → 比例数直線 という「体系」
http://8254.teacup.com/kakezannojunjo/bbs/thread/detail/thread_id/51/thread_num/3

ブロックの起源はおそらくタイル。

比例数直線は2本線で表すものだが、数教協だとそのあたりは掛割図となるのだと思う。


どちらにしても、おかしな方向に行ってしまっているように思える。

さっきの論文http://www.rs.tottori-u.ac.jp/mathedu/mathedu/journal13_files/13-08.pdf

でも、問題点が指摘されている。

p29
>テープ図の学習は,本来問題を解く中で行うべきである.それは,テープ図は,問題解決のためのひとつの手段であって,テープ図をかくこと自体を目的としてはならないからである.しかし,もし子どもがテープ図の必要性を全く感じることなく問題を解決し,その上でテープ図の指導を行うというのであれば,それはテープ図のための学習になってしまい,実際の問題解決に活かすことができないのではないだろうか.


しかし、p34以降には、「前テープ図」なるものが提唱されている。
結局、あれこれ付け加えることになってしまっている。





算数教育界は引き算を学べ!
余計なものを捨て去ろう!
シンプルで明快な算数を!


  • [55]
  • 小学校 学習指導要領の解説と展開    テープ図、逆思考問題

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 1月27日(月)07時49分21秒
  • 返信
 
Ⅸ 算数科の授業をどう展開するのか 第2学年 数量関係
たし算とひき算(4時間) p145から抜粋

赤字は積分定数による強調
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2 学習内容と算数的活動

(1) 本単元のねらいは、逆思考になる問題場面、すなわち、減法の逆としての加法(□-a=b)、加法の逆としての減法(□+a=b)、減法の逆としての減法(a-□=b)の解決ができるようにすることである。問題の構造をとらえさせ、適切に演算決定させることを通して、加法と減法の相互関係についての理解を一層深めるようにする。

(2) 解決にあたっては、児童の言葉や考えをテープ図に表す活動を重視し、全体と部分、部分と部分の関係を整理することを通して、加法、減法の演算決定が正しくできるようにしたい。テープ図がやがて線分図へと発展することを念頭に、必要に応じて数を書く場所を表す□などにも触れ、テープ図による解決について、ていねいに扱い、そのよさを味わわせたい。

(3) 答えの確かめや説明において、既習の加法や減法の計算の意味とテープ図、式とテープ図をそれぞれ関連付けて考えさせ、自分の考えを他の人に説明したり、他の人が書いたテープ図から考えを読み取って説明したりできるようにすることが重要である、そのような算数的活動に大いに取り組んでいくことが大切である。


3 本時の展開のポイント
◆問題構成の複雑さや問題文中の言葉から、数量の関係を十分にとらえずに立式する児童が予想される。きめ細かな授業展開が重要である。例えば、具体物を使って劇化をしたり情景図を活用した問題場面の提示をしたりして、話の順序に即して数量の関係を的確に把握させる工夫が考えられる。また、児童の実態に応じて、教師が児童と一緒にテープ図を完成させるなど、テープ図に徐々に慣れさせるような配慮も必要である。


4 本時の展開例
[ねらい] テープ図を活用した減法逆の加法の問題解決を通して、加法と減法の相互関係について理解する。

○支援・留意点  ☆評価

あめが、なんこかあります。16こ くばったので、のこりが18こ になりました。あめは、はじめ なんこ ありましたか。

1 問題について知る。

○分かっていること、聞いていることを整理する。また、劇化や情景図等により、場面をとらえやすくする。

2 各自、問題解決をする。
ア 18-16=2    2こ
イ 16+18=34
  18+16=34  34こ
○おはじきを使ったり、絵や図に表したりして、数量の関係を把握させる。
○立式や答えの理油を言葉や絵、図で説明できるように準備させる。

3(1)それぞれの解決方法について発表する。
・立式について考える。
・答えについて考える。
○答えが34個であることを、おはじき等を話の順序に即して操作し、確かめる。
○配ったあめが16個、残ったあめが18個なので、はじめにあったあめの個数は合わせた数になることを押させる。

(2)テープ図を基にして立式、答えの根拠を話し合う。
・テープ図に問題の構造を表す。
・テープ図から数量の関係を読み取る。
・テープ図と式とのつながりを考える。
○児童の考えを踏まえ、教師が支援しながら、児童の言葉をテープ図に置き換える。
○テープ図を通して、問題の構造や、全体と部分との関係について明確にし、数量の関係を確認する。さらに、□-16=18、16+18=□、18+16=□から、加法と減法の相互関係をつかむようにする。

1 適応問題を解く。
☆問題構造をテープ図に表すと、加減の相互関係がとらえやすくなることに気付く。
○テープ図の表し方やよさについて振り返らせ、加法と減法は逆の関係になっていることをまとめる。
☆加減の相互関係を理解している。
----------------------------------------------------------------------------------------------------

  • [54]
  • 小学校 学習指導要領の解説と展開   しき と おはなし

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 1月25日(土)09時11分59秒
  • 編集済
  • 返信
 
Ⅸ 算数科の授業をどう展開するのか 第1学年 数量関係
しき と おはなし(2時間)

---------------------------------------------------------------------------------------------------
1 指導計画
 第1次:たし算の立式とお話つくり------------------1時間
  第2次:ひき算の立式とお話作り  --------1時間(本時)


2 学習内容と算数的活動

(1) 本単元のねらいは、具体的な場面から数量の関係に基づいて立式したり、式から具体的な事柄や関係を読み取ったりすることができるようにすることである。式で表したり式を読んだりすることは、既に「たしざん」や「ひきざん」の学習で経験しているが、式は答えを求めるための計算を表したものという意識が強く、式が具体的な事柄を表しているという見方が弱いと思われる。したがって、ここでは式が表す具体的な場面をとらえることを重視する。

(2) ひき算が用いられる場面としては「求残」「求差」が代表的な場面であり、「のこりは---------」「ちがいは---------」「なんこおおい---------」などで表現される。このようなひき算の意味は、具体的な場面で、ブロック等の具体的な操作で理解をしておくことが大切であり、そのことが本時の式の見方につながると考える。

(3) 「式を読む」とは、具体的な式からその式が表す場面を想起し、それを言葉や図などで表現することである、例えば「7-3」であれば、「7にんで あそんで いました。3にんかえりました。のこっているのはなんにんでしょう?」ということになる。「のこりは---------」「ちがいは---------」「なんこおおい---------」等のキーワードを使いながら、ひき算の場面のお話ができるように、説明する活動を大いに取り入れ、式を具体的な場面に結び付け、それを表現する算数的活動ができるようにする。
----------------------------------------------------------------------------------------------------

70年代はおまけ的・箸休め的存在であった「おはなし」「もんだいをつくりましょう」というのが、段々肥大化してきている。
http://8254.teacup.com/kakezannojunjo/bbs/t46/l50
http://8254.teacup.com/kakezannojunjo/bbs/t15/38-45
http://8254.teacup.com/kakezannojunjo/bbs/t25/l50

 式と具体的場面を結び付けるという指導の一環だということは予想していたが、やっぱりその通りだった。

>式は答えを求めるための計算を表したものという意識が強く、式が具体的な事柄を表しているという見方が弱いと思われる。

 それで何が問題なのかが分からない。

「3人やって来たので8人になった。最初は何人?」といういわゆる“逆思考の問題”を子どもは苦手とするらしい。「場面は足し算なのに、答えを求める式が引き算だから」というのが、困難さの原因とされている。

 「式と場面の対応」を教え込むことは、この困難さを助長するとしか思えない。

“逆思考の問題”では、テープ図というのを描かせることで、問題を解かせるのだが、そのテープ図を教えるのにまた苦労しているようだ。


 算数教育の現状を見ていると、単純なことを単純シンプルに教えないで余計なことをして、不具合が生じると、また余計なことをして、どんどん無駄なことが増えているように思える。

  • [53]
  • 小学校 学習指導要領の解説と展開   説明する力

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 1月23日(木)09時44分41秒
  • 返信
 
Q 分かりやすく説明する力を高める指導はどのように進めたらよいでしょうか?
A【2】説明する場面で使わせたい表現の例
 p132
----------------------------------------------------------------------------------------------------
○「まず~して、つぎに~します。そして最後に~します」
○「~だから~です」「なぜかというと~だから」
○「Aは~。Bも~。だから、いつも~です」
○「BはAと似ている。Aは~だったからBもたぶん~だろう」
○「もし~だったら」「○が□だったら~」
○「~と~の考えは似ている」「~と~は結局同じ考えです」

 一方的に教え込むのではなく、このような表現をした子をほめることの繰り返しによって、周囲の子どもたちも同じように表現することになります。また、同時に数、式、図、表、グラフ等もあわせて指導することも必要です。
----------------------------------------------------------------------------------------------------

■ 定型フレーズを使うように促すことの是非については判断できない。それこそ国語教育の領域だと思う。

 算数・数学教育という視点から見ると、疑問に感じる。

 定型フレーズが上記のようなものに留まっているのであればまだいいが、やがてこれが拡大してくると、ろくでもない授業になりかねない。

↓「その式になるわけ」を答えさせる問題が出て、正解にならなかったという話。
http://homegrown.jugem.cc/?day=20130713

おそらく、引き算であれば「ちがいをもとめるため」「のこりをもとめるため」という定型フレーズが奨励されているのであろう。



■ それから、「説明という体裁さえあればいい」という事になりかねない危うさも感じる。中高校生に教えていて、かなり頓珍漢な答えを言う場合がある。理由を聞くと「~だから」というのだが、全く理由になっていないことがしばしば。

 ある数列(等差数列ではない)の総和を求める場合に、初項と末項を足して項数を掛けて2で割る、というようなことをする。「なぜそう求めたのか?」と問うと、「数列の和を求めるのだから」という。実際にそうなるのか具体的に計算したら成り立たないことに納得した。

 このようなことは頻繁にあるが、「~だから」と言うことで説明した気になってしまい、本来重視すべき中身がおろそかになりはしないか心配である。

 算数でのある教え方、例えば、足し算の合併と増加を子どもに区別させることへの疑問に対して、「指導要領に書いてあるから(※)」という算数教育関係者の対応がまさにそうである。
(※)もちろん、指導要領に「合併と増加の区別」などは書かれていなくて、文言を拡大解釈している。



■ 式、図などの指導とセットになっているのも、危うい。

説明というのは、他者に伝えるわけだから、「全体で約束事を共有した方がいい」ということになり、

「かけ算は1つ分×いくつ分、1つ分やいくつ分は、みんながそう思う自然で素直なもの」「テープ図を描く場合には、左側に・・・」

というような恣意的なローカルルールを合理化しかねない。

http://www.tokyo-shoseki.co.jp/e-mail/qanda/q-es-math.htm#q13
↑のQ5に注目。

くだらない質問だと思うが、「もしかしたらきまりがあるのでは?」というのは杞憂とは言い切れない。くだらないローカルルールが蔓延して、児童にそれを教えないとならない立場であれば、心配にもなるだろう。

 「何て馬鹿げた疑問なんだ。そんなものどちらでもいいに決まっているだろうが。」と思うのは、まともな感覚を持っているが、算数教育の現状を知らない人。

  • [52]
  • 小学校 学習指導要領の解説と展開  抽象化に関して

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 1月21日(火)08時44分15秒
  • 返信
 
Q 小学校と中学校の接続ならびに連携について、具体的に留意するべき点はどのようなことでしょうか?
A 【1】素地的な学習の重要性と豊かな感性の育成 p19~20 より抜粋
----------------------------------------------------------------------------------------------------
 抽象性に対する備えとして最も効果的な指導は、具体物を用いた算数的活動を通して、抽象的な思考のための素地的な学習を学習者にできるだけ多く踏ませることです。
(中略)
私たちは、具体的なイメージを100%排除した抽象的な思考を行うことはできません。数学という抽象性の高い学問でも、その思考を支える具体的なイメージがなければ、私たちの思考は有意味には発展していかないのです。その意味で、算数学習の中で、もし、抽象的な思考の支えとなる具体的な経験が不足していたとすれば、中学校数学に置いて、教科の抽象性と高めていく指導の中で、子どもたちは多くの困難性に直面することになってしまうのです。例えば、文字式の導入では、子どもたちは、ただ単にa+bという表記の困難さに直面するのではありません。□+△という表記がa+bに変わったことに対する難しさではなく、a+bという表記に込められた数学的なアイデアの奥深さに圧倒されるといったほうがよいかもしれません。
 8+3,0.6+1.7,2/3+7/3,3+(-2) などという多様な数の世界を包括しているa+bという表記への転換によって、子どもたちが、算数かで扱ってきた問題場面が急速に広げられたことに困惑することがないように、小学校段階では、小学校段階では、a+bという表記の意味を具体的に支える様々な問題場面を経験させておく必要があります。そうした具体的なイメージの蓄積が、抽象化(=共通の特性を抜き出し、他を捨象する)という考え方が、古い知識を結び付け統合することであるという認識を持たせるのです。
----------------------------------------------------------------------------------------------------

 ざっと読むと、さほど違和感はないが、「合併は両手でガチャン、増加は片手でガチャン」などというのを知っていると、胡散臭く思えてきてしまう。

 大雑把に言えば、「抽象概念を理解するには、沢山の具象に関わることが必要」ということであって、それはその通りだと思う。

 しかし、算数教育界の現状は、「具象が大事」が、「子どもは抽象的に考えられるはずがない、抽象的に考えてはいけない」となってしまっているように思える。

  • [51]
  • Re: 小学校 新学習指導要領の展開 算数科編 (金本良通 編著 明治図書 2008年)

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 1月19日(日)00時52分14秒
  • 返信
 
>>50
> 勧進帳で申し訳ないんですが、

「勧進帳」の意味が分からないのですが、「白紙で読み上げる」→「出典を明記できなくて記憶で書いているが」というような意味でしょうか?


ある算数教科書の教師用指導書は、犬と猫をたすことができると考える子供には、なぜ足すことができるのか聞くべきだといっていて、同じ動物だからなどの共通したカテゴリーがあるからという答えを引き出すことになっています。状況設定については記載はなかった思います。むやみに【チューリップとちょうちょは足せない】という指導ではなかったです。


 これとこれは足せるの足せないのって、数教協や水道方式の専売特許かと思っていたのですが、そうでもないのですね。

 状況・問題が与えられて、求めるべき数値が提示されての、どう計算すべきか?となるべきで、それ抜きに、これとこれは足せるのか否か、というのは疑問に思えます。

【チューリップとちょうちょは足せない】は、執筆者が「共通したカテゴリーなどあるはずがない」と考えているのかもしれないですね。

  • [50]
  • Re: 小学校 新学習指導要領の展開 算数科編 (金本良通 編著 明治図書 2008年)

  • 投稿者:天むす名古屋
  • 投稿日:2014年 1月19日(日)00時07分18秒
  • 返信
 
>>47
>  教師が読む指南書という正確を考えたら、これを読む教師は「チューリップとタンポポは足せるが、チューリップとちょうちょは足せないと指導しないとならない」と思わないか心配である。
>
>  足せるかどうかは、カテゴライズや状況の設定次第である。チューリップとちょうちょ、それぞれ1個体ずつ写真を撮って、写真は何枚か?と考えたらチューリップとちょうちょの数を足すことはありえる。

勧進帳で申し訳ないんですが、ある算数教科書の教師用指導書は、犬と猫をたすことができると考える子供には、なぜ足すことができるのか聞くべきだといっていて、同じ動物だからなどの共通したカテゴリーがあるからという答えを引き出すことになっています。状況設定については記載はなかった思います。むやみに【チューリップとちょうちょは足せない】という指導ではなかったです。

おまけ  「道徳」と算数
>>46
> 人間の力を越えたものに対する畏敬の念
雷や地震におびえるのは動物でもできるので、人間に望まれるのは、こわがること以上に、理解することと理解した上でどう対処すべきか考えることだと思います。もちろんどう対処するか社会合意がある場合は、その社会合意を教え、子供にそれに参加してもらうことが第一。畏敬の念を強調しすぎると、運命論者を育てることになりかねないと思います。



  • [49]
  • 小学校 学習指導要領の解説と展開  ブロック操作など

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 1月18日(土)20時08分29秒
  • 返信
 
Q第1学年の主な改善点及び算数的活動を示してください。
A【4】[D 数量関係]
から抜粋 p40
----------------------------------------------------------------------------------------------------
 新たに[算数的活動]を指導内容として規定したことも、今回の改訂の大きな特徴です。第1学年[D 数量関係]領域にかかわっては、「数量についての具体的場面を式に表したり、式を具体的な場面に結び付けたりする活動」が例示されています。おはじきやブロックなどの半具体物による操作をいろいろな場面で意識的に取り入れ、児童自らが目的意識をもって進んで操作できるようにすることが大切です。
----------------------------------------------------------------------------------------------------


Q第2学年の主な改善点及び算数的活動を示してください。
A【4】[D 数量関係]
から抜粋 p44
----------------------------------------------------------------------------------------------------
第2学年[D 数量関係]領域に移った今回の改訂では、児童を式を用いて説明することまでをも内容としています。指導に当たっては、十分な具体物の操作と図などに表現する活動を通して、児童が自分の言葉で説明できるようにすることが大切です。このことは、算数的活動の例示としても、特筆されています。
 「乗法の式」にかかわる内容については、式だけでなく、言葉や具体物、図などと関連させて、式の意味を理解させ、式に表したり、式を読んだりできるようにすることが大切です。

(中略)

 第2学年の[算数的活動]では、[D 数量関係]領域にかかわって、「加法と減法の相互関係を図や式に表し、説明する活動」が例示されています。上記のように、おはじきやブロックなどの半具体物による操作を十分に取り入れ、図などの表現とも関連づけながら、児童が自分の言葉で説明できるようにすることが大切です。
----------------------------------------------------------------------------------------------------


色々危うい文言が一杯です。


  • [48]
  • 小学校 学習指導要領の解説と展開 算数編 安彦忠彦 監修  金本良通 編著 教育出版 2008年

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 1月18日(土)19時11分22秒
  • 編集済
  • 返信
 
小学校 学習指導要領の解説と展開 算数編
安彦忠彦 監修  金本良通 編著 教育出版 2008年

ここでも執筆者には筑波大付属小の細水保宏氏の名前がある。
教育出版は教科書も出している。
https://twitter.com/sekibunnteisuu/status/410608407750533120
http://8254.teacup.com/kakezannojunjo/bbs/thread/detail/thread_id/50/thread_num/5
このあたりも参照のこと。

■ 「言語活動の充実」に関連して、説明・表現することが強調されている

Q「言語活動の充実」「体験活動の充実」では、どのようなことが強調されているのでしょうか?
A【1】言語活動を充実させ、他者とともに学び合うことを通して確かな学力の育成を
から抜粋 p7
----------------------------------------------------------------------------------------------------
 例えば、第1学年で「9+3」の計算の仕方を教える学習において、「10にする」という考えを明確にし、おはじきを動かしたり図にかいたり、言葉、数、式を用いて順序立ててはなせるようにします。
----------------------------------------------------------------------------------------------------


Q「筋道を立てて考え、表現する」ことの強調で何が期待されているのですか?
A【2】表現力を付け、コミュニケーション能力を高める
から抜粋 p22
----------------------------------------------------------------------------------------------------
 今回の改訂で、目標に“表現する(能力)”が加わりました。国際的な学力調査では、「自分の考えを数学的に表現し説明すること」に課題がみられました。筋道を立て、論理的に考えを進め、お互いにコミュニケーションを図る上で、表現力は重要な役割を果たします。
 そのため、言葉、数、式、図、表、グラフなどの相互の関連を理解し、それらを適切に用いて問題を解決したり、自分の考えを分かりやすく説明したりする力や、互いに自分の考えを表現し、伝えあったりするコミュニケーション能力が求められているのです。
----------------------------------------------------------------------------------------------------


Q第1学年の数量関係では、何をねらっているのですか?
A【2】数量やその関係を言葉、数、式、図などに表したり読み取ったりする
----------------------------------------------------------------------------------------------------
 自分の考えを他の人に伝えるときには、数量やその関係を言葉、数、式、図などに表したり読み取ったりすることが必要になってきます。
 特に、式については、基本的には数量やその間系を簡潔に示す「算数の言葉」であり、その考えに立った指導が大切となってきますし、言葉、数、式、図などを使って、具体的な場面との関連を図りながら指導していく必要があります。また、式を読み取る力は他の人の考えを理解するにも必要となってきます。
----------------------------------------------------------------------------------------------------


これが結局、「ふえると、だから足し算」というようなキーワード着目や、ブロック操作につながってしまうのでしょうね。

  • [47]
  • 小学校 新学習指導要領の展開 算数科編 (金本良通 編著 明治図書 2008年)

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 1月18日(土)14時11分11秒
  • 編集済
  • 返信
 
小学校 新学習指導要領の展開 算数科編 (金本良通 編著 明治図書 2008年)

執筆者には筑波大付属小の細水保宏氏の名前もある。
明治図書はTOSS関係の本を出版している出版社。

p48 第1学年 (3)「D」たしざんやひきざんのしき」
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1 学習指導要領の内容項目の強調点

① 新設された「数量関係」について
 本単元では、低学年の内容の中に新設されている「数量関係」にあたる部分である。新学習指導要領には、D(1)「加法及び減法が用いられている場面を式に表したり、式を読み取ったりできるようにする。」とある。
 ここでしっかりと押さえておきたいことは、ただたし算やひき残の計算ができるようになればいいということに留まらないということである。自分で、身近な生活や絵から問題を作ったり、式から問題を作ったりすることがここで大切に扱うポイントである。
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

計算だけじゃなくて、・・・というそれ自体は真っ当な話が、合併と増加の区別などという馬鹿げたことにつながるのだが、ここでは直接そのようなことは書かれていない。


授業例として、絵から問題と作るというのがあって、
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(例1:足し算・引き算をするときの異種・同種について)
C 花は、チューリップとタンポポで、それは合わせて何本かは、足せると思うけど、チューリップとちょうちょは足せないと思う。
C 「チューリップとちょうちょの違いはどれくらいですか。」ならいいのではないか。
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cとあるから、子どもの発言と言うことになる。だからこのように教師が教えるという場面の描写ではなく教師の介入もない。

 教師が読む指南書という性格を考えたら、これを読む教師は「チューリップとタンポポは足せるが、チューリップとちょうちょは足せないと指導しないとならない」と思わないか心配である。

 足せるかどうかは、カテゴライズや状況の設定次第である。チューリップとちょうちょ、それぞれ1個体ずつ写真を撮って、写真は何枚か?と考えたらチューリップとちょうちょの数を足すことはありえる。

 ところで、チューリップとタンポポは足せるというのだが、本数ならまだわかる。

「花の数」だと注意が必要。

 タンポポのようなキク科植物は、沢山の花が集まって1つの花のように見えている。


「ワタリガニ2匹とタカアシガニ4匹とタラバガニ3匹、蟹は全部で何匹?」

という問題も避けた方がいい。タラバガニは蟹ではなくてヤドカリだから。


 「小学校低学年だからそんなこと気にすることはない」というかもしれないが、私はこれらのことを低学年のときから知っていた。


 この問題は冗談だが、5×3×3の直方体を示して「長方形の面は幾つあるか?」と問う問題は実際にある。「正方形は長方形」とはっきり教えられていない場合、「正方形は長方形」ということを理解している子は、「採点基準はどちらの解釈によるのだろうか?」と、要らぬ事に神経を使わないとならなくなる。




  p176
表現したり説明したりする活動を充実させる
(1) 第1学年:計算の意味や仕方を表す活動
----------------------------------------------------------------------------------------------------
 2 活動を進めるにあたってのポイント

 この活動を進めるにあたって重要なのは、おはじきなどの具体物を用いて操作することや、操作したことを子土場で表現させることである。操作や言葉で表現させることを通して、計算の仕方を理解することができるからである。
 数や計算の練習をするときは、おはじきなのど具体物を必ず使用し、その操作を通じて、言葉で説明したりする活動をいつも取り入れることが大切である。なお、学級で指導する際には、具体物の操作を決めておくとよい。
----------------------------------------------------------------------------------------------------

ここで言っているのは、足し算の増加や合併の話ではなくて、計算のしかたについて具体物を使うという話。

しかし、「具体物の操作を決めておく」が、よからぬ指導になってしまいかねないのは容易に想像が付く。

  • [46]
  • おまけ  「道徳」と算数

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 1月 7日(火)13時54分55秒
  • 編集済
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QandA p245

Q8 算数科の特質に応じて、道徳の内容に関する指導をすることが求められているが、どのような趣旨なのか。また算数科では、どうすればいいのか、具体例を教えてほしい。


 本筋と関係ないけど、これに対する回答がこじつけで面白かったので記録しておく。

以下抜粋
--------------------------------------------------------------------------------------
 例えば、時計の読みを学習すれば、それを生活の中で活用し、約束の時刻を守ることや規律正しい生活をすることに結び付けることも可能である。道徳の内容[第1学年及び第2学年]の4-(1)「約束やきまりを守り、みんなが使う物を大切にする」に関連する。

 また、算数科では、そろばんについて学習するが、その際、古くから我が国で用いられている計算のための道具であり、数を表したり計算したりするのに便利なものであることを知り、我が国の伝統と文化に親しみを感じることができる。道徳の内容[第3学年及び第4学年]の4-(6)「我が国の伝統と文化に親しみ、国を愛する心をもつとともに、外国の人々や文化に関心を持つ」に関連する。

 さらに、規則正しく繰り返す数の変化のパターンや図形の対称性などに美しさを感じるなど、美しいものに感動する心を呼び起こすこともできる。道徳の内容[第5学年及び第6学年]の3-(3)「美しいものに感動する心や人間の力を越えたものに対する畏敬の念をもつ」に関連する。
--------------------------------------------------------------------------------------


「みんなが使う物を大切にする」ということなら、ほとんど使われずに押入でほこりをかぶることになる「算数セット」を学校の備品にした方がいいのではないだろうか?




「美しいものに感動する心や人間の力を越えたものに対する畏敬の念をもつ」とのことだが、

 かけ算の交換法則は美しい。1つ分といくつ分の区別が解消し、かけ算の左右が同等であるという、まさに対称性の美しさである。

 交換法則は人が決めたルールではなくなるべくして成り立つ法則である。

それをかけ算導入のための人為的恣意的ルールによってないがしろにするのだから、

 算数教育観会社は「人間の力を越えたものに対する畏敬の念」が欠けているのではないか?

  • [45]
  • 感想・突っ込み  伝言ゲーム

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 1月 7日(火)13時32分19秒
  • 返信
 
指導要領及び解説には「増加と合併を子どもに区別させる」などとは一言も書いていない。

指導要領では
http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/youryou/syo/san.htm
1 目標
(1) 具体物を用いた活動などを通して,数についての感覚を豊かにする。数の意味や表し方について理解できるようにするとともに,加法及び減法の意味について理解し,それらの計算の仕方を考え,用いることができるようにする。
(2) 具体物を用いた活動などを通して,量とその測定についての理解の基礎となる経験を重ね,量の大きさについての感覚を豊かにする。
(3) 具体物を用いた活動などを通して,図形についての理解の基礎となる経験を重ね,図形についての感覚を豊かにする。
(4) 具体物を用いた活動などを通して,数量やその関係を言葉,数,式,図などに表したり読み取ったりすることができるようにする。


などと書かれている。


それが、
「小学校新学習指導要領 ポイントと授業づくり 算数」では、

「第1学年「たし算」の具体的場面で増加や合併の場面を手の動きを使って表現することによってその意味を実感としてとらえることができる。」

となっている。

ここでも「区別をさせる」とは言ってはいない。


これが教科書会社(学校図書)の指導書だと
http://userimg.teacup.com/userimg/8254.teacup.com/kakezannojunjo/img/bbs/0002174.jpg

と言う具合に、明確に、増加と合併を児童に区別指導を奨励している。



伝言ゲームによりトンデモ度合いがが指数関数的に増加する、というのはありがち。

  • [44]
  • 手の動きで増加と合併を表現

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 1月 7日(火)13時19分17秒
  • 編集済
  • 返信
 
QandA p247
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Q10 新学習指導要領のもとで、今後求められる指導の在り方をどう考えればいいのか。指導上留意すべきポイントを教えてほしい。

(中略)

①具体物を用いたり体を動かしたりする算数的活動の充実

 (中略)

特に、低学年においては具体物を用いたり体を動かしたりする体験的な活動を充実させることが大切である。
 例えば、第1学年「たし算」の具体的場面で増加や合併の場面を手の動きを使って表現することによってその意味を実感としてとらえることができる。

 (後略)
--------------------------------------------------------------------------------------

  • [43]
  • 感想・突っ込み

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 1月 7日(火)13時03分52秒
  • 編集済
  • 返信
 
 何の予備知識もなくこれらを読んでも、どこが問題なのか分からないと思う。


■「式に表したり、式を読み取ったりすること」このあたりが、既に指摘しているように、式と場面の対応関係を認識させることになっていて、

「『5人にて2人来た』を表すのは、3+2であって、2+3ではない」という指導を合理化する根拠になりかねない。



■他人への説明・表現が強調されている。

そうすると、恣意的であれ共通の約束事が必要とされてくることになる。

「兎3羽の耳の数」を、2本ずつ3羽分と考えて、「3×2」とした場合に、

「その子は、3本耳の兎が2羽 という認識ではなく、1つ分×いくつ分 も、いくつ分×1つ分 もどちらでもいいと思って3×2にしたのだろう。その子が理解していればいいのではないか?」

 という至極真っ当な意見に対して、

「その子が実際にどう考えたか、と言うこととは別に、その式を見た人に、『自分はこう考え』というのが一目で分かるように表現できることが大切」

とかなんとか言って、かけ算順序強制を合理化することにつながりかねない。



■「その結果、数量関係の領域にグラフなどの統計的な内容が第1学年~6学年まで系統的に位置付けられることになった。」

このあたりが、

ブロック操作 テープ図 線分図 比例直線図 というような「体系」につながるようだ。
http://8254.teacup.com/kakezannojunjo/bbs/t21/1564


「逆思考の問題」の扱いが、問題を解くことよりも、テープ図の書き方になってしまっている、

答えは分かるのに、答えを解くための道具だったはずのテープ図の理解に苦労している

という本末転倒な事態も、「目的はテープ図、さらには高学年での比例直線図、単位当たり量、問題を解くことはそのための道具に過ぎない」といことで合理化できてしまう。



  • [42]
  • 低学年(1,2年)に「D数量関係」

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 1月 7日(火)12時50分43秒
  • 返信
 
QandA p244
--------------------------------------------------------------------------------------
Q7 今回の改訂において、低学年(第1~2学年)に「数量関係」の領域が新たに設置された。その趣旨と内容について説明してほしい。


 前回も今回も、算数科の内容は「A数と計算」「B量と測定」「C図形」「D数量関係」の四つの領域で構成されている。「数量関係」の領域については、前回までは、第3学年移行に設定されていたが、今回の改訂で、今回の改訂において、改善の具体的事項である「言葉や数、式、表、グラフなどを用いた思考力・表現力の育成を重視する」ために、低学年から「数量関係」を領域として設けて、内容を示すことになった。

 算数科における表現の特徴は、単に言語活動だけでなく、算数固有の言葉や数、式、図、表、グラフなど、数学的手法を伴ったものであるということである。したがって、思考力・表現力の育成に当たって、言葉や数、式、図、表、グラフなどを用いた表現力として、その育成を図ることが大切であり、そのために、それらの内容の中心となる「数量関係」の領域の充実が図られたと言うことである。

 「D領域」のねらいは、「A数と計算」「B量と測定」「C図形」の各内容、また数量や図形について調べたり、表現したりする方法を身に付けることである。この領域では「関数の考え」「式で表すことと式を読むこと」及び「統計的な処理」が主な内容となっている。今回の低学年「数量関係」では、式に表したり、式を読み取ったりすることや簡単な絵や図でグラフのように表現することなどが取り扱われることになった。これらは、前回までは「数と計算」領域に位置付けられていたものであり、それを整理し充実する形で「数量関係」領域に示された。その結果、数量関係の領域にグラフなどの統計的な内容が第1学年~6学年まで系統的に位置付けられることになった。なお、中学校数学科においても、「D資料の活用」という領域が新設された。このように、算数・数学全体を通して、今回の改訂では統計的な手法としてのグラフの取り扱いが重視されたことが分かる。なお、低学年(第1~2学年)における統計的な処理に関する内容は次のとおりである。

 第1学年D(2)
 ものの個数を絵や図などを用いて表したり読み取ったりすることができるようにする。
 第2学年D(3)
 身の回りにある数量を分類整理し、簡単な表やグラフを用いて表したり読み取ったりすることができるようにする。
--------------------------------------------------------------------------------------

  • [41]
  • 「表現力」重視

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 1月 7日(火)12時11分50秒
  • 返信
 
QandA p240
--------------------------------------------------------------------------------------
Q3 今回の改訂では、数学的な「表現力」を高めることが重視されているが、どうしてか。また、どのようにすれば高めることができるか教えてほしい。


 今回、算数課の目標は次のように改訂された。
 「算数的活動を通して、数量や図形についての基礎的・基本的な知識及び技能を身に付け、日常の事象について見通しをもち筋道を立てて考え、表現する能力を育てるとともに、算数的活動の楽しさや数理的な処理のよさに気付き、進んで生活や学習に活用しようとする態度を育てる」(傍線筆者)
 「筋道立てて考える能力」が「筋道を立てて考え、表現する能力」のように「表現する能力」が加わった。今回の算数科の改善の方向性として、「基礎的・基本的な知識・技能を確実に定着させるとともに、数学的な思考力・表現力を高めること」があげられている。この表現力を育成することが目標に示された。このことは、算数科の学力のとらえ方に対して質的な転換をもたらすことになる。つまり、児童の理解に関して、これまでは筋道立てて考えて問題が解決できること(結果)で身に付いたと判断する傾向が強かったが、さらにその過程や理由を適確に表現できてこそ身に付いたとみるべきであるという考え方が読み取れる。平成19年度、平成20年度と全国学力・学習状況調査が実施された。その中の、「主として『活用』に関する問題(B問題)」では、すべての問題が「自分の考えを数学的に表現すること」という観点に対応する記述式を含む出題となっている。解決した後において、その過程やその理由を説明できることこそ大切であるという考え方である。
 ではなぜ、このような表現力が強調されるようになったのか、その理由としては、次のようなことが考えられる。
 
・結果だけ見ても理解できているかどうかが分からないことがあり、過程や理由を表現することが必要である。
・考える能力と表現する能力とは補完の関係にあり、表現することによって考えが深まる。
・表現することによって、コミュニケーションを図ることができ、授業の中で、お互い分かり合えることができる。
 
 表現方法は主として、話すことと書くことの二つがある。さらに、算数科での表現では、数学的手法(言葉や数、式、図、表、グラフなど)を用いることになる。
 授業の中で、表現する活動を積極的に取り入れることが大切であり、それは、これからの算数科の授業改善の重要な視点になると考えられる。
--------------------------------------------------------------------------------------
 
 
参考資料
 
全国学力・学習状況調査問題  算数B 平成19
 
全国学力・学習状況調査問題  算数B 平成20
 
 
 
 


  • [40]
  • 一見よさそうな授業だが、危うい

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 1月 7日(火)11時04分22秒
  • 返信
 
「具体物を使って数の理解を深める」と言われれば、「単なる計算じゃなくて、イメージを伴って理解させる望ましい指導」という印象を受けるが、

「合併と増加をブロック操作で区別させる」という有害な授業だったりする。


「○の数をいろいろな方法で求めさせる」というのも、注意が必要である。

「図の分割の仕方と、式が1対1に対応している」という考えを浸透させることになっている。これは、これまで散々問題視してきた、「式と場面が対応する」という考えと同様のものである。

 第3学年では

「④除法の問題場面を式の二通りの図(等分除・包含除)で表したり問題文を考えたりする活動。」

とあるとおり、図を使っても、等分除と包含除の区別(≒1つ分といくつ分の区別)は解消されないどころか、図で区別を確認にすることになってしまっている。


 こんな具合なので、

○○○○○
○○○○○
○○○○○

この数を求める場合に

○○○○○

○○○○○

○○○○○

は、5×3


○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○

これは3×5


というような授業があっても不思議はない。

↓を読むと杞憂とは思えない。
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/20101123Kakezan.html#A37


  • [39]
  • 式と図を関連させる  補足

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 1月 7日(火)10時37分51秒
  • 編集済
  • 返信
 
□は、ズレ防止のために積分定数が入れたものなので、ないものとして見て下さい)

第3学年では

□○○
○○○○
○○○○
□○○

このような図が示されていて、○の数を求めるのだけど、


□○○

○○○○

○○○○

□○○

こういう分割だと、「2×2と4×4で12」


□○ ○
○○ ○○

○○ ○○
□○ ○

これだと、3×4


●○○●
○○○○
○○○○
●○○●

これだと、4×4-4

こんな具合。





第6学年では、マッチ棒を

|ココココ

と並べて、これも区切りを入れて分割して、式を対応させている。

http://


  • [38]
  • 式と図を関連させる

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 1月 7日(火)10時18分43秒
  • 返信
 
12 式のはたらきに気付く
第3学年「いろいろな式」
1 本単元のねらいと算数的活動のポイント
--------------------------------------------------------------------------------------
式を読み図に表す、図を読み式に表すなど、式と図を関連付けながら数量の関係を説明できるようにする。
--------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------
③図に示された数を多様な式で表したり、友達の書いた式を読みとったりする活動。④除法の問題場面を式の二通りの図(等分除・包含除)で表したり問題文を考えたりする活動。
--------------------------------------------------------------------------------------


24 文字のよさに触れる
第6学年「文字を用いた式」
本単元のねらいと算数的活動のポイント
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 この単元が、小学校における式に関する学習のまとめとなることから、これまで学習してきている、「式と図を関連づけて読み取ること」「式への関心を高めること」「数量の関係を簡潔・明瞭に表すことができるという式のはたらきやよさに気付くこと」などを一層重視する必要がある。
--------------------------------------------------------------------------------------

  • [37]
  • 算数の分数指導に関して

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 1月 7日(火)09時50分40秒
  • 返信
 
小学校算数では量分数しか扱わない、という訳でもないようです。

また、教科書では 食パン2/4枚 というのもありました。

単位ではなく助数詞を伴った分数を、量分数というか割合分数というのかは分かりませんが。


分数指導に関しては別途研究が必要かもしれません。

  • [36]
  • 2/3本は駄目?

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 1月 6日(月)17時18分36秒
  • 編集済
  • 返信
 
21 計算の意味の理解を確かなものにする-分数×分数の問題づくりを通して

5/7×2/3となる問題を作るという授業で

「5/7mのテープの2/3本分の長さは何mでしょう」
「1本5/7Lのジュースが2/3本あります。何Lあるでしょう」

などを「成立していない問題」としている。


このような例は鰹節猫吉さんもどこかで報告していたから、算数教育界では一般的なものなのかもしれない。

この授業では、「3人の作った問題に意見はありませんか」と問いかけて、

--------------------------------------------------------------------------------------
C C1さんが作った問題ですが、2/3本というのは現実にはないので、問題としては成立していないと思います。
C C2さんが作った問題も、2/3本というのは現実にはないので、問題としては成立していないと思います。
--------------------------------------------------------------------------------------

と言う言葉を子どもからひきだしている。


恣意的な算数教育界のローカルルールを「子どもたちが自分たちで指摘しあう」という体裁になっている。

西に3m移動することを「東に-3m移動する」
不定積分を一回することを、「微分を-1回する」
√2掛けることを「2を1/2回掛ける」

このように表現したりイメージするのは単なる言葉遊びではなくて、数学を理解する上で重要である。

私はこういうのを当たり前だと思っているので、2/3本の何が悪いのかさっぱり分からない。

料理のレシピでも「大さじ1/2」とか普通に出てくる。

テープに関して、1本を半分にして「1/2本」などというのはむしろ分数の導入では積極的に教えているのかと思ったが、・・・・

と思って教科書(学校図書 4年下)を確認したら、1mのテープを等分することで、1/2m、1/3mなどとしている。

いわゆる「量分数」なんですね。


で、5年、6年の教科書を見たけど、分数の計算に焦点が移っていて、

結局「大さじ1/2」というようなものは最後まで扱っていないようだ。


量分数・割合分数 という区別そのものがナンセンスなんだけど、「m」や「L」や「㎏」というような単位が付いた分数しか扱わないと言うのもどうなんだろうか?

仮にそのようなものしか扱わないとしても、子どもが2/3本とすることを禁止する必要はないはず。

算数教育界はどうも、「教える側が配慮すべき事」がことごとく「児童に強制すること」になってしまうようだ。

分数指導も調べたら色々で的そうな予感。

量分数・割合分数という不毛なムダ毛
http://8254.teacup.com/kakezannojunjo/bbs/t6/l50


追記 よくよく調べてみると、学校図書6年上では「食パン2/4枚」というのが出てくる。2/3本が駄目、というの理由がますます不可解。

  • [35]
  • 猿と熊は足せないのか?

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 1月 6日(月)16時45分59秒
  • 編集済
  • 返信
 
「お話づくりから算数の世界へ」4実際の授業

猿と熊と狐のカードが何枚かずつある。
--------------------------------------------------------------------------------------
T 算数のお話にしたいんだけどな。できないかな?

C さるとくまがいます。合わせて幾つですか?
C さるとくまは合わせることができないよ。
C この前は、木登りのさると、木下にいるさるを合わせたけど今回は仲間が違うから合わせることができないよ。
C 分かった。くまとさるではどちらが多いですかにすればいいんだ。
--------------------------------------------------------------------------------------

このような児童のやり取りに関して特に教師のコメントはないようだ。

熊と猿、合わせることはできないがちがいを求めることはできる、というのはよく分からない理屈である。

「仲間かどうか?」というカテゴライズの話は、算数の理解とは関係ない。

「猿と熊に1個ずつ林檎をあげる。林檎の個数は?」という問題だって考えられる。

象と蟻は足せるのか? メダカと黒マグロは足せるのか?http://8254.teacup.com/kakezannojunjo/bbs/t37/l50


  • [34]
  • 「並べ方のルール」!?

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 1月 6日(月)16時37分8秒
  • 返信
 
4 お話づくりから算数の世界へ-様々な問いをもたせる工夫-
第1学年「絵や図を用いて数の大きさを表す」
(3)線分図のよさを生かして
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 1年生の学習の中で、「たすのか? ひくのか?」を学習する場面がある。このような場面で線分図のよさを学習する。線分図になる前の段階として、絵カードを使って学習することにした。「集める」「合わせる」などと学習した後に、お話づくりの活動を通して絵カードを見やすく並べたり、並べ方のルールなどを学習することで絵グラフの基礎が身に付き、そこから線分図につながていくことができる。
 また、絵カードを並べる活動については、「縦に並べる」という考え方もあるだろうし、「横に並べる」という考え方も出てくると思われるが、どちらも認めていきたい。
 数量の少ない場合の比較は、見た目で分かってしまう。そこで、「他の人が見ても違いが分かるように並べてみよう」とか、「ひと目で分かるようにしよう」などと投げかけることで、「数量の比較をする」という目的意識をしっかりもたせるようにしたい。
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「並べ方のルール」などという言葉が出ている段階で、危ういものを感じる。

「他の人に分かるように」というのは曲者。

算数教育界の奇妙な理屈では

「説明する力」が、「800円の5割を800÷2と求めるのは誤り」となってしまう(※)のだから、

「他人に分かるように」が、恣意的なローカルルール正当化につながってもおかしくはない。


(※)問題文にない数値を使った場合は説明が必要。説明する側(児童)も説明を求める側(教師)も面倒くさいので、「なるべく問題文にある数値を使おう」となり、そのうち「問題文にない数値は使ってはいけない」となってしまったのだろうと推測できる。その結果、「800÷2」は「間違った式」となってしまい、「くもわ」などの公式を暗記していると、「800×0.5」という「正しい立式」ができ、自分で考える子、割合を理解している子は「800÷2」としてバツになってしまうことになりかねない。


  • [33]
  • テープ図の指導  キーワードの弊害

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 1月 6日(月)14時04分22秒
  • 編集済
  • 返信
 
8 加法・減法の相互関係について式を用いて表す
第2学年「たし算とひき算」
5 学習の展開  p134

リンゴがあって5個食べたら7個残った。最初はいくつあったか?という問題で

答えを求めさせる前に、テープ図を書くことを指導している。
「図のかき方を一斉指導する」などとある。

| はじめにあったかず |

という図が示されて

--------------------------------------------------------------------------------------
T では、次の分は、「そのなかから5こたべたら」で切ります。これはどこにかいたらいいでしょう。
C 右にかきます。
C 左にかきます。
--------------------------------------------------------------------------------------


|        |5こたべた|

|5こたべた|        |

2つ考えられるのでどうするのか?という話。

本書には「解決方法を考える」とあるが、「解決方法」は書いていない。

「どちらでもいい」「右側に書かないと駄目」とか、教師の裁量でやれということだろうか?

こんなことをくどくど指導するよりも、ストレートに答えを求めさせた方がいいように思うのだが。

--------------------------------------------------------------------------------------
T では、図をかき上げて、答えを求めましょう。
C (図の空いているところに「のこり7こ」を入れて、図を完成させる)
C 5+7=12
C 7+5=12
C 7-2=2

式を発表する。児童は答えまで出しているが、前半部分のみ板書する。

T 式は書けましたか。
  5+7
  7+5
  7-5
  の3つの式がありました。いいたいことはありますか。
C 7-5は、答えが違うと思います。
C でも、この問題はひき算の問題です。
T なぜ引き算の問題だと思ったのですか。
C それは、問題に「たべた」「のこり」という言葉があったからです。
--------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------
T 「ひき算だ」という子がいるけど、この問題を読むときひき算に見えますか。
C これは、たし算の問題です。
C でも、ひき算の証拠があります、「たべる」とか「のこり」という言葉は、ひき算で使う言葉です。
--------------------------------------------------------------------------------------


キーワードに着目して何算かを決定させる弊害が如実に現れている。


授業の最後のやり取り
--------------------------------------------------------------------------------------
T そうですね。ですから、最初に□-5=7 という式を書き、次に7+5(5+7)と書いて答えを求めましょう

・まとめ
T 今日の学習でよかったことは何でしょう。
C 問題は図にかいて考えると式ややり方が分かりました。
C □を使った式にすると、問題通りの式が書けまず
--------------------------------------------------------------------------------------


足し算の増加と合併、引き算の求残と求差、という文章問題の細分化もそうだが、「足し算の問題」「引き算の問題」などという分類もまずいと思う。

7-5=2 として答えを出した子も、何算かとか意識しないで問題文を素で考えたなら、「最初に2個あって5個食べたら7個残った」というのがおかしいと気付くのではないだろうか?

「文章問題は、足し算か引き算で分類される。キーワードで判断できる」

という指導の矛盾が「逆思考の問題」で露呈するのだが、そこを改めるのではなくて、

テープ図や□を使った式で乗り切るというのは無理があるのではないだろうか?

問題文を素で考えて、その子が試行錯誤するなかで図や□を使った式を書くのは構わないが、

授業の大半がテープ図の指導だったり

「最初に□-5=7 という式を書き、次に7+5(5+7)と書いて答えを求めましょう」という教師の言葉に象徴されるように、


「こういう問題はこういうやりかたでやらないとならない」という押しつけになってしまっているような気がする。


「逆思考の問題は難しい」というのだが、

「1人帰ったので3人になった。最初は何人?」というのが本当に難しいのだろうか?

数の認識があり、数が数えられれば求められるように思うのだが。

「足し算」「引き算」「『かえった』は引き算」・・・

こういった余計なことを知ることでかえって分からなくなっているのではないだろうか?

そして、逆思考の問題に取り組むときには、「テープ図」「□を使った式」などと新たな「余計なこと」を覚えないとならないとしたら、

ますます苦手になる子もいるかもしれない。



  • [32]
  • キーワード着目指導

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 1月 6日(月)13時31分0秒
  • 返信
 
1 計算の意味や計算の仕方を理解する
第1学年「簡単な2位数のたし算、ひき算」
5 学習の展開 p92より

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りょうこさんと とおるさんは、 せいかつかでする あそびのじゅんびのために、 ペットボトルの ふたを あつめています。あわせて いくつ になるでしょう。

(積分定数注釈 りょうこさんと、とおるさん のそれぞれのペットボトルの蓋の写真。それぞれ数十個。)

T この話は、何算の話ですか。そのわけも発表しましょう。
C 「あわせています」から、増えているので、たし算です。
C 「あわせて いくつ」から、たし算だと思います。
T たし算だと分かる大切な言葉をよく見つけましたね。(後略)
--------------------------------------------------------------------------------------

「何算か?」という問いかけもどうかと思う。

合併と増加の「あわせていくつ」「ふえるといくつ」がキーワードとして利用されているようである。

  • [31]
  • 第2学年 乗法の式

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 1月 6日(月)13時03分51秒
  • 返信
 
第2学年の年間指導計画 (4)数量関係 p61
--------------------------------------------------------------------------------------
② 乗法の式
 乗法が用いられる具体的な場面を、×の記号を用いた式に表したり、その式を具体的な場面に即して読みとったり、式を読み取って図や具体物を用いて表したりすることを重視する。その際、乗法の式から場面や問題を作るような活動も、乗法についての理解を深め、式を用いる能力を伸ばすために大切である。

--------------------------------------------------------------------------------------

1つ前で引用した第1学年の文章と大して変わらない。

「かけ算の順序が逆にならないようにしっかり指導することが必要」と露骨には書いていないが、

ここから、かけ算順序強制指導が行われるであろうことは容易に想像がつく。

そして、それに対しての批判に対して「順序に拘っているのではなくて、かけ算の意味を理解することを重視しているのだ」と反論することも容易に想像がつく。

  • [30]
  • 第1学年 加減の式表現と読み取り

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 1月 6日(月)12時50分53秒
  • 編集済
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第1学年の年間指導計画 (4)数量関係 p54
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① 加法、減法の式:加法及び減法の式の表現とその読み取り

 加法及び減法が用いられる具体的な場面を、+や-、=の記号を用いて式に表したり、それらの式を具体的な場面に即して読み取ったり、式を読み取って言葉や図、具体物を用いて表したりすることができるようにする。この内容は、新学習指導要領では数と計算の領域から数量関係の領域の扱いとなり、具体的な場面を式で表現することや式を読みとることを重視している。
 また、式の読み取りとは、式からそれに対応する具体的な場面や数量の関係を理解することである。例えば、式に合うように問題づくりをする活動は、式についての理解を深め、式と具体的な場面を結び付けていく活動として有効である。
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これによると、これまで第1学年では「D 数量関係」がなかったが、それ以前は「A 数と計算」で述べられていたと言うことのようである。

1つ前(平成15年)の指導要領〔第1学年〕
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 1 目  標
(1) 具体物を用いた活動などを通して,数についての感覚を豊かにする。数の意味や表し方について理解できるようにするとともに,加法及び減法の意味について理解し,それらの計算の仕方を考え,用いることができるようにする。
(2) 具体物を用いた活動などを通して,量とその測定についての理解の基礎となる経験を重ね,量の大きさについての感覚を豊かにする。

(3) 具体物を用いた活動などを通して,図形についての理解の基礎となる経験を重ね,図形についての感覚を豊かにする。

 2 内  容
 A 数と計算

(1) ものの個数を数えることなどの活動を通して,数の意味について理解し,数を用いることができるようにする。
ア 対応などの操作によって,ものの個数を比べること。
イ 個数や順番を正しく数えたり表したりすること。

ウ 数の大小及び順序を考えることによって,数の系列を作ったり,数直線の上に表したりすること。

エ 一つの数をほかの数の和や差としてみるなど,ほかの数と関係付けてみること。

オ 100までの数について,その表し方と意味を理解すること。

(2) 加法及び減法の意味について理解し,それらを用いることができるようにする。
ア 加法及び減法が用いられる場合について知り,それらを式で表したり,その式をよんだりすること。
イ 1位数と1位数との加法及びその逆の減法の計算の仕方を考え,その計算が確実にできること。

(3) 具体的な事物について,まとめて数えたり等分したりし,それを整理して表すことができるようにする。
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http://www.nier.go.jp/guideline/h15e/chap2-3.htm


これがそうでしょうね。


「ポイントと授業づくり」の引用した部分に戻ると、

「具体物を用いて表したりする」

ブロック(麻雀牌)操作、合併は両手でガチャン・増加は片手でガチャン
http://8254.teacup.com/kakezannojunjo/bbs/t22/l50

「それらの式を具体的な場面に即して読み取ったり」

「5+2と2+5は場面が異なる」という指導
http://8254.teacup.com/kakezannojunjo/bbs/t7/10


「式に合うように問題づくりをする活動は」

問題を作るという問題を作ることが問題を作る 作問・おはなし
http://8254.teacup.com/kakezannojunjo/bbs/t25/l50

と言う具合になっていることが推測できる。

  • [29]
  • 式に関して、表現、読み、思考、説明

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 1月 6日(月)12時17分49秒
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5 算数科の内容 D数量関係 (2)式の表現と読み p49

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それぞれの式について、指導内容との関わりで活用し、具体的な場面に式を表したり、式から具体的な関係などを読みとったりできるようにするなど、式の表現と読みの指導においては、次の事項等ができるようにすることが大切である。

(ⅰ)具体的場面に対応させながら事柄や関係を式に表す。
(ⅱ)式から場面などの意味や関係を読みとる。
(ⅲ)式を用いて処理したり考えを進めたりする。
(ⅳ)言葉・図・表・グラフなどと関連づけて用いて、自分の考えを説明したり、わかりやすく伝え合ったりする。

 今回の改定において、式の表現と読みについての改定の重要点は次の点である。
 第一は、表現することと読み取ること、さらには、図と関連づけること、説明することなどの様々な表現活動を内容として位置づけていることである。
 第二は、文字についての指導を位置づけていることである。
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「それぞれの式」というのは、等号を含まない式(フレーズ型の式)と、等号を含む式(センテンス型の式)で、前者は事柄を、後者は関係を表すとされている。


場面に対応した式をつくる。
式から場面を読みとる。
式で考える。
式で説明する。

という具合になっている。

端的に言えば、式の表現・式の読み・式で思考・式で説明 ということ。

「式を読む」というのは、発音することではなくて「場面を読みとる」といこと。


ここからかけ算の順序強制につながることは容易に想像がつく。



おまけ

「具体的場面に対応させながら事柄や関係を」という文言だけでは算数を想起させることはないように思えるが、これで検索すると、算数関係が多数ヒットする。

  • [28]
  • 小学校新学習指導要領 ポイントと授業づくり 算数

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 1月 6日(月)11時54分4秒
  • 編集済
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小学校新学習指導要領 ポイントと授業づくり 算数   2008年東洋館出版社


http://www.amazon.co.jp/%E5%B0%8F%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E6%96%B0%E5%AD%A6%E7%BF%92%E6%8C%87%E5%B0%8E%E8%A6%81%E9%A0%98-%E3%83%9D%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%88%E3%81%A8%E6%8E%88%E6%A5%AD%E3%81%A5%E3%81%8F%E3%82%8A-%E7%AE%97%E6%95%B0%E3%80%88%E5%B9%B3%E6%88%9020%E5%B9%B4%E7%89%88%E3%80%89-%E5%B0%8F%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E6%96%B0%E5%AD%A6%E7%BF%92%E6%8C%87%E5%B0%8E%E8%A6%81%E9%A0%98%E3%83%9D%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%88%E3%81%A8%E6%8E%88%E6%A5%AD%E3%81%A5%E3%81%8F%E3%82%8A-%E9%87%91%E6%9C%AC/dp/4491024049

編集者は 金本良通、滝井章、赤井利行

本書によれば、この3人を含めて、執筆者30人のうち、12人が指導要領解説算数編作成協力者

「指導要領解説算数編作成協力者」の位置づけ(文科省公認の正規なものなのかどうか)は調べていないのでわからない。



  • [27]
  • 数量関係 リーディングス新しい算数研究 五 まとめ

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 1月 6日(月)03時31分18秒
  • 編集済
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 細かいところまで読んでいけば、まだまだおかしなところが出てくると思うが、取りあえず「数量関係 リーディングス新しい算数研究 五」についてはこれで終了。


式に、

答えを出す手段
関係や事柄を表現する
思考過程を表現する

などと、複数の機能をもたせようとしている。時にはこれらの機能同士が相矛盾してしまうこともある。

それやこれやで教える側も混乱してしまっているようである。


算数教育をもっとシンプルにすることで、教師も子どもも楽になるように思える。


 そうすると、これまで算数教育を徒に無駄に複雑にすることを一生懸命やって来た人達は、権威が喪失して困ることになるかもしれないが、それは仕方ないだろう。

  • [26]
  • 感想・突っ込み  私はこういう授業は受けたくない

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 1月 6日(月)03時18分57秒
  • 編集済
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また例によって子どもに議論させているが、何をさせたいのだろうか?

答えがわかっている子にとっては、算数教育界の恣意的な流儀を探り当てる授業になってしまっているように思える。

答えが分からない子にとっては、答えを求めることとは無関係な恣意的な流儀の議論など聞かされても、得るものはないだろう。

 「式って何かな」などというのは一見気の利いた質問に思えるかもしれないが、何を答えればいいのか迷いそうである。

 結局の所、「どう答えれば先生は喜ぶのか」というようなことになりはしないだろうか?

 この授業を見た人が高く評価しているが、私は率直に言えばこういう授業は受けたくない。

 授業の様子をまとめる等というのも、自分がやらされたのなら苦痛に感じたと思う。(私は作文がものすごく苦手だった)


 授業の様子を読んで、これは算数・初等数学とは別物ではないかと思えてきた。


 こんな愚にもつかないことに時間を費やすぐらいなら

「ケーキを2個買って10円の箱に入れたら代金は810円だった。ケーキは1個いくら?」

というような、ワンランク上のレベルの問題を解くことに時間を費やした方がずっと楽しいと思う。



 答えは原則一つしかない。正解不正解ははっきりしている。正しい答えを求めて試行錯誤して全力を尽くす

これこそが算数・数学の醍醐味。


「式とは何か」などという、

どうとでも答えられるし、「それは正しい」「それは正しくない」などと、教える側の恣意的な考えでどうとでもなりうる様な、

禅問答は無用。

  • [25]
  • 感想・突っ込み  教える側も混乱

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 1月 6日(月)03時02分17秒
  • 編集済
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(イ)あきお君は、ケーキを10円のはこに入れてもらい410円はらいました。ケーキ代はいくらでしょう

(ウ)あきお君は400円のケーキをはこに入れてもらい410円はらいました。はこ代はいくらでしょう。

これはそれぞれ、□+10=410 400+□=410 という具合に、「足し算で求められる」としている。

しかし、この同じ本の別の箇所では

http://8254.teacup.com/kakezannojunjo/bbs/t52/2
「1.式表示指導上の問題点」として

○2年生の授業で、「きょうしつに、こどもが4人いました。つぎつぎとはいってきたので11人になりました。はいってきたのはなん人でしょう」というのに対して、11-4=7とすべきところを、4+7=11として、答えを7人とする。

が挙げられている。


つまり、単純に言うと

A 3人やって来たので8人になった。最初は何人?
B 3人やって来たので8人になった。これを式に表せ。

Aでは、8-3=5 としないと駄目
Bでは、□+3=8 としないと駄目

と指導するのだから、子どもは混乱しないかと心配になるが、

更に今回は、Aでも 「□+3=8 と足し算で求めることができる」と指導しているわけで、

子どもだけじゃなくて教える側も混乱しているように思える。

□+3=8 の□をもとめることを「足し算で求めることができる」と言ってしまっていいのかも疑問。

□を求める計算は引き算にならざるを得ない。

  • [24]
  • 3年:□を使った式

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 1月 6日(月)02時46分5秒
  • 編集済
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3年:□を使った式 中島繁雄  1980年9月号(No114) から抜粋

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2.子どもの式に対する意識の変容
 第1学年及び第2学年の初期においては、問題に接すると、まず答えに意識がいき求答することに執着しがちである。たとえば、「あひるが15羽池にいます。岡に7羽います。合わせて何羽いるでしょう」と問うと、直感的に22羽と答える。また、子どもが立式する場合、要素の数量そのものに目がいき、要素間の関係を示す演算は、具体的なイメージの中でとらえているに過ぎない。統合を用いても、2項演算の結果を表す意味としてつかっているのがほとんどである。このように、式に対する意識は、要素の数量そのものにあり関係を示す演算に注目するまでには至っていないと考えられる。しかし、第2学年の乗法の学習を契機に、数量の関係に意識がいきだす。「2と3をかけると6になる」という言い方をするが、言語学的であるにしろ関係に着目しているといえる。さらに、第3学年の除法の学習に至っては、「答えと割る数をかけると割られる数になる」と数量の関係そのものを重視するようになってくる。この時期に来て、言語表現の過程を経て関係を意識するようになってくる。
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6.本時の記録
(ア)あきお君は、400円のケーキを10円のはこにつめて買いました。代金はいくらでしょう

T 式をじっくり考えていこうと思います。(ア)の問題をどう考えたかな。ではS1男君。
S1男 400円のケーキを10円の箱に入れて買ったのだから、400+10として答え410円としました。N男君(ママ)

N男 S1男と同じで、400円のケーキを10円の箱につめたということは、それらを合わせることだから、S1男君と同じ式にした。

K男 ぼくも、400+10=400としたんだけど、400円だけなら、箱に入れてもらわないことになるから、ケーキ代に箱代を加えて410円とした。
(410円と板書する)

T ここに、1つの式があるけど、式って何かな。
[数人の子どもが「へぇ」とつぶやく]

S2男 自分の考えを記号に置き換えて短くしたものが式だと思います。

M1子 S1男君のつけ加えで、自分の考えを数字とか+、-の記号とかで表したものだと思う。

T M1子さんのいうには、400、10、410も式の一部ということですか・・・

A子 式というのは、何かの数をたしたり引いたりして、違う数にかわることを表している。

T じゃあ、M1子さんのいったように、400、10、410と+や=が考えを作っているんだね。

C多 そうや[「ハイ、ハイ」と挙手する]

S子 400って1つのケーキのお金のことです。

S1男 10は箱代のことです。

M男 410ってのは、ケーキ代と箱代の合わせたお金のことです。

Y1男 つまり、払った代金のことです。

N子 私は、+という記号の役目をいうんだけど、ケーキ代と箱代を合わせるという合わせることを表していると思います。

M2子 =という記号は、ある品物とある品物とを合わせる代金になると、つないでいるものだと思います。

K子 =というのは、ケーキ代と箱代を合わせたものが410円という代金になった、そして同じという意味だと思います。

T 数字にしろ、+、=にしろ大切な意味があるんだね。今、+や=についてその働きに話が進んできたようだけど、その働きを考えよう。

K男 400と10と410だけやったら、何もつながらなくて、400と10とはどんな関係があるのかを+が教えていて、=は、答えを出す意味がある。

N男 ケーキ代と箱代とを合わせると、それは払う代金とつないでいるのが=だと思います。

T +とか=とかいう記号は、あるものとあるものを合わせるという意味でつないだり、同じという意味でつないだりしているんだね。次の問題では、どうつないでいるかな。


(イ)あきお君は、ケーキを10円のはこに入れてもらい410円はらいました。ケーキ代はいくらでしょう

(ウ)あきお君は400円のケーキをはこに入れてもらい410円はらいました。はこ代はいくらでしょう。


(机間巡視して、Y1男が誤答しているので、ねらいからそれるかもしれないが意図的指名する)

Y1男 10+410=420とした。ケーキ代はさっきと同じやり方で出しました。

O男 ぼくは、Y1男君と違って、410-10=400としたんだけど、10円の箱に入れてもらったケーキ代とで410円になるのだから、410円には、箱代が入っている。

(中略 積分定数注釈 420円としたY1男の考えを誤りとする意見が複数出されて、Y1男も納得することでこの件は一件落着)

I子 (ウ)の問題だけど、410-400=10としたんですが、あきお君は410円払ったんでしょ。その代金410円は400円のケーキ代と箱代を合わせたんだから、箱代を求める式は410-400です。

S2男 みんなに考えてほしいんだけど、僕は足し算でしたんです[「ヘエ」という驚きの中に、数人の子どもが「ぼくも」とつぶやく]410円の代金は、ケーキ代と箱代が合わさったものだから足し算と考えたのです。

T どこが足し算なのかなあ。はっきりさせよう。

Y2男 [400+□=410と黒板に書く]こう書いたんだけど、ケーキ代の400円と箱代を合わしたら、410円になるから、S2男君は、足し算でしはったのがわかります。

T □って、Y2男君は書かはったけど、□って何かなあ。

E男 ふと思い出したんだけど、わり算を勉強した時、たとえば12個のみかんを3個ずつに分ける時、3個の□人分として考えた時と同じ意味で使わはったと思います。

S1男 400円のケーキ代と箱代を加えたら代金の410円になるから、S2男君やY2男君は、箱代を□円として使わはったと思う。

F子 私は、この話し合いを聞いて、(イ)の問題でも、足し算でできるかと考えたんですが、できると思います。

T (ア)の問題は足し算で(ウ)の問題も足し算で考えた人がいます。(ア)と(イ)と(ウ)の問題で似ているところってあるかなあ。

G男 どれも、ケーキ代と箱代と代金から作られているところが似ている。

F男 Y2男君の□を使ったら、どれも足し算でできる。

T この問題にあるケーキ代と箱代と代金とを結びつけてみようか。じゃあ、i男君

黒板に、三本のテープを提示して、子どもに操作させて、テープ図の関係を結ばせる
(i男)
|    ケーキ代     |  はこ代 |

|    代      金                |

I男 どの問題も、ケーキ代と箱代を合わせると代金になるから、このように結んでみた。

H子 さっきのF子さんを付け加えて、I男君のを使っていうと、(イ)の問題も足し算でできます。私は初め引き算でしてたんだけど、(イ)の問題のわからないものは、ケーキ代だから、ケーキの値段を□円にしたら、□+10=410となって、足し算でもできることがわかります。

T □って、わからないものを□にしたらいいんだね。そういうことだね。
N男 ぼくは、びっくりしたんだけど、引き算でしてたんだけど全部足し算でできるからびっくりした。

Y子 私も気が付かなかったんだけど、この3つの問題は、ケーキ代と箱代を合わせたら代金になるという関係で、同じだと言うことがわかりました。

T みんなは、N男君やY子さんのようにびっくりしたかなあ。この問題に出てきたものは、ケーキ代と箱代と代金だったね。数字じゃなくて言葉を使って式に書きますと、
((ケーキ代)+(はこ代)=(代金)と板書する)
このようになるね、言葉を使った式を言葉の式といいます。( )+( )=( )になるように( )に言葉を入れて言葉の式を作ってみましょう。

C多 できるできる[作業紙に取り組み出す]
 子どもたちの作った言葉の式を発表させる。その主な例を挙げてみると、
(ひよこのお金)+(箱のお金)=代金
(ジュースのお金)+(ビンのお金)=代金
(花の値段)+(花びんの値段)=代金
(本の値段)+(カバーの値段)=代金
(かぶとの値段)+(入れ物の値段)=代金

T ちょっと待って、お金の場合ばっかりだなあ。それ以外ではないだろうか。

N子 (お湯の重さ)+(やかんの重さ)=(合わせた重さ)と言えます。

M男 (読んだページ数)+(これから読むページ数)=(全体のページ数)とも言えます。

T たくさんあるね。これらを全部しっておくと便利だね。

O男 これだけも、しんどういわ。

T ((なかみ)+(入れ物)=(全体)と板書する)
このようにまとめてみてはどうだろう。

O男 いい、いい、それでいい。

K子 まとめられる。みんなが出した言葉の式の中で、M男君のはちょっと違うけど、まとめることができます。

T 言葉の式ってたくさんあるけど、(なかみ)、(入れ物)、(ぜんたい)という言葉を使ったら、お金の問題も、重さのも、同じ言葉の式としてまとめられるね。

 授業が終わると、子どもたちは授業の様子をノートにまとめることになっている。あまり発言しない、ずっと聞く立場のZ子のノートを記載する。



 きょう、わかったことは、いくらちがったもんだいでも、もし、きょうのように、(ケーキ代)+(はこ代)=(代金)というように、それぞれのお金の意味がわかると、ひき算しかできなかったと思っていたもんだいでも、たし算でもとめられることだ。それと、□を使うとき、□の意みは、ケーキのねだんとしてつかうこともわかった。
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この授業に対して別の人のコメント
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 この指導は、□を取り入れる場面をとらえて、式の持つ意味について指導しようとしたものである。
 はじめにも指摘されているように、子どもはとかく答えを求めるといった、子どもにとって実利的なことに目を向けがちであって、式の意味そのものを取りあげるということは、この学年段階ではまだ一般に難しいと考えられることであるが、この指導例を拝見して、まず感心させられたことは、その子どもたちがわれわれの予想以上に、大変素晴らしい発言をしていることである。
「ここに1つの式があるけど、式って何かな。」(T)という教師の発問には、さすがに「へえ!!」と言っているが、「自分の考えを記号に置き換えて短くしたものが式だと思います」(S2男)だとか、それに続く、M1子の発言など、大変素晴らしい。3年生でも、こんな発言を次々に出してくれるならば、(あまりうまくいった例を残念ながら見ていない)式の指導も、本当に楽しくやれそうだ。

 こうした授業がやれるためには、教師が、まず式の持つ意味や機能をしっかりつかんでいることが大事なことは当然なことであろう。

(後略)
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  • [23]
  • 感想・突っ込み  文字or□ 子どもに考えさせて議論させるようなことなのか?

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 1月 6日(月)00時42分38秒
  • 編集済
  • 返信
 
>「A君はコインを16個もっている。おじさんから、何個かもらったので45個になった」この場合、子どもが立てる式はほとんどが“45-16=29”というものである。


「これではまずい」というのがやはり共通認識のようだ。全く不可解。

これが「何個もらったのでしょうか?」という問題だと、「16+29=45」とすると「答えの数値がイコールの右側に来るというルールを理解していない」と言われてしまう。

 算数そのものの理解ではなく、設問の微妙な言い回しで立てる式を判断しなくてはならない。馬鹿げているとしか思えない。

既に同様のことを指摘しているが、

元々持っていた数+もらった数=合計

という式を立ててほしければ

 「16個持っていて、□個もらったら、何個になる?」とでもすればいいだけのことである。


○や□からアルファベットへの移行って、子どもが必然性を理解するような話なのか?

 本質的な違いはないわけだし、こんなこと子どもに考えさせてもしかたがないと思うのだが。

 算数・数学の面白さは、自分で考えて答えに行き着くことである。だから、子どもに考えさせる授業が望ましいと思っている。

 しかしそれは、何を求めればいいのかが明確な場合である。

「縦□、横○の長方形の面積?」としていたのを「縦a、横bの長方形の面積は?」とすればいいだけに思えるのだが。

 □○からアルファベットの移行に際して、戸惑う子もいるだろうから配慮は必要だが、考えさせるような話じゃないと思う。


 どうも算数教育の現状は、子どもが試行錯誤して自由に考えることを妨害しながら、

 どーでもいいようなことを子どもに考えさせているように思える。

 ○や□ではなくアルファベットにするという必然性はないのだから、議論の結果、子どもが自発的に「アルファベットがいい」となるとは限らない。

 結局、教師が誘導することになってしまっている。

 時間の無駄としか思えない。



  • [22]
  • 5年:文字と式の指導

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 1月 6日(月)00時25分15秒
  • 返信
 
5年:文字と式の指導 安部建夫  1985年1月号(No166)から抜粋
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1.題材名 文字と式

2.目標

(1) 数量関係や計算のきまりを文字を用いて簡潔に表したり、文字を含んだ式をよんだり、文字に当てはまる数を求めたりできるようにする。
(2) 数量関係を文字を用いて式に表す時、文字を用いるよさを漸次つかませる。

3.授業研究の課題

 文字と式の指導に関しては、次のような子どもの実態が考えられる。
(1) これまでの式のイメージから、式は答えを求めるためのものという意識が子どもたちには強く、“式を書きなさい”というと計算の式を書くものがほとんどである。したがってフレーズ型の式は式とは認められないし、次のような問題の式が立てられない。「A君はコインを16個もっている。おじさんから、何個かもらったので45個になった」この場合、子どもが立てる式はほとんどが“45-16=29”というものである。

(中略)

<子どもの考え>
(1) (キャラメルの値段)×(買った数)+(チョコの値段)×(買った数)=答
(2)  60×?+120×?=答 (?をつかった)
(3)  60×数字+120×数字=答
(4) 60×□+120×□=答

T (1)~(4)の考え方が出たがどの表し方がいいかな。
C □を使った式の方が見やすい。わかりやすい。
C 言葉の式は5年生らしくない。
C ?は小さい子が使うみたいだ。
C もともと何でもいいのだから□の方がよい。数字は面倒くさい。
C □だと中に数が入るという感じがする。
C □がよい。
T □がよいというのがみんなの考えのようだね。これから5年生らしくこの□の代わりに文字を使うことにしよう。文字はどんな文字がいいかな。
C x、(あ)とか(い)もある。
T この場合、aを使うことにしよう。□が2つあるんだけど同じでいいかな。
C □と□では同じ数が入るみたいなので、よくない。
T チョコレートの数の方はbにしよう。aとbを使ったときと□を使ったときでどういう違いがある。
C 英語だとかっこいい
C □の方が数字が入るという感じがする。
T □や数字、?などいろいろ使ったけどこれは何の代わりに使われているの。
C 数字の代わり
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研究討論の記録

5年:文字と式の指導

指導者 菊地兵一
    竹内芳男
従業者 安部建夫
司会者 森洋一

司 最初に授業者から今までの問題点を含めながら自評をお願いします。

授 本日はありがとうございました。(中略)
 文字式を指導する時にいつも導入の場面で苦労するのですが、まず文字の用いられる場合として、3つ考えられると思います。まず未知数(わからない数)を素材にする。2つ目は定数(なんでもよい数)の扱い、3つ目は変数(伴って変わる2つの数)としての扱い、があるのではないかということです。それぞれ、△+□=○や□+○=○+□、一方を変えれば他方も変わる△+□=○ということで既習の事項になっていると思います。そのことを5年生で、△や□から文字、いわゆるアルファベットに変えるわけですが、ここでなぜ文字を用いるのか、文字を用いるとどんなよいことがあるのかを、どう子どもたちに感得させるか苦労するわけです。もう一つは、式を書きなさいと言うと、計算の式、答えを求める式を書くのです。問題の式、すなわち問題間にある数量の関係を表しているような式もあるんだよということを指導したいと思っていたのです。このようなことから文字を用いることの必要感を与える問題場面設定はできないかと工夫しました。文字を使用する必要感はと言えば、子どもたちには全くないのです。指導していても、ちぐはぐな場面が時々出てきます。やはり沢山書かなければならない式が一本の式で間に合ってしまうと言う場面を取り上げて便利さに気付かせていきたいと思ったのです。
(後略)
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  • [21]
  • 感想・突っ込み

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 1月 5日(日)02時37分21秒
  • 編集済
  • 返信
 
「操作」だの「結果」だの、面倒なことを気にする必要があるのだろうか?

http://8254.teacup.com/kakezannojunjo/bbs/t38/-100ででてきた、

3×A と 3A は異なる というのとも通じそうなはなし。

後半は、まさにかけ算の順序そのもの。

「3人ずつのグループが4つあった、そのときの人数は3×4と表すことを約束した時」

とう限定的ローカルルールを、普遍性を持っているかの如く指導する。

「一般性」といってはいるが、A×B と B×A が結局同じ構造、というところまでの抽象化は決してしない。


 なぜだか、わり算での「等分除と包含除」では、トランプ配りなどで「統合」をおこなう。


 算数教育界の流儀は実にわかりにくい。

  • [20]
  • つづき 領域「式表示」についての小学校から中学校への発展系統(1)

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 1月 5日(日)02時19分39秒
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1974年12月号(No45)
領域「式表示」についての小学校から中学校への発展系統(1) 片桐重男
から抜粋
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3.式をよむことについて

 式を用いるという時には、式で表現するだけでなく、この式をよむということが必要である。
 式をよむといっても、もちろん、たとえば、
3+4=4+3
を、「3たす4は4たす3とひとしい」というように、各々の数字や記号のよみ方にならって、横読みすることではない。
 式をよむことの内容には、式の表す一般性を読み取ることと、逆に特殊かしてよむこととがある。

○まず、たとえば、3+5という式を、2数(3と5)を加えることとよむとともに、2数(3と5)を加えた結果(和)ともよむことが必要である。即ちこのような式を、いくつかの数量についての操作を表すとよむとともに、その結果あたえられた一つの数量をよむということである。これはいうまでもないことであろう。

○次に、3人ずつのグループが4つあった、そのときの人数は
 3×4
と表すことを約束した時、
 この式によって、1グループが3人で、グループの数が4の時のみ、乗法(×)が用いられるということをつかませようとしているのではない。これを一つの例として、これを通して、1グループの要素が人ではなく、リンゴでも、紙でも、グループの要素の数が3で、グループの数が4なら、全体の数は3×4と書くことをつかませたい。また、各グループの要素の数が3でなく4や5でも、グループの数が4でなく、5や6でも、‘×’を用いて上と同じように表すのだということをつかませたい。
 このようにつかませることによって、
3×4
の3や4に当たる項は、色々な数で置き換えうるし、その大きさをもった量の種類もいろいろなものでありうるのだという、変数の考えが芽生えてくる。

 そのためには、
 3×4
という立式をしたら、この式で、さらにどんな場面が表されるかを考えさせたり、この3と4は、いつも3と4だけか、他の数にしてもよいことはないかを考えさせることが必要となる。
 これが一つの式のよませ方である。このようなよませ方をすることによって、この式が一般性を持ってくる。そしてこれから、一グループの大きさが○で、グループの数が□なら、全体の大きさは、一般に、
○×□
と表してよいといった、変数の見方が育てられ、その○や□や○×□の変域にも注意が向けられてくるであろう。
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  • [19]
  • 感想・突っ込み 「思考過程を式で表現しろ」と言う無理な要求

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 1月 5日(日)01時44分16秒
  • 編集済
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「上記のような記号を用いて、事がら・・・、関係を・・・」とあることから、算数教育界では「事がら」と「関係」が別のもので、等号がない式とある式で両者が区別されると推測できる。


 私がかけ算の順序問題を調べる前に、この文面を読んだなら、さほど問題を感じることはなかったかもしれない。

 しかし、算数教育のおかしさを知っていると、これが大きな問題をはらんでいるとがわかる。


「事がら、関係」と式が1対1で対応するわけではないのに、どうもそのような対応があるという前提のような文章である。


「思考過程もできる範囲で式によって示すようにさせていきたい。」というのも無茶苦茶な要求である。


 800円の5割を「半分だから800÷2」とすると減点になる場合がある。

 3人いるところに1人加わったら何人か? 瞬時に4人とわかって式を書かないと減点される。


「思考過程をそのまま式に表現しろ」と言われて、正直に表現したら減点されるのだ。

だから、そつのない子はこう言われても思考過程をそのまま式にするなどと言うことはしないで、実際の思考とは別に「よそ行きの思考過程に合わせた教師が望む式」を書くことになるが、

 苦手な子は混乱しかねない。

会社の飲み会で「今日は無礼講だから」と上司が言われても、それを信じたら「上司に向かってその態度は何だ!」と言われるから、「無礼講」という言葉を真に受けてはいけませんよ

 などというのは、小学生に算数で学ばせる必要はないだろう。


 「思考過程を式で表現しろ」「問題文ごとに唯一の正しい式がある」

算数教育界中枢では、「両者は両立する」という考えが普通なのだろうか?


ということは、思考過程までもが「唯一の正しい思考過程」があるという発想なのだろうか?

恐ろしい。





私が高校時代に受けた国語の模試の問題に「この文章の感想として正しいのは次のどれか?」というものだった。

「作者の気持ち」「主人公の気持ち」などを問う問題を凌駕するすごい問題だと思った。


しかし、算数教育まで、「正しい唯一の思考過程」などというナンセンスな思想が支配しているとしたら、絶望的な気持ちになってしまう。



0.5mのホースの質量が700g 1mでは何gか?

700×2 と式を立てると「今は、小数のわり算の授業だから、かけ算の式は駄目です」

これは全く駄目な指導だと思うが、

「かけ算で考えても答案には小数のわり算の式を書きなさい」という意味に解釈する余地もあり得る。

 しかし、もしかしたら、「そもそもかけ算で考えてはいけない」ということかもしれない。


 瞬時に700×2という式を思い浮かべる子は、そのような発想をしないように努力しないとならないのだろうか?

 「習っていない漢字を使ってはいけない」じゃなくて「習っていない漢字は頭に思い浮かべてはいけない」というようなもの。

 算数教育界中枢は、答案用紙の(しき  )の欄だけじゃなくて、子どもの頭の中まで支配したいのか?


  • [18]
  • 領域「式表示」についての小学校から中学校への発展系統(1)

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 1月 5日(日)01時11分35秒
  • 編集済
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1974年12月号(No45)
領域「式表示」についての小学校から中学校への発展系統(1) 片桐重男
から抜粋
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2事がらや関係を式に表すことについて

 上記のような記号を用いて、事がらを3+5やx+っやさらには集合{1,2,3・・・}や、∠A+∠Bで表したり、関係を
x+y=y+x、 5>x-3
{1,2,3}⊂{1,2,3,4}などと表す。

 これによって、

(1)これらの事がらや関係を普通の言葉で示すよりも、簡潔明快に示せる。

 すなわち①普通の文より短く、②意味が明確で、③結果に影響する要因のみで示され、余分のものが入っていない。すなわち、何と何が関係し、それがどのように関係し合っているかが明確に示される。④何が変数で何が定数かもわかることが多い。


(2)さらに、どのように考えたかという思考過程を示すことが出来るといったよさがある。

 たとえば、「紙を75枚使ったが、まだ8人に7枚ずつあげるだけ残っている。はじめに何枚あったか」という問題の既知量と未知量の関係が
 □-75=7×8
となっていると、自分がどう考えたかを示せる。そして、この解決の思考過程を次のように示すことができる。
 □-75+75=56+76
□=131

また、4.3×2.3をどのように計算すればよいと考えたかを、次のように示すことによって、その思考過程が明らかになる。
4.3×(0.1×23)
=(4.3×0.1)×23
=(4.3÷10)×23
=0.43×23
 このように、思考過程もできる範囲で式によって示すようにさせていきたい。
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  • [17]
  • Re: いまさら年ばれてもいいですよ

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 1月 4日(土)16時52分58秒
  • 返信
 
>>16
> >>15
> 1959+11~12年くらいです。
> )(って書き順で、xを書くときまんなかがきれいに引っ付かなくて文字通り「間抜け」な字だなあと我ながら思っていました。

どうもありがとうございます。

https://twitter.com/metameta007/status/419305767804481536

このメタメタさんの情報とあわせると、文字式を扱うこと自体は行われていたようですね。


方程式や、2×aを2aとするようなことはしていないのではないかとは思うのですが。

  • [16]
  • いまさら年ばれてもいいですよ

  • 投稿者:kankichi573
  • 投稿日:2014年 1月 4日(土)14時29分30秒
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>>15
1959+11~12年くらいです。
)(って書き順で、xを書くときまんなかがきれいに引っ付かなくて文字通り「間抜け」な字だなあと我ながら思っていました。

  • [15]
  • Re: 小学校での文字式

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 1月 4日(土)11時49分37秒
  • 返信
 
>>14
> 私の小学生のときも

いつぐらいのことなのでしょうか?差し支えなければ宜しくお願いします。

私は、1972年小学校入学ですが、小学校で文字式をやった記憶はないな・・・

  • [14]
  • 小学校での文字式

  • 投稿者:kankichi573
  • 投稿日:2014年 1月 4日(土)10時20分51秒
  • 返信
 
>>11

>小学校で文字式が入ったのは、現行の指導要領が初めて、ということでもないのでしょうかね?

私の小学生のときも小文字のxを使った式は習ったはずです。当初)(って書き順で書いてたのをNに/を重ねる書き順をしている父親のを見てこっちが洒落てるからイイ!って宗旨替えしたことを覚えています。
#中学校から文字式を習うなら筆記体も習うから最初から後者の書き順になるはず

  • [13]
  • 感想・突っ込み  無理矢理分離させておいて「統合」ですか?

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 1月 4日(土)09時48分45秒
  • 編集済
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 算数教育の指南書には「等分除と包含除の統合」がしばしば出てくる。トランプ配りも定番のようである。

例 http://8254.teacup.com/kakezannojunjo/bbs/t2/616

等分除と包含除の統合とは、かけ算での1つ分といくつ分の逆転に他ならない。

 わり算で統合するなら最初から、「かけ算で1つ分もいくつ分も区別はない、かけ算の順序はどちらでもいい」とすればよさそうなものだが、算数教育界ではなぜかそのようなことはしない。

 かけ算の交換法則はあくまで計算における「きまり」であって、意味として交換できるわけではない

 という立場を堅持しているように思える。

 ではなぜ、わり算でも「等分除と包含除は異なる」という立場を貫き通さないのか?(「貫き通せ」と言う意味ではなく、純粋な疑問)

 結局の所、等分除も包含除も同じ「÷」を使うので、「統合」せざるを得ないのではないだろうか?

 結合法則も同様に思える。かけ算の順序への拘りからしたら、

「かけ算は二項演算だからA×(B×C)か(A×B)×Cとすべき。当然両者で意味が異なる。A×B×Cという表記は認められない」

程度のことは言ってもよさそうなものだが、そんな無茶が通らないことを算数教育界は自覚しているのだろう。



 ちなみに、「わり算での等分除と包含除の統合」=「かけ算における1つ分といくつ分の区別の解消」がなされた後も、かけ算の順序強制は延々続く。実に不可解。

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さて、演算の意味を統合的に把握させることは、除法に限ったことではない。
 例えば、加法が用いられる場合として、合併、増加、順序などいろいろな場合がある。それらが操作的にはいずれも「2つの集合の合併集合の要素の個数を求める場合」とみなせることから、同じ演算であることを明らかにし、まとめさせるのである。
 要は、児童が「同じ演算」と見る観点を明らかにし、統合を意識するような指導が望まれるのである。
------------------------------------------------------------------

ここも、増加だの合併だのと、区別を強制させておいて、どの口が言うのか?と思ってしまう。

あるいは算数教育界には、

「統合」のためには最初は「分離」が必要

という、倒錯したイデオロギーがあるのだろうか?
 

  • [12]
  • 演算の統合  論説 式表示の指導について……加地 義夫 

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 1月 4日(土)09時29分8秒
  • 編集済
  • 返信
 
1972年6月号(No.15)
論説 式表示の指導について……加地 義夫

>>2で一度登場しているが、後半に重要な箇所があったのを発見した。

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1.演算の記号について

 3年生で除法が導入されているが、等分除と包含除は意味が違っている。しかし演算の記号としては同じ÷を天下り式に持ちさせている例が多い。
 除法の指導では、等分除と包含除の違いを明確にするとともに、両者を「わりざん」として統合し、同じ演算記号を用いるわけを理解させるようにすべきである。

○等分除と包含除の違い
例 (ひとりぶんのあめの数)×(人数)=(全体のあめの数)
この言葉の式で、「ひとりぶん」を求めるのが等分除であり、「人数」を求めるのが包含除である。(乗法の逆算としての除法)

○等分除と包含除の統合
(1)15個のあめを、3人で同じ数ずつ分ける。□×3=15
(2)15個のあめを、1人に3個ずつ配る。3×□=15
等分除は、操作的には、いわゆるトランプ配りによって、包含除に帰一する(上記(1)も「1回3個ずつ□回」となる)
 これは操作による包含除への統合である。
 また、上記(1)(2)の式で、□に当てはまる数は、乗法の交換法則によって、どちらも3の段の九九を用いて見つけられる。このことから等分除、包含除を「わりざん」として統合的にとらえさせることができる。

 さて、演算の意味を統合的に把握させることは、除法に限ったことではない。
 例えば、加法が用いられる場合として、合併、増加、順序などいろいろな場合がある。それらが操作的にはいずれも「2つの集合の合併集合の要素の個数を求める場合」とみなせることから、同じ演算であることを明らかにし、まとめさせるのである。
 要は、児童が「同じ演算」と見る観点を明らかにし、統合を意識するような指導が望まれるのである。
------------------------------------------------------------------

  • [11]
  • Re: 論説 式表示の指導について……加地 義夫

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 1月 4日(土)08時42分8秒
  • 返信
 
>>8
> 中々興味深い文章ですね。小学校で方程式が扱われない理由の一つが
> 小学生の段階では未知量を取り敢えずxと置くことが出来ないことにある訳で。
> 1972年ではそのことが共通認識になっていなかったのか。或いは、この人が勉強不足なのか?

この人の肩書きは分からないのですが、文字を扱うことを前提とした文章がこの人以外にもいくつかあります。「5年:文字と式の指導」(1985年)というのも納められています。

 小学校で文字式が入ったのは、現行の指導要領が初めて、ということでもないのでしょうかね?

  • [10]
  • その都度独自に考えるよりも、定番の解法パターンを身につけることを教え込まれる現状

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 1月 4日(土)08時28分34秒
  • 編集済
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>>9

そのあたりが本当に馬鹿げているというか、なんというか・・・

>そんな一定の立式のみを求める「出来レース」

今受験生に、センター試験対策をしているのですが、あの誘導問題に乗れるかどうか、というのはまさに同様の能力だと思いました。

 シンプルに問題だけ出して、解答のみを書かせればいいのに、「思考過程を見る」ということなのか、誘導の穴埋めになってしまうので、シンプルな方法を思いついても、得点に結びつかない。

 確率の問題は、シンプルに答えだけ出すスタイルになっているのだけど。

  • [9]
  • >>6

  • 投稿者:kankichi573
  • 投稿日:2014年 1月 4日(土)08時06分13秒
  • 返信
 
>>6

Twitterでも言ったけど、(この問題でも周長16cmの長方形の問題でも)
そんな一定の立式のみを求める「出来レース」に乗れない小賢し
くない児童はそりゃしまいには数式アレルギーになりますって。
なんかこう、教師が苦心するポイントがずれてると感じる。


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