• [0]
  • 正方形は長方形なのか? 正三角形は二等辺三角形なのか?

  • 投稿者:積分定数
 
市販の算数問題集だと、正方形は長方形ではない、正三角形は二等辺三角形ではない、として扱っているケースが多い。

算数教科書だと、「次の図形のうち二等辺三角形をすべて選びなさい」という問題では、正三角形を選択肢からはずすことによって、「正三角形は二等辺三角形なのか?」という部分は避けている。

このあたりの事情を検証してみたい。

投稿者
題名
*内容 入力補助画像・ファイル<IMG>タグが利用可能です。(詳細)
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sage

  • [134]
  • Re: 学習指導要領(平成29年告示)解説 算数編では台形と平行四辺形は排他関係

  • 投稿者:TaKu
  • 投稿日:2019年 6月25日(火)23時06分57秒
  • 返信
 
>>133
> >>132
> > 小学校学習指導要領(平成29年告示)解説 算数編
> > P204
> > >そして,平行といった直線の位置関係に焦点化したとき,平行が何組あるかに着目することで,図形を分類することが可能になる。四角形を取り上げると,一組しかない四角形(台形)と二組ある四角形(平行四辺形,ひし形)に分類することができる。
> >
> > 「二組ある四角形」に「台形」を含めない方針が明確化されています。
>
>
> えーーーーー
>
> じゃあ最近の教科書はもしかして、「1組だけ」となっているのかな?

台形も含んだベン図も無くなっている可能性が高そうですね。
台形の扱いは、中学校学習指導要領では過去のものも含めて棚上げ状態でした。
中学校学習指導要領解説 数学編(平成20年、平成29年)では、台形の無いベン図が載っています。

  • [133]
  • Re: 学習指導要領(平成29年告示)解説 算数編では台形と平行四辺形は排他関係

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2019年 6月25日(火)22時44分51秒
  • 返信
 
>>132
> 小学校学習指導要領(平成29年告示)解説 算数編
> P204
> >そして,平行といった直線の位置関係に焦点化したとき,平行が何組あるかに着目することで,図形を分類することが可能になる。四角形を取り上げると,一組しかない四角形(台形)と二組ある四角形(平行四辺形,ひし形)に分類することができる。
>
> 「二組ある四角形」に「台形」を含めない方針が明確化されています。


えーーーーー

じゃあ最近の教科書はもしかして、「1組だけ」となっているのかな?

  • [132]
  • 学習指導要領(平成29年告示)解説 算数編では台形と平行四辺形は排他関係

  • 投稿者:TaKu
  • 投稿日:2019年 6月24日(月)20時04分31秒
  • 返信
 
小学校学習指導要領(平成29年告示)解説 算数編
P204
そして,平行といった直線の位置関係に焦点化したとき,平行が何組あるかに着目することで,図形を分類することが可能になる。四角形を取り上げると,一組しかない四角形(台形)と二組ある四角形(平行四辺形,ひし形)に分類することができる。

「二組ある四角形」に「台形」を含めない方針が明確化されています。


日本数学教育学会が影響力を発揮している可能性があります。
https://8254.teacup.com/kakezannojunjo/bbs/t44/94

2009年8月より2014年6月まで日本数学教育学会の会長だったのが清水静海氏。
https://www.e-campus.gr.jp/staffinfo/public/staff/detail/1391/23
現在の会長が藤井斉亮氏。
http://www.sme.or.jp/about/officers/

清水静海氏・藤井斉亮氏は、平成27-28年の中央教育審議会の委員にもなっている人物です。
教育課程部会 算数・数学ワーキンググループ 委員名簿:文部科学省
http://www.mext.go.jp/b_menu/shingi/chukyo/chukyo3/meibo/1370594.htm




ちなみに、アメリカでは台形と平行四辺形は排他的に定義する事例があるようです。
台形と平行四辺形【日本とアメリカの比較】:もたこ博士の算数工房【算数から数学まで】:So-netブログ
https://math-education.blog.so-net.ne.jp/2018-08-06

  • [131]
  • 新版 算数科教育研究の正方形・長方形に関して

  • 投稿者:TaKu
  • 投稿日:2019年 5月12日(日)17時42分14秒
  • 返信
 
https://twitter.com/OokuboTact/status/1126111801442164744
新版 算数科教育研究
著者:算数科教育学研究会 編
出版年月:2019年03月

84-1 長方形とながしかく
>4年生では長方形に関わり以下のような児童の様子が見られた。その時間は伴って変わる量の学習の一部として周の長さが24cmの長方形をいろいろ考え、それぞれの面積を比較していた。その中で1辺が6cmの正方形の時に面積が一番大きくなることには気づいたものの、この正方形を長方形と呼ぶことに対して反対する声が多くあがった。子供たちはもちろん2年生のときに長方形と正方形の定義は学習している。
>確かに子供たちは図形の包含関係を学習していないので、正方形が長方形であることを知らなくてもしかたなかった。しかし、長方形の定義という算数的なきまりごとに従って考えるならば、正方形も4つの角がすべて直角なので、長方形であると判断できるはずである。上の児童の反応は、こうした算数の知識に沿った判断が必ずしも容易ではないことを示唆している。


正方形を長方形と呼ぶかについて、何故、2年生の正方形・長方形を学んだ時にも調査をしないのか不思議でなりません。
おそらくですが、4年生のこの授業までに、正方形を長方形に含めない指導がなされている可能性が高いです。(OokuboTactさんのtwitterの続きを見ると、間違いなさそうです)
【正方形を長方形と呼ぶことに対して反対する声が多くあがった。】というのも、ある意味当然の反応でしょう。

2年生の時点で調査しないのは、
 算数教育界wでは、どんな結果が出ようと発達段階w的に正しく認識できる筈がない事になっている。(妄想の領域)
 都合が悪い結果が出る可能性があるので調査しない。
あたりだと思っています。

子供たちは定義よりも概形の見た目に基づいた判断を優先している。つまり縦方向か横方向に長い「ながしかく」は「ましかく」とは異なる四角形と判断したものと考えられる。定義を学習したからといってすぐにその算数の知識が主導権をもつわけではなく、見た目の影響が大きい段階がありそうである。

【定義を学習した】後に、正方形は長方形ではないと教えていたら、【見た目の影響が大きい段階がありそうである。】という推測すら無意味です。
算数科教育学研究会は無能集団か?

「ながしかく」「ましかく」という言葉を使っているのも気持ち悪いです。
この言葉での指導時は、排他関係にしている可能性が高いと思っているからです。
個人的には「ながしかく」だと、正方形を含まないイメージを持っています。
私見ですが、「長方形」という言葉を教えた時点で正方形も含むと指導しないと、混乱の元になると思っています。

  • [130]
  • Re: 「正方形≠長方形」は指導の結果という事例

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2018年11月21日(水)22時08分56秒
  • 返信
 
>>129

正方形が長方形であることを理解するのは子どもには難しい
求残よりも求差は難しい

この手の言説は眉に唾を付けた方がいいですね。教える側がそもそも「正方形は長方形ではない」と思っていたり、「引き算の意味は残りを求めること」などと教えていれば、そりゃそうなるとしか思えない。


 「学力」の経済学(中室 牧子)だったかに、生徒のうちの何人かを無作為に選んで、教師に「これらの生徒は極めて優秀で今後学力が高くなる潜在能力がある」と教師に伝えたら、実際にそれらの生徒の成績が上がった、という実験が書いてあった。

 無作為に選んだんだけど、教師は無意識のうちにそれらの生徒を丁寧に教えていて成績が上がったらしい。

 だとすると、「子どもはこういうものである」という算数教育理論を学んでいれば、その通りになると言うこともあるのではないだろうか?

  • [129]
  • 「正方形≠長方形」は指導の結果という事例

  • 投稿者:TaKu
  • 投稿日:2018年11月20日(火)19時55分35秒
  • 返信
 
https://twitter.com/yamazaksv2/status/1064429590653726720
これは、負の学習を目の当たりにしてしまいました。
>長男は最初は定義通り「四つの角が等しい四角形」として、正方形も長方形に含めていました。
>しかし、学校でその単元が終わる頃、「正方形は長方形ではない」にかわってしまっていました。


https://twitter.com/yamazaksv2/status/1064430224413122560
私がいくら以前の方が正解だと言っても、学校の先生、母親、ベネッセの三方から学校で丸をもらえないとダメと言われて、「正方形≠長方形」をしっかり教え込まれてしまいました。

この事例では、生徒が自発的に長方形の「長」から正方形を含まないと考えているのではなく、「正方形≠長方形」をしっかり教え込まれた結果のようです。

  • [128]
  • 小2で正方形は長方形の一種と教えてみて欲しいと思うのは私だけ?

  • 投稿者:TaKu
  • 投稿日:2018年11月10日(土)15時33分25秒
  • 返信
 
29-2D6 図形の名称の概念形成に及ぼす影響 : 長方形を中心にして
松尾(山﨑) 七重 1998年
日本科学教育学会年会論文集
https://www.jstage.jst.go.jp/article/jssep/22/0/22_115/_article/-char/ja
https://www.jstage.jst.go.jp/article/jssep/22/0/22_115/_pdf/-char/ja
しかし,生徒EIの発言(Ell4)から分かるように,彼女は正方形を長方形と呼ぶことに抵抗がある。これは長方形を長い図形であると長期にわたって考えていたことによると考えられる。
>生徒EIは正方形をひし形と呼んでもよいが,長方形とは呼ぺないという。つまり,長方形と正方形について,特に混乱しているのである。


中学校2年生の時点で、【長方形を長い図形であると長期にわたって考えていた】とあり、名称の問題以前に、長方形は正方形ではないと長期にわたって刷り込まれている可能性があります。
ひし形に関しては、そのような状態になっていない為、【正方形をひし形と呼んでもよい】が受け入れられ易いだけかもしれません。

つまり,長方形の「長」から,長方形とは長い四角形であり,正方形を含まないと考えてしまうのである。

【長方形を長い図形であると長期にわたって考えていた】という要因を外さない限り、この結論は早計でしょう。
長方形の名称を変えても、それが正方形を除く図形だと思い込めば、結果は変わらないと思われます。



https://twitter.com/flute23432/status/1047661705893834752
1976年の学校図書5年に、正方形が長方形に含まれる旨が記載されているようです。
この指導の前に、正方形は長方形ではないと刷り込まれていれば、生徒が納得しないのは当たり前でしょう。



現在では、小学校2年生で長方形、正方形を学びます。
この時点で、正方形は長方形の一種と教え、受け入れられるようなら、
 長方形という名称のせいで、正方形を長方形に含まないという仮説は誤りである。
 図形の包摂関係は難しいという前提があったとしたら、ただの思い込みでしかない。
が判明するでしょう。
(小学校以外で、「ましかく」「ながしかく」のような形で排他関係だと教わったり、正方形ではないという意味で長方形という言葉を使う人がいるで、そのせいで多少混乱する生徒が出てくるかもしれません)

この指導をして、結果がどうであったとしても、害はあまり無いと思われるので、誰か調査して欲しいです。

  • [127]
  • Re: 悪問だとしても

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2018年11月10日(土)08時08分9秒
  • 返信
 
>>123
>
>
> > 現代化の時の失敗はそれなりの理由があったはずで、一概に当時の教え方が無理筋だったからその轍を踏みさえしなければ図形の包摂関係は子供にも易しいという予想では臨まない方がいいと考えます。
>
> 情報が不足しているので、図形の包摂関係は子供には難しいという予想で臨むべきでもないですよね。


授業以外での世間一般の影響、大人の認識の影響も考慮する必要があるでしょうね。
「正方形は長方形」と正しく認識しても、世間一般では「長方形といえば、普通は正方形を除く」とされているケースが多いのも事実な訳で、子どもがそういうことも知っていたら、正方形を提示されて「これは長方形ですか?」と問われたら銅片等すればいいのか迷うかもしれません。

  • [126]
  • (無題)

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2018年11月10日(土)08時03分0秒
  • 返信
 
正方形や、正方形ではない長方形などを含むいくつかの図形を提示して、

「4つの角が全て直角である四角形を全て選びなさい」として、正方形も選択する子が、

「長方形を全て選択しなさい」で、正方形を選択から除外したとしたら、


教え方がまずいと思った方がいい。


3時間で12km進む。

「1時間で何km進むか?」なら答えられるのに、「時速は何kmか?」だと答えられない、というのと似ている。

  • [125]
  • Re: 悪問だとしても

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2018年11月10日(土)07時54分47秒
  • 返信
 
>>121
> たとえば台形、菱形、長方形、正方形を提示して一つ一つにつき図形の名前を問うたところ、全部四角形という解答があったとします。それこそ解答者は4つの図形の違いが分からないと見なされてもしかたがないと思います。または違いを表す4つの語が使いこなせていないかです。


マアジを提示して、「これは?」と質問して、「魚」「鰺」と答えたとしても、「マアジ」を知らないとは限らないでしょう。


例えば、「長方形を描きなさい」と指示して、正方形を描いたら、「この子は、ちゃんと理解していないのではないだろうか?」と思う人もいるかもしれませんが、

「四角形を描きなさい」で、正方形を描いてもさほど違和感がないでしょう。

指定された図形の中で一般的ではない特殊なものを描いている、ということではどちらも同じです。


大人は社会経験などの結果、「こう問われたら、こうするのが妥当」というのを無意識に身につけているのだと思います。それを基準に子どもの反応を見て理解度を測るのは危険だと思います。

  • [124]
  • 1963年の図形指導

  • 投稿者:TaKu
  • 投稿日:2018年11月 9日(金)20時35分17秒
  • 返信
 
教授過程の実験的研究 アルゴリズムの教授を中心に
駒林 邦男 1963年
教育学研究
https://www.jstage.jst.go.jp/article/kyoiku1932/30/4/30_4_294/_article/-char/ja
https://www.jstage.jst.go.jp/article/kyoiku1932/30/4/30_4_294/_pdf/-char/ja

この文献の指導では、教わる側にも教える側にも優しくないと感じました。
現代化の時の図形指導がこの類だとしたら、失敗して当然としか思えません。

  • [123]
  • Re: 悪問だとしても

  • 投稿者:TaKu
  • 投稿日:2018年11月 8日(木)21時54分16秒
  • 返信
 
>>121

> たとえば台形、菱形、長方形、正方形を提示して一つ一つにつき図形の名前を問うたところ、全部四角形という解答があったとします。それこそ解答者は4つの図形の違いが分からないと見なされてもしかたがないと思います。または違いを表す4つの語が使いこなせていないかです。 >>108 は文言を改良する必要があるかもしれませんが、四角形がより細かい種類に分けられることを知っているか問うことは正当です。

てんむ砂小屋さんのスタンスが、いまいち見えてこないのですが・・・
正方形を提示して図形の名前を問うたら菱形という答えが返ってきたとします。
・無条件にマルにする。
・正方形と菱形が弁別出来ていないと見做してバツにする。
・このような質問はしない。
等が考えられますが、てんむ砂小屋さんの個人的な見解はどうなのでしょうか?


> 現代化の時の失敗はそれなりの理由があったはずで、一概に当時の教え方が無理筋だったからその轍を踏みさえしなければ図形の包摂関係は子供にも易しいという予想では臨まない方がいいと考えます。

情報が不足しているので、図形の包摂関係は子供には難しいという予想で臨むべきでもないですよね。


手抜きの情報提示で申し訳ありませんが、
>>88 で取り上げた文献
『算数を学び続ける児童を支える授業に関する研究 : 定義から図形を捉える活動を通して』より
第4学年の30名
P67-68
「長方形のきまりを守っているか」という発問に対する挙手人数
図形 ①正方形 6人(20%)
事前テストに相当。

「ひしがたのきまりを守っているか」という発問に対する挙手人数
図形 ①正方形 25人(80%)
事後テストに相当。


>>117 で取り上げた文献
『図形の包摂関係についての理解の変容 : 定義についての検討場面を取り入れた授業を通して』より
国立大学の附属中学1年
P23
傾けていない正方形Kを提示
P25
長方形を選ぶ問題でKを含めた回答率
事前:19.0%
事後:47.7%
ひし形を選ぶ問題でKを含めた回答率
事前:23.7+14.3=38.0%
事後:31.0+ 9.5=40.5%


二つの文献から、
 特に指導しなければ正方形を長方形の一種と捉えているのは小4でも中1でも20%程度。
 指導した場合、正方形をひし形の一種と捉えられたのは小4の方が圧倒的に高い。
と分析する事も可能です。
図形の包摂関係を指導するのが遅いと、適応力が下がる可能性が高いといえるかもしれません。

こういう見方も出来るという程度の話ですが、参考まで。

  • [122]
  • Re: 包摂関係一般が難しいのか?

  • 投稿者:TaKu
  • 投稿日:2018年11月 8日(木)20時03分35秒
  • 返信
 
>>120

子供に限らず大人も、分類基準は何となくで行っているのはないでしょうか。
「カレーといえば欧風カレーの事だ」という人の中では、「カツカレーはカレーの一種という認識ではない」という心理に陥っている可能性もあります。

客A:お茶くれ
店員:ウーロン茶ですか、緑茶ですか、それとも紅茶ですか?
客A:お茶だっていってるだろ!
みたいな話を聞いた事があります。(客Aにとって、お茶とは緑茶である、という話です)

おかしな先入観を持ってしまうと、子供か大人かに関係なく包摂関係を受け入れられなったり、熟考しないと正しく判別出来ないような状況に陥るのではないでしょうか。


>長方形をぜんぶ選べ、で正方形を選んだらバツにされたら、そりゃ混乱するよ。

これのせいで、正方形は長方形ではないと植え付けらる生徒も出てきますよね。


ちなみに、平成29年告示の学習指導要領や解説からは、おかしな基準で編集されているのではと疑惑を抱いています。

小学校学習指導要領(平成29年告示)解説 算数編
第4学年の内容
正方形,長方形は,二組の向かい合う辺が平行であることから,平行四辺形と同じ性質をもっている図形として捉え直すことができる。

中学校 学習指導要領(平成29年告示)
〔第2学年〕
(1) 内容の「B図形」の(2)のイの(ア)に関連して,正方形,ひし形及び長方形が平行四辺形の特別な形であることを取り扱うものとする。

中2で【長方形が平行四辺形の特別な形であることを取り扱う】と明記されています。
そうなると、小4の記述はどう認識させたいのか疑問に思えないでしょうか。
個人的な推測では、
 長方形は平行四辺形の性質をもっているが、平行四辺形の特別な形であるとは考えさせない。
 長方形を提示して平行四辺形か問うた場合、平行四辺形ではないと答えてもよい。
 包摂関係について教えないと明記しない事で、批判を避けている。
だと思っています。


余談ですが、割り算の等分除・包含除についても似た面があると思っています。
等分除は包含除のように考えられるから、どちらも同じ式で表すことが出来る。(学習指導要領解説の意訳)
ここからは、「等分除の文章題は、包含除の文章題とも考えられる。」になる筈です。
が、学習指導要領解説からは、「この文章題は等分除であって包含除ではない」のような意思を感じます。

  • [121]
  • 悪問だとしても

  • 投稿者:てんむ砂小屋
  • 投稿日:2018年11月 7日(水)21時27分19秒
  • 返信
 
>>120
>後者というのは考えにくい。子どもは、カツカレーやキーマカレーもカレーだと認識できない、というのは素朴に考えて変。

たとえば台形、菱形、長方形、正方形を提示して一つ一つにつき図形の名前を問うたところ、全部四角形という解答があったとします。それこそ解答者は4つの図形の違いが分からないと見なされてもしかたがないと思います。または違いを表す4つの語が使いこなせていないかです。 >>108 は文言を改良する必要があるかもしれませんが、四角形がより細かい種類に分けられることを知っているか問うことは正当です。

>>117
> 特定の年齢になったら、いきなり図形の包摂関係が理解出来るようになる訳ではないですよね。
発達段階を連想させる年齢という語は避けるべきでした。特定の学年で包摂を教えるのはコストがかかりすぎるといい直させてください。つまり、あまりあり得そうにない仮定として、包摂関係を教える前提となる知識や技能が多すぎて、そのすべてを4年生までに指導することができないという事態を想定したまでです。現代化の時の失敗はそれなりの理由があったはずで、一概に当時の教え方が無理筋だったからその轍を踏みさえしなければ図形の包摂関係は子供にも易しいという予想では臨まない方がいいと考えます。


  • [120]
  • 包摂関係一般が難しいのか?

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2018年11月 7日(水)14時43分24秒
  • 返信
 
子どもにとって図形の包摂関係の理解が難しいのか?
図形に限らず、包摂関係一般が難しいのか?

後者というのは考えにくい。子どもは、カツカレーやキーマカレーもカレーだと認識できない、というのは素朴に考えて変。


とりわけ図形の包摂関係が難しいとしたら、教える側が理解していないからそうなっちゃうのでは?

長方形をぜんぶ選べ、で正方形を選んだらバツにされたら、そりゃ混乱するよ。

  • [119]
  • Re: この手の図形問題の悪問は他でもありそう

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2018年11月 7日(水)14時38分53秒
  • 編集済
  • 返信
 
>>108

これは悪問でしょう。こういう問題をさらっと出してしまうあたり、そもそも教える側が包含関係を理解していない傍証に思えます。


http://d.hatena.ne.jp/takehikom/touch/20141127/1417036309 の画像にある東京都算数教育研究会作成の問題、あえて「ぜんぶ」として波線で強調までして、「長方形をぜんぶかきましょう」で、正方形を選ぶと誤答という酷い代物。


児童にとって図形の包摂関係の理解が容易か困難かはさておき、


まずは教える側がちゃんと理解しろ!

  • [118]
  • 『算数教育指導用語辞典』

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2018年11月 7日(水)14時33分10秒
  • 返信
 
>>91 の文言がどういう文脈なのか分からないですね。

>各図形の名称については,次のように決められている。

誰が決めているの?

  • [117]
  • Re: 日本数学教育学会の見解が意味不明?

  • 投稿者:TaKu
  • 投稿日:2018年11月 6日(火)20時08分24秒
  • 返信
 
>>116

>「正方形は長方形だ。だから長方形かつ正方形だの意味で正方形と答えることは正当だ」という認識を採点側は持つべきです。

私もそう思います。
注意するのは、正方形を提示して長方形と答えた場合、
 正方形を理解していない
 正方形を認識する能力に欠けている
のように判断してはまずいのではないかという事です。
例えば >>108 の画像、❹㋐の直角二等辺三角形を並べた問題を見て、
 二辺の長さが同じだから 二等辺三角形
と答えたとしても、その生徒が直角二等辺三角形を理解していない事にしてはいけないと思っています。


> >>108 の試験に成績が良くないのは、TaKuさんが言うように包摂関係を理解しない子供が多いからかもしれません。

私のスタンスとしては、>>108 に関しては問題や採点基準が悪いだけで、【包摂関係を理解しない子供が多いから】【成績が良くない】とは一切思っていません。
例えば❸㋐の長方形の問題ですが、採点基準が「包摂関係を理解していれば長方形だけが正答」なら採点基準が悪いとしか言えません。
この問題なら、長方形も平行四辺形も台形も四角形もマルにするべきで、包摂関係を理解しているかは判断不能の設問でしょう。


>最後の最後の譲歩として、複数の調査のメタアナリシスの知見から、特定の年齢の子供には図形の包摂関係は教えるコストが高すぎるという事実を受け入れざるを得なくなるかもしれません。

特定の年齢になったら、いきなり図形の包摂関係が理解出来るようになる訳ではないですよね。
包摂関係を理解させたいなら、どのような調査結果が出てきても、正方形は長方形でないと思わせる指導は避けるべきです。
例えば、以下の文献では、国立大学の附属中学1年に指導しても芳しくなさそうです。

図形の包摂関係についての理解の変容 : 定義についての検討場面を取り入れた授業を通して
松尾 七重 2007年02月
千葉大学教育学部研究紀要
http://opac.ll.chiba-u.jp/da/curator/900066802/
http://opac.ll.chiba-u.jp/da/curator/900066802/13482084_55_21.pdf

長方形や正方形の導入段階から注意深く指導し、色々な経験を積んで包含関係を受け入れられる土壌を作る必要があると思っています。

  • [116]
  • Re: 日本数学教育学会の見解が意味不明?

  • 投稿者:天む砂小屋
  • 投稿日:2018年11月 6日(火)13時38分47秒
  • 返信
 
> >正方形と答えれば同時に長方形と答えたことにして良いと思うのです。

>包摂関係を理解している前提であれば、そのような基準もありだと思います。
その前提では解答者の認知の内面に踏み込みすぎてい、かけ算の順序を逆にする子は掛算の意味が分かっていないとする算数教育界の通弊を真似ることになってしまいます。「正方形は長方形だ。だから長方形かつ正方形だの意味で正方形と答えることは正当だ」という認識を採点側は持つべきです。もちろん長方形かつ正方形という冗長な解答も許容することは良いでしょう。

他にも問題の指示に、長方形を平行四辺形と答えたり180度で繋がる二辺を持つ五角形と答えたりする過不足を排除するような文言を入れた方がいいとか、改善点はあるでしょう。しかし包摂関係を理解していない子供やその背後の教師や教科書に忖度するテストは、調査の妥当性に乏しいと思います。数学の理解をこそ測るべきであり、子供のありがちな偏見やダメな教授法に歪められた数学像の理解ではありません。

>>108 の試験に成績が良くないのは、TaKuさんが言うように包摂関係を理解しない子供が多いからかもしれません。そのような認識下で妥当な行動は、子供の苦手に合わせてより手厚い指導法を模索することであり、包摂関係理解を邪魔しそうな慣行指導法は真っ先に排除されるべきです。一例としてツイターで私の挙げた一辺×一辺があります。これは面積の公式を別立てにすることであたかも正方形は長方形とは異なる図形だと子供を誤導しかねません。

最後の最後の譲歩として、複数の調査のメタアナリシスの知見から、特定の年齢の子供には図形の包摂関係は教えるコストが高すぎるという事実を受け入れざるを得なくなるかもしれません。しかしその場合でも、平均的な理解程度を飛び越える個々の子供への配慮を怠ってはなりません。

  • [115]
  • Re: 日本数学教育学会の見解が意味不明?

  • 投稿者:TaKu
  • 投稿日:2018年11月 5日(月)18時00分27秒
  • 返信
 
>>114
> >>113

> 正方形と答えれば同時に長方形と答えたことにして良いと思うのです。

包摂関係を理解している前提であれば、そのような基準もありだと思います。
しかし現実では包摂関係に関して、生徒だけでなく教師も正しく認識しているか怪しいと感じています。
正方形は長方形ではないと思わせるような問題は避けるべきではないでしょうか。

例えば正方形を提示して、この図形の名前を答えなさいという問題は、複数回答有りにし、模範解答を
 四角形、長方形、正方形
のような形にしないと、正方形と長方形は排他関係だと思い込む人達(教師も含む)が出てくると思っています。

  • [114]
  • Re: 日本数学教育学会の見解が意味不明?

  • 投稿者:天む砂小屋
  • 投稿日:2018年11月 4日(日)23時40分4秒
  • 返信
 
>>113
> ・四角形:既習 長方形:既習 正方形:既習 の時、正方形のみが正しい
私の意見ではこの手の問題は、弁別すべき図形全てを習ってから出すべきです。だから、3つの選択肢では上の通り最後のやつが私の考えでよいです。2×2の矩形は長方形なのは正しいですが、もっと詳しく描写できるはずです。方程式と同じで妥当する全ての条件を示すべきです。正方形と答えれば同時に長方形と答えたことにして良いと思うのです。

>>108 は二等辺三角形ではなく直角二等辺三角形とか、菱形ではなく正方形とか間違いやすそうな問題が入っていますが、どちらかも後者を答えれば全部の属性を答えたことになるわけです。

  • [113]
  • Re: 日本数学教育学会の見解が意味不明?

  • 投稿者:TaKu
  • 投稿日:2018年11月 4日(日)21時42分21秒
  • 返信
 
>>112

> そのような問題では、例えば3×3の矩形は正方形でもあり長方形でもありますが、望ましい解答は全ての【付加された条件】を満たす正方形だけなのでしょう。私は今のところその方針に反対する理由を持ちません。

てんむ砂小屋さんの見解では、>>108 ような問題は悪問ではないという事でしょうか?

例えば正方形を提示して、この図形の名前を答えなさいという問題の場合、
・四角形:既習 長方形:未習 正方形:未習 の時、四角形のみが正しい
・四角形:既習 長方形:既習 正方形:未習 の時、長方形のみが正しい
・四角形:既習 長方形:既習 正方形:既習 の時、正方形のみが正しい
という認識ですか?という話に繋がります。

私見では、この手の設問は悪問です。
もし出題した場合は、どの段階であれ「四角形」でも「長方形」でも「正方形」でも正解にするべきと考えています。

  • [112]
  • Re: 日本数学教育学会の見解が意味不明?

  • 投稿者:てんむ砂小屋
  • 投稿日:2018年11月 4日(日)14時45分45秒
  • 返信
 
>>111
> >>110
> > >>109
>

私こそ馬鹿なことをいっていたことに気付いたので訂正します。

私は以前
> 例えば、1×2、2×3、3×3、7×7の矩形が与えられた時に、長方形はどれですか? また正方形は?と聞く問題
に正当性を与えるのは別に問題ないんじゃないかといってしまったのですが、意図していたのは

例えば、1×2、2×3、3×3、7×7の矩形を与えて、*それぞれについて*この図形は何ですか? と聞く問題でした。(A)

そのような問題では、例えば3×3の矩形は正方形でもあり長方形でもありますが、望ましい解答は全ての【付加された条件】を満たす正方形だけなのでしょう。私は今のところその方針に反対する理由を持ちません。我々が検討すべきなのは

1×2、2×3、3×3、7×7の矩形が与えられた時に、長方形はどれですか? また正方形は? と聞く問題です。(B)

中学以降の数学では(多分)上の全てが長方形に該当し、二つの図形がそれに加えて正方形にも該当すると答えるのが正しいことになっていると思います。それは数学的に正しい解答ですし、そう答えることができる小学生を邪魔しないでもらいたいと小学校の先生にお願いするのは妥当なことです。

一方で、Bで小学生に期待される答え方がAと同じなのが算数教育における慣習だとしたら、そしてそうらしいことはなんとなく想像できるのですが、その理由は検討に値します。AとBが異なる趣旨の質問であることを理解できない小学生が多いというのは本当か? 現代化の時は図形の包摂関係をどう教えていたのか? などの疑問とともに解明すべきことだと思います。

  • [111]
  • Re: 日本数学教育学会の見解が意味不明?

  • 投稿者:TaKu
  • 投稿日:2018年11月 2日(金)22時10分19秒
  • 返信
 
>>110
> >>109

私が誤読したようです。
お騒がせしてすみませんでした。

  • [110]
  • Re: 日本数学教育学会の見解が意味不明?

  • 投稿者:天む砂小屋
  • 投稿日:2018年11月 1日(木)23時56分40秒
  • 返信
 
>>109

これからいう穏当な解釈がまだまだ甘い見込み違いである可能性はあると思いますが、一応語句を厳密に読めばこう解せるという話をします。

付加された性質に基づいて名称を選ぶというのは、3×3の矩形が図示された時に、「この図形をなんと呼びますか」という問題に図形を最も厳密に描写する名称を選ぶよう求めるということじゃないでしょうか。

つまり上の場合は長方形ではなく正方形と答えることが求められ、そのように子供を指導してゆくと言いたいのではないでしょうかね。まだ2年生で長方形や正方形という名辞が耳新しい段階では、このような日常語的な訓練が必要だということはあり得ることです。例えば、1×2、2×3、3×3、7×7の矩形が与えられた時に、長方形はどれですか? また正方形は?と聞く問題に正当性を与えるというだけの記述ではないでしょうか。というかだといいと思っています。

  • [109]
  • 日本数学教育学会の見解が意味不明?

  • 投稿者:TaKu
  • 投稿日:2018年11月 1日(木)23時02分33秒
  • 返信
 
>>91

> 日本数学教育学会が出している
> 『算数教育指導用語辞典』には
>
>
> >図形の名称
> >各図形の名称については,次のように決められている。
>
> すなわち,一般の図形の集合から,条件が付加されて特殊な図形の集合が作られたとき,その特殊な図形の集合に名づけられた名称が,その図形の名称となるということである。例えば,長方形も正方形も平行四辺形の条件はもつが,平行四辺形とよばず,付加された条件でできた集合の名称を用いるのである。

「正方形に条件が付加された図形が長方形」ではなく
「長方形に条件が付加された図形が正方形」ですよね。
日本数学教育学会の見解だと、正方形が提示されたら長方形と答えないと誤りとなるのでは?

  • [108]
  • この手の図形問題の悪問は他でもありそう

  • 投稿者:TaKu
  • 投稿日:2018年11月 1日(木)22時27分59秒
  • 返信
 
第4学年4組 算数科 学習指導案 指導者 1 単元名 四角形を調べよう 2 単元について (1)
(検索結果からは、2018年9月に公開した資料のよう)
http://www.nagareyama.ed.jp/oyamasyou/4-4sidouann.pdf
P2
一方,長方形や正方形を四角形のひとつとしてとらえずに,同等のものとしてとらえているので,図形名称の間違いが多かった。

この見解と画像の問題を見ると、問題が悪いだけとしか思えません。
画像の問題の採点基準を予想してみます。
3のア;四角形と答えるとバツ。長方形と答えさせたい。平行四辺形、台形もバツにされそう。
3のイ;四角形と答えるとバツ。菱形と答えさせたい。平行四辺形、台形もバツにされそう。
3のウ;三角形と答えるとバツ。二等辺三角形と答えさせたい。
3のエ;三角形と答えるとバツ。直角二等辺三角形と答えさせたい。二等辺三角形もバツにされそう。
4のア;直角二等辺三角形と答えさせたい。二等辺三角形はバツにされそう。
4のイ;二等辺三角形と答えさせたい?正答率60%なので他に正答がある?

どのような採点基準か分かりませんが、どうであれ悪問だと思います。

  • [107]
  • 小学校学習指導要領解説 算数編 1999年(平成11年)

  • 投稿者:TaKu
  • 投稿日:2018年 5月 3日(木)21時21分14秒
  • 返信
 
小学校学習指導要領解説 算数編 1999年(平成11年)
P50
例えば、平行四辺形については、「二組の向かい合った辺が平行な四角形」という約束によって、その名前が付けられている。ある四角形が平行四辺形であるかどうかは、この約束にしたがって調べて、判断するのである。そのようにして、四角形の集まり(集合)は、平行四辺形であるものと、平行四辺形でないものとに分けることができる。

この記述からは、正方形を図示して長方形か確認したら、正方形は長方形の一種と扱うようにしか受け取れませんね。

P141
台形については、二組の対辺のうち少なくとも一組の対辺が平行であるということを明確にとらえることができるようにする。

平行四辺形は台形の一種と扱っているように思えます。
2008年(平成20年)、2017年(平成29年)の『解説』では、【向かい合った一組の辺が平行な四角形を台形という。】と記述されています。

  • [106]
  • 松尾七重氏

  • 投稿者:おおくぼ
  • 投稿日:2018年 3月29日(木)00時30分19秒
  • 返信
 
今月(3月号)の『新しい算数研究』に松尾氏が寄稿しています。
【新学習指導要領 解説 「測定」】98頁~

  • [105]
  • 教師への質問調査

  • 投稿者:TaKu
  • 投稿日:2018年 3月24日(土)09時29分27秒
  • 返信
 
小学校第1~3学年の図形指導に関する問題点 : 教師対象の質問紙調査の結果から
松尾 七重 2010年03月
千葉大学教育学部研究紀要
http://opac.ll.chiba-u.jp/da/curator/900067022/
http://opac.ll.chiba-u.jp/da/curator/900067022/13482084_58_225.pdf
P227
この調査は2009年7月に千葉県内の2地域の公立小学校及び国立大学附属小学校の教諭114名を対象に行った小学校第1学年から第3学年までの図形の内容、その取り扱いに関する質問調査である。

千葉県の公立小学校と国立大学附属小学校の教諭が対象になっています。

P230
第四に、正方形の図については、長方形と答えた場合の判断は67.4%(表7の「常にそうする」「そうする」)の教師が誤りとしている。正方形は長方形の特別な場合であり、確実な誤りと判定するのは適切とは言えない。

67.4%もの教師が、正方形の図を見せて長方形と答えるのは誤りとしているようです。

なぜ長方形なのかという問いが必要であると考える。一問一答の問題ではなく、判断の根拠をたずね、その結果を基に、教師は回答の正誤を判断すべきであろう。

長方形の図を見せて、正方形では無いと判断していれば、正方形と長方形の区別はついているでしょう。
【判断の根拠をたずね】なんて言い出すから、問題を工夫して理解度を判断する方向に進まないのでしょうね。

  • [104]
  • 日本数学教育会誌の関連しそうな昔の文献

  • 投稿者:TaKu
  • 投稿日:2018年 3月22日(木)20時53分14秒
  • 返信
 
CiNiiで「集合 図形」を刊行物名「日本数学教育会誌」で検索すると、関連しそうな文献がヒットします。
https://ci.nii.ac.jp/search?q=%E9%9B%86%E5%90%88+%E5%9B%B3%E5%BD%A2&range=0&title=&author=&nrid=&affiliation=&journal=%E6%97%A5%E6%9C%AC%E6%95%B0%E5%AD%A6%E6%95%99%E8%82%B2%E4%BC%9A%E8%AA%8C&issn=&volume=&issue=&page=&publisher=&references=&year_from=&year_to=&count=&sortorder=&type=4

低学年に対する指導情報もあるようです。

日本数学教育会誌. 臨時増刊, 總会特集号 51, 1969年12月01日
日本数学教育会誌. 臨時増刊, 總会特集号 47, 1965年12月15日
あたりに情報が多そうです。
リンクを辿り、CiNii Books で大学図書館所蔵が確認出来ました。
CiNii 雑誌 - 日本数学教育会誌. 臨時増刊, 總会特集号
https://ci.nii.ac.jp/ncid/AN10173567

もしかしたら、所蔵大学は日本数学教育会と関係が深い可能性があるかもしれません。
大学名をこの掲示板で検索すると、結構ヒットしますね。

  • [103]
  • 専門家の向いている先は、生徒ではなく教師

  • 投稿者:TaKu
  • 投稿日:2018年 3月21日(水)15時15分35秒
  • 返信
 
算数教育界wが重視しているのは、指導法を教師へ伝授する事だと感じています。
お客様は、生徒ではなく教師であり、教師の満足度が指標になっているのではないでしょうか。

ある事柄に対し、Aと認識する生徒もいるし、Bと認識する生徒もいるし、Cと認識する生徒もいるというのが普通でしょう。
「じゃあどうすればいいのか」という現場(教師)の声に答えると、「こう教えなさい」となってしまうのでしょう。
専門家からすると、その「教え」に不備があると問題になるので、「教え」が正しい事だとする圧力がかかるでしょう。
現場(教師)からすると、間違った「教え」を指導していると思いたくないので、専門家の「教え」に間違いは無い事にしたいでしょう。

結局、大局的には「教え」が間違っていないという意見が批判されずに広まるのだと思います。
「教え」を擁護する意見間で矛盾が生じても、自分が信じているのはこの意見だけとすれば、自己矛盾にさらされない状態になります。
矛盾なんてどうでもよく、「教え」が擁護出来れば何でも良いという人も多数いそうですが・・・
掛け算の順序は正にこの状況になっていますよね。


>>100
> 現実の子供とじっくり付き合わずに、勝手な決め付けで色々なことを決める伝統がひどすぎ。

決め付ける事が専門家の仕事と思っていそうで怖いです。

  • [102]
  • 正三角形は二等辺三角形ではないとする大和市とのやりとり

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2018年 3月21日(水)07時05分2秒
  • 返信
 
電話でのやりとり
https://twitter.com/sekibunnteisuu/status/971622979510546432

  • [101]
  • なんというか、・・・

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2018年 3月21日(水)06時59分34秒
  • 返信
 
TaKuさんの集めてくれた情報を見ると、算数教育の専門家というのは

客観的に事実としてA
Aと教える
子どもはAと認識する

これらの区別が付いていないのではないのでは?と思ってしまう。



これは、掛け算の順序でもそうだし、足し算の増加と合併の区別などでもそう感じる。

数教協などの非主流派でも同様で、

掛け算は累加ではない
累加として教えるべきではない
累加じゃないと教える

これらの区別が付いていないように思える。遠山啓は「累加として教えるべきではない」「掛け算は累加のときもあるがそうじゃないときもある」という立場のようだが、伝言ゲームでごちゃごちゃになっている。



これは何なんだろうか?

  • [100]
  • 見てます

  • 投稿者:くろきげん
  • 投稿日:2018年 3月18日(日)23時51分2秒
  • 返信
 
こちらに最近書き込んでいないのですが見ています。

小2の教科書での長方形と正方形の定義の仕方は、正方形も長方形である理由が子供(n=1)にとってはわかりやすいものでした。

現実の子供とじっくり付き合わずに、勝手な決め付けで色々なことを決める伝統がひどすぎ。

  • [99]
  • 過去の取り扱い方の変化

  • 投稿者:TaKu
  • 投稿日:2018年 3月18日(日)21時15分4秒
  • 返信
 
小中接続の視点から見た図形の包摂関係の取り扱い― 過去の取り扱い方の変化から示唆される論点―
小泉 健輔 2015年3月31日
高崎健康福祉大学紀要
https://gair.media.gunma-u.ac.jp/dspace/handle/10087/9390
https://gair.media.gunma-u.ac.jp/dspace/bitstream/10087/9390/1/73-82_%E5%B0%8F%E6%B3%89%E5%81%A5%E8%BC%94.pdf
P73
基本図形1)の概念という観点からは、中学校での指導において図形間の関係が包摂関係としてまとめられ、これをもって一旦の整理がなされることとなる。

基本図形について、注釈では以下のように扱っています。
1)本稿においては便宜上、平行四辺形、ひし形、長方形、正方形の 4つの図形を指すこととする。

>>92 の中学校学習指導要領解説 数学編にある簡易ベン図は、基本図形という考えと関連があるかもしれませんね。


P76
当初児童の図形に対する捉え方としては、排他的に捉えていることが知られている。すなわち、むしろ図 2のような捉え方に近く、包摂関係についての意識はない。

全員が【排他的に捉えている】【包摂関係についての意識はない】という訳では無いでしょう。

ただ、後になって包摂的に解釈が可能なように、この段階から予め包摂関係を持つように(図 1のように)定義はしておく。そして、中学校になってから図形に対する捉え方を変えることによって、包摂関係として捉えていく、という流れである。

著者の小泉健輔氏は、小学生に「排他的に捉えなければいけない」「包摂関係で考えてはいけない」という指導もある事をどう思っているのだろうか。


「生活単元学習期」
鍋島信太郎・戸田清(1957).『算数教材研究講座第 3巻』.金子書房. 昭和32年

P78
小学校では、正方形と長方形は一応異なる図形として扱うのが妥当であろう。


「系統学習期」
戸田清・和田義信 (1961).『算数指導実例講座第 5巻図形の指導』.金子書房. 昭和36年

P78
正方形が長方形の特殊なものであったり、立方体が直方体の特殊なものであることを理解することなしに、すじ道の通った思考や処理ができないことは明らかである。

低学年の場合、長方形と正方形は区別され、弁別される。さらに学年が進み、図形をその要素や辺や角に着目して捉えるようになると、図形相互の関連はより明らかとなり、長方形の等角性が正方形のなかに保持されていることを知り、そこに正方形は長方形の特殊として位置づいてくる。
>この論理関係の一般把握は小学校においてはなかなか困難であるが、指導いかんによって、意識させうるものと考える。一般的、原理的に取り扱うのではなくて、どこまでも図形を類別したり、作図したりする操作を通して、意識化され内面化されるように指導されなければなるまい。



「数学教育現代化期」
川口延 (1971).『集合の考えの指導』.文部省編.大日本図書. 昭和46年

P79
たとえば、正方形という概念が長方形という概念に包まれることなどを集合の考えに立って明らかにすることである。このように、一方を他方に論理的に統合して考えるような見方は、数学における考え方として重要なことである




P81
一方で、図形を相互に関係づけてみる見方を豊富に経験することが、図形の包摂関係の理解に直接寄与するかについては疑問が残る。その知識獲得過程を、池田(2008)の述べる、累積的な知識獲得(これまで獲得した数学的知識を総動員して用いることで解決可能な問題場面を広げていく活動)と革命的な知識獲得(これまで獲得していた数学的知識が根底から覆され拡張されたり統合されたりしていく活動)といった数学的活動の 2つの側面から捉えると、これらの過程は前者の積み重ねによる指導が考えられていると捉えられる。

参考文献は
池田敏和(2008).「数学的活動を再考する:その性格と意図」.日本数学教育学会誌 90(9).
のようです。
【革命的な知識獲得】とありますが、「算数と数学は別物」、「中等数学と高等数学は別物」とかを意識していそうですね。
やはり日本数学教育学会には要注意かも。

  • [98]
  • ファン・ヒーレの幾何学的思考の水準

  • 投稿者:TaKu
  • 投稿日:2018年 3月18日(日)17時29分1秒
  • 返信
 
>>97 で取り上げた文献の他にも、ファン・ヒーレの水準について記述されている文献があります。

ファン・ヒーレ水準テスト(代数)とP-Pグラフ分析(1)
佐伯 卓也  1985年10月01日
岩手大学教育学部研究年報
https://iwate-u.repo.nii.ac.jp/?action=pages_view_main&active_action=repository_view_main_item_detail&item_id=11821&item_no=1&page_id=13&block_id=21

包摂関係の理解と空間図形の証明能力
宇佐美 直生 2008年
滋賀大学大学院教育学研究科論文集
http://libdspace.biwako.shiga-u.ac.jp/dspace/handle/10441/93

図形学習における数学的理解の「促進モデル」の研究 : カリキュラム構成原理としてのvan Hieleの学習水準理論の有用性の検討
向井 慶子 2009年
滋賀大学教育学部
http://libdspace.biwako.shiga-u.ac.jp/dspace/handle/10441/8180
>資料 ① :e Van Hiele の5つの思考水準の諸先行研究による記述(布川1 (1992),141 頁を一部改編)

見比べてみると、同一の内容とは思えなかったりします。
伝言ゲーム状態や、都合よく捻じ曲げられている可能性があります。

ざっと見ただけですが、ファン・ヒーレ氏が第1水準で
 正方形と長方形を区別する
ような事を行った可能性は高そうですが、
 長方形を選ぶ問題で、正方形を含めてはいけない
という事を行ったという記述は確認出来ませんでした。

  • [97]
  • 図形の分類法

  • 投稿者:TaKu
  • 投稿日:2018年 3月16日(金)18時33分50秒
  • 返信
 
小中接続の視点から見た図形の包摂関係の取り扱い― 過去の取り扱い方の変化から示唆される論点―
小泉 健輔 2015年3月31日
高崎健康福祉大学紀要
https://gair.media.gunma-u.ac.jp/dspace/handle/10087/9390
https://gair.media.gunma-u.ac.jp/dspace/bitstream/10087/9390/1/73-82_%E5%B0%8F%E6%B3%89%E5%81%A5%E8%BC%94.pdf
P73
基本図形1)の概念という観点からは、中学校での指導において図形間の関係が包摂関係としてまとめられ、これをもって一旦の整理がなされることとなる。

基本図形について、注釈では以下のように扱っています。
1)本稿においては便宜上、平行四辺形、ひし形、長方形、正方形の 4つの図形を指すこととする。

P75-76
一方で、例えば現在の幾何学の基盤となっているユークリッドの『原論』に記述されている定義にしたがえば、図形間は排他的な関係として規定されており、包摂関係は生じない。

P76
ただ、『原論』においては、一般の四角形と基本図形との関係等については詳しい言及がない。すなわち、これらの基本図形が「四角形」という集合の中にも含まれない関係と考えるのかどうか、といった点に曖昧さは残るが、本稿においてはその点についての深入りは避け、上に掲げた基本図形間の関係のみに絞って考察することとしたい。

ユークリッドの『原論』では、包摂関係は生じないという考えらしいです。
参考文献は、これのようです。
Heiberg.J.L編(1971).『ユークリッド原論』.中村幸四郎訳.共立出版.


小学校算数科における新しい図形教育のあり方
松尾 七重 2013年01月25日
鳥取大学数学教育研究
http://repository.lib.tottori-u.ac.jp/Repository/metadata/2735
http://repository.lib.tottori-u.ac.jp/Repository/file/2735/20100210061520/tjrme5_1.pdf
3.ファンヒーレの幾何学的思考の水準理論とその具体化
>3.1ファンヒーレの幾何学的思考の水準理論
>オランダの数学教育学者であるディナ・ファンヒーレ-ゲルドフとピエール・マリー・ファンヒーレは幾何学的思考に関する次のような水準理論を確立した。彼らは適切な指導を行い,援助することにより,学習者が基本的な水準から徐々に進んでいくことを実証した。この幾何学的思考の発達水準は次の5つの水準からなるものである。各水準の内容は以下の通りである。


幾何学的思考の発達段階wのようです。

例えば,第1水準では,長方形と正方形を弁別することができるが,第2水準では,両者が一般と特殊の関係になっているととらえられることから,この水準間は,我が国では,小学校3年生頃から中学校2年生頃までに相当することになる。

【第1水準では,長方形と正方形を弁別することができる】とあり、低学年では正方形と長方形は別物であり、正方形は長方形の一種と考えてはいけないと受け取れます。


愛媛大学教育学部
http://www.ed.ehime-u.ac.jp/~edhp/main/gakubu/katei_course_senkou/senkou_suugaku.php
藤本義明氏の個人サイト
藤本研究室
http://officefujimoto.com/
* 図形の教材研究と指導事例
http://officefujimoto.com/zukei.pdf
(1)二分法的分類と包摂関係による分類
子どもの図形概念は、はじめは、二分法的な分類に相当している。つまり、三角形については、正三角形、二等辺三角形、(不等辺)三角形は、それぞれ全く別のものであると捉える。高学年になると、部分的に包摂関係による分類に相当した捉え方ができるようになる。正三角形は、その2辺の長さが等しいので、二等辺三角形でもあると、捉えられるようになる。

【子どもの図形概念は、はじめは、二分法的な分類に相当している。】【それぞれ全く別のものであると捉える。】と決め付けています。

余談ですが、算数教育学概論 片桐重男 東洋館出版社(2012/10/29)に『これは内包をゆるめて,外延を拡張することである。』とあるようですが、
(2) 内包と外延の関係
この文献に、内包と外延についての解説があります。

10.ファン・ヒーレの学習水準理論

この文献でもファン・ヒーレの水準理論に触れています。
もしかしたら、松尾七重氏とは同一見解ではないかもしれません。


「長方形とは四つの角が直角な四角形」と説明されれば、低学年でも正方形も長方形の一種と認識する生徒は一定数いるでしょう。
算数教育学wでは、長方形を選ぶ問題に正方形を含めると、長方形と正方形を正しく認識出来ていない事にされてしまう事例があるようです。
図形の問題は、発達段階w説の有害性が表面化し易い題材だと思います。
低学年の生徒を対象に、正方形も長方形の一種と認識しているか調査をして、少数でもいれば良いだけですから。

  • [96]
  • 言葉に注目して学習指導要領を見てみる

  • 投稿者:TaKu
  • 投稿日:2018年 3月10日(土)14時35分52秒
  • 編集済
  • 返信
 
注目する言葉は、「包摂関係」、「相互関係」、「図形の性質」です。

昭和43年度改訂 小学校学習指導要領(昭和46年4月施行)
http://www.nier.go.jp/guideline/s43e/chap2-3.htm
〔第5学年〕
(3) 対称や包摂関係に着目したり簡単な性質を調ベたりするなど,基本的な図形について考察する能力をのばす。

明確に「包摂関係」を扱うようになっています。


昭和52年度改訂 小学校学習指導要領(昭和55年4月施行)
http://www.nier.go.jp/guideline/s52e/chap2-3.htm
[第6学年]
(3) 図形を対称性,相互関係などに着目して考察し,図形についてまとめたり理解を深めたりする。

平成元年度改訂 小学校学習指導要領(平成4年4月施行)
http://www.nier.go.jp/guideline/h01e/chap2-3.htm
〔第4学年〕
ウ 四角形について、作図などを通してそれらの相互の関係に着目すること。

「相互関係」や「相互の関係」という言葉が使用されています。
包摂関係を指しているのか、>>95 の片桐重男氏のような認識なのか、はたまた包摂関係とは無関係なのかは不明です。
当時の学習指導要領解説にあたる指導書をお持ちの方がいたら、指導書での扱いを調査してくれると助かります。



平成10年度改訂 小学校学習指導要領(平成14年4月施行)
http://www.nier.go.jp/guideline/h10e/chap2-3.htm
〔第5学年〕
(1) 図形についての観察や構成などの活動を通して,基本的な平面図形についての理解を一層深めるとともに,図形の構成要素及びそれらの位置関係に着目して考察できるようにする。
>ア 直線の平行や垂直の関係について理解すること。
>イ 平行四辺形,台形,ひし形について知り,それらをかいたり,作ったり,平面上で敷き詰めたりすること。
>ウ 基本的な図形の簡単な性質を見いだし,それを用いて図形を調べたり構成したりすること。


平成19年度改訂 小学校学習指導要領(平成20年3月告示)
http://www.nier.go.jp/guideline/h19e/chap2-3.htm
〔第4学年〕
エ 平行四辺形,ひし形,台形で平面を敷き詰めて,図形の性質を調べる活動

〔第5学年〕
ウ 図形の性質を見いだし,それを用いて図形を調べたり構成したりすること。


小学校学習指導要領 平成29年3月
〔第4学年〕
(ア) 図形を構成する要素及びそれらの位置関係に着目し,構成の仕方を考察し図形の性質を見いだすとともに,その性質を基に既習の図形を捉え直すこと。

〔第5学年〕
(ア) 図形を構成する要素及び図形間の関係に着目し,構成の仕方を考察したり,図形の性質を見いだし,その性質を筋道を立てて考え説明したりすること。

>(ア) 図形を構成する要素に着目し,図形の性質を見いだすとともに,その性質を基に既習の図形を捉え直すこと。


〔第6学年〕
(ア) 図形を構成する要素及び図形間の関係に着目し,構成の仕方を考察したり図形の性質を見いだしたりするとともに,その性質を基に既習の図形を捉え直したり日常生活に生かしたりすること。

平成10年度改訂以降は、「図形の性質」という言葉が使用されています。
しかし、学習指導要領解説では、包摂関係を扱うようには書かれていません。
正方形と長方形は別物として認識出来るように編集しているようです。
平成29年の【図形間の関係】も、包摂関係とは無関係のようです。

  • [95]
  • すどさんからの貴重な情報

  • 投稿者:TaKu
  • 投稿日:2018年 3月10日(土)14時07分40秒
  • 返信
 
https://twitter.com/ysmemoirs/status/971673380033257473/photo/1
初等科数学科教育学序説 杉山吉茂教授講義筆記 東洋館出版社(2008/2/1)
概念の形成のなかには図形の相互の関係(正確には、包摂関係)を知ることが含まれている。

杉山吉茂氏は、「相互の関係」を「包摂関係」と捉えていそうな記述です。


啓林館の算数用語集では以下のようです。
図形の包摂関係|算数用語集
https://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/sansu/WebHelp/04/page4_20.html
このような図形に関する相互の関係を図形の包摂関係といいます。

「相互の関係」を「包摂関係」と扱っているようです。

片桐重男氏は、少し違う立場のようです。
正方形は長方形である?~包摂関係に着目して - わさっき
http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20140827/1409086771
算数教育学概論 片桐重男 東洋館出版社(2012/10/29) 孫引き
現在は,算数の段階では,「ある図形に,さらに1つ条件を加えるという他の図形になる」という相互関係にとどめ,包摂関係は中学校で行うことになっている。

とあり、啓林館の内容とは別物になっています。
ちなみに、算数教育学概論では酷い記述が多々あるようです。
この一つの概念が,他の概念に含まれるという包摂関係をとらえさせることは,中学で論証をするまでには必ずしなくてはならない重要なことであるが,図形間の関係をこのようにとらえることは,改めて見直さない限りできないことである。

これもその一部で、【改めて見直さない限りできないことである。】と、改めて見直す前では、正方形が長方形の一種と認識してはいけない事になっているようです。

  • [94]
  • 日本数学教育学会

  • 投稿者:TaKu
  • 投稿日:2018年 3月 6日(火)20時30分35秒
  • 返信
 
正方形は長方形である?~包摂関係に着目して - わさっき
http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20140827/1409086771

算数教育指導用語辞典 日本数学教育学会出版部 2009年02月01日 孫引き
各図形の定義や性質に基づいて,特殊な図形がより一般的な図形に包括されるという関係を,図形の包摂関係という。
平成10年改訂学習指導要領では,正方形と長方形とは別の形として指導するように決められ,小学校では図形の包摂関係については取り扱われないことになった。
>(『算数教育指導用語辞典』p.45)



平成10年改訂 小学校学習指導要領解説 算数編 孫引き
b.正方形,長方形,直角三角形と構成要素(イ)
>ここでは,四角形の中で最も基本的で,児童にとっても身近な,正方形と長方形について取り上げる。第2学年では,「四角形は4本の直線で囲まれた形」として学習している。第3学年では,さらに,直角と辺の長さについて着目することを通して,正方形と長方形について理解できるようにする。
>(略)
>正方形には大きさは様々なものがあるが,形はすべて同じである。一方,長方形は縦と横の長さの組合わせで様々な形ができるが,どれもみな四つの角が直角である四角形である。いくつかの四角形を直角や辺の長さに着目して分類する。(略)
>(『小学校学習指導要領解説 算数編』p.100)


平成10年改訂 小学校学習指導要領 算数
http://www.nier.go.jp/guideline/h10e/chap2-3.htm

学習指導要領や解説をいくら読んでも、【正方形と長方形とは別の形として指導するように決められ,小学校では図形の包摂関係については取り扱われないことになった。】とは読み取れません。
日本数学教育学会が暴走していると思われても当然の内容です。
もしかしたら、日本数学教育学会が学習指導要領解説の執筆に影響力を持っていて、こんな意図があったのだと記述した可能性も考えられます。


日本数学教育学会について、ちょっと調べてみました。

ごあいさつ | 学会案内 | 公益社団法人 日本数学教育学会
http://www.sme.or.jp/about/welcome/
藤井斉亮氏が会長を勤めています。

教育課程部会 算数・数学ワーキンググループ 委員名簿:文部科学省
http://www.mext.go.jp/b_menu/shingi/chukyo/chukyo3/meibo/1370594.htm
藤井斉亮氏は、平成27-28年の中央教育審議会の委員にもなっている人物です。

藤井 斉亮 - 研究者 - researchmap
https://researchmap.jp/read0010259/
東京学芸大学 教育学部 数学講座 教授
1983年 筑波大学大学院博士課程 教育学研究科学校教育学専攻 数学教育学

筑波大学数学教育研究室
http://www.human.tsukuba.ac.jp/~mathedu/03.htm
ここにも名前が載っています。
筑波大学関係者を知りたければ、このページがチェックしやすいかも。

役員一覧 - 新算研
https://www.shinsanken.org/新算数教育研究会/組織図/
https://www.shinsanken.org/%E6%96%B0%E7%AE%97%E6%95%B0%E6%95%99%E8%82%B2%E7%A0%94%E7%A9%B6%E4%BC%9A/%E7%B5%84%E7%B9%94%E5%9B%B3/
ここでは、副会長に就任しているようです。
算数教育界wに影響力がありそうな名前も沢山ありますね。

平成27年度算数教科書の著者らをExcelにまとめてみた - わさっき
http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20140623/1403471968
東京書籍の著者としても、名前を連ねています。

こういう人物が、算数教育界wの多方面に繋がりを持ち、影響力を発揮しているのかもしれません。

  • [93]
  • 「数学教育の現代化の反動」説

  • 投稿者:TaKu
  • 投稿日:2018年 3月 5日(月)20時05分13秒
  • 返信
 
どの文献か覚えていませんが、当時の教材を引用してるのを見て、これでは小学生が集合を理解出来ないのは当然と思った記憶があります。
当時の教師も、あのような教材で教えろと言われても、戸惑ったのではないかと推察しています。
(集合を理解せずに指導していたのが、当時の教師の中に多かった可能性も高そうですが)

結局、集合の概念を生徒に分かり易く教える教材の作成に至らず、教師が拒否反応を起こしたのが「数学教育の現代化の反動」説の正体だと勘繰っています。

ちなみに、図形の包含関係に関して、
 正方形が長方形の一種
 平行四辺形が台形の一種
 正三角形が二等辺三角形の一種
を受け入れられない(なかなか受け入れなかった)教師が一定数いて、強固に反対している可能性も高いと思っています。

算数教育学wのせいで、集合の包含関係を受け入れられなくなった生徒も多そうですね。

  • [92]
  • 新学習指導要領の気になる点

  • 投稿者:TaKu
  • 投稿日:2018年 3月 2日(金)21時25分57秒
  • 返信
 
小学校学習指導要領(平成29年3月)
P68
〔第5学年〕
(ア) 図形を構成する要素に着目し,図形の性質を見いだすとともに,その性質を基に既習の図形を捉え直すこと。

という、現行の学習指導要領に無い内容が記述されています。


小学校学習指導要領解説 算数編(平成29年6月)
P201
2 第4学年の内容
図形の性質を基に既習の図形を捉え直すこと
>平行が何組あるかという視点から既習の四角形について振り返り,統合的にみることが肝要である。正方形,長方形は,二組の向かい合う辺が平行であることから,平行四辺形と同じ性質をもっている図形として捉え直すことができる。また,辺の長さも加味して考察すると,正方形は,二組の平行な辺の長さが全て等しいことから,ひし形と同じ性質をもっている図形として捉え直すことができる。


正方形、長方形が平行四辺形の特別な形であるとは明記されていないのが気になります。
正方形が、長方形と同じ性質をもっているという記述が無いのは作意があるのかもしれません。
余談ですが、学習指導要領と解説で、学年が一致していないように思えるのですが・・・


中学校学習指導要領解説 数学編(平成29年7月)
P116
正方形,ひし形,長方形が平行四辺形の特別な形であること([内容の取扱い](1))

中学校学習指導要領や解説では、【正方形,ひし形,長方形が平行四辺形の特別な形であること】と明記されています。

小学校算数科では,正方形,ひし形,長方形,平行四辺形について考察し,それぞれの性質を見いだすとともに,その性質を基に既習の図形を捉え直すことを学んでいる。

小学校算数科では、【正方形,ひし形,長方形が平行四辺形の特別な形であること】と認識させる必要は無いとも受け取れる記述です。

図を見れば、「正方形が長方形の特別な形であること」は一目瞭然ですが、文章で書かれていないのは作意がある可能性が・・・

  • [91]
  • わさっき氏からの情報

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2018年 3月 2日(金)14時28分56秒
  • 返信
 
http://d.hatena.ne.jp/takehikom/touch/20141127/1417036309

>2015年4月実施の全国学力テスト算数Bに「正方形は長方形」を踏まえた出題がなされた


東京都算数教育研究会は正方形は長方形ではないとしている






日本数学教育学会が出している
『算数教育指導用語辞典』には


>図形の名称
>各図形の名称については,次のように決められている。

すなわち,一般の図形の集合から,条件が付加されて特殊な図形の集合が作られたとき,その特殊な図形の集合に名づけられた名称が,その図形の名称となるということである。例えば,長方形も正方形も平行四辺形の条件はもつが,平行四辺形とよばず,付加された条件でできた集合の名称を用いるのである。




>第2学年で,長方形や正方形を学習する時点では,それらを区別すること,すなわち正方形を長方形の仲間に入れないという指導・採点の方針に,賛同します.


と相変わらず阿呆なこと言っているが、資料はありがたい。


  • [90]
  • 小学生用国語辞典

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2018年 3月 2日(金)14時24分42秒
  • 返信
 
くもんの辞書では正方形は長方形ではないとしているらしい。他にもあるようだ。

http://wawiwuwewomemo.free-time.jp.net/?eid=417
>他の小学生向けの辞書では、この辞書と同様に縦横の長さの異なる長方形のみを長方形としているものと、明確に正方形も長方形であるとは記載されていないが、正方形も長方形の1種であることを内在している定義になっているものと両方あった。

  • [89]
  • Re: 長方形のきまりを守っているか

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2017年 8月21日(月)21時51分49秒
  • 返信
 
>>88

「決まりを守っているか?」って、変な言い方だね。

  • [88]
  • 長方形のきまりを守っているか

  • 投稿者:TaKu
  • 投稿日:2017年 8月12日(土)14時42分55秒
  • 返信
 
算数を学び続ける児童を支える授業に関する研究 : 定義から図形を捉える活動を通して
鳴門教育大学授業実践研究 : 学部・大学院の授業改善をめざして
三木 崇正,高井 翼,高田 晶平,長尾 俊輝,松浦 愛実,湯浅 佳優,秋田 美代,佐伯 昭彦,久次米 昌敏 公開日:2017-07-19
http://www.naruto-u.ac.jp/repository/metadata/3948
http://www.naruto-u.ac.jp/repository/file/3948/20170719143100/jj16009.pdf
P67-68
第4学年の30名
「長方形のきまりを守っているか」という発問に対する挙手人数
図形 ①正方形 6人(20%)

自然と正方形は長方形でもあると認識している生徒が20%いるようです。
この授業後に調査すれば、ひしがたの反応から推察すると、80%以上は正方形は長方形でもあると認識しているのではないでしょうか。

  • [87]
  • 学校図書教科書より

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2017年 8月12日(土)10時52分7秒
  • 返信
 
学校図書算数教科書「みんなと学ぶ 小学校算数 4年上」(平成22年3月検定済み)より

  • [86]
  • 野暮は言うまい

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2017年 4月20日(木)12時16分15秒
  • 返信
 
http://www.asahi.com/articles/DA3S12900330.html
>長方形が主流の写真プリントに、「スクエア(正方形)」の波が来ている。

「正方形ではない長方形が主流の写真プリント」が正しい、などという野暮は言うまい。

この文脈で「長方形」は、「正方形ではない長方形」の意味であることぐらい私も分かる。

言葉の意味は文脈によって違ってくる。

  • [85]
  • 長方形を選ぶ問題に対して、正方形を含めて解答して不正解

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年12月 3日(土)13時24分59秒
  • 返信
 
「身勝手な主張」へのコメントから

http://blog.goo.ne.jp/mh0920-yh/e/9a61a4f6bc24e4b6d13a121514846158

2016-12-02 20:44:40
子供が、長方形を選ぶ問題に対して、正方形を含めて解答して不正解にされました。

しかも、そのプリントに長方形の定義があり、「全て直角」だけでした。

担任に問い合わせると、「正方形が長方形の仲間という学習は四年生の内容で、別物として学習いる」と返答されました。

それに対して、「正方形は長方形の仲間ではない」と学習させているのか?そうでなければ、正方形を含めて解答しても正解ではないか?と問い合わせ中です。

この正方形と長方形の問題は、本来数学で養うべき子供の考える力を止めてしまう、最悪な指導の方針だと思って、色々調べたところ、このブログにたどりつきました。

是非、教科書を読むだけの教員をやめて、先生方にもこのブログをみて疑問を持っていただきたいです。


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