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微分の読み方 ｄｙ／ｄｘを「ディーワイディーエックス」と読むことについて
- 投稿者：積分定数
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式などをどう読むのかは、数学そのものとは余り関係ない、非本質的なことである。
7Ｃ3 これを、私は「Ｃの７，３」と教わったし、今もそういっているが、最近高校では「７，Ｃ、２」と読むようである。
どちらでも構わない。
ｄｙ／ｄｘ を私は、「ディーエックス分のディーワイ」と教わったし、そう読むが、最近、高校では、「ディーワイディーエックス」と読む教師が多いようだ。
その理由が「分数ではないから」というのである。
これは、「所詮読み方だから、非本質的などうでもいいこと」と済ましてはならない、重大な問題が潜んでいるように思える。
その件について語るスレです。
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家庭教師のトライの動画
https://www.youtube.com/watch?v=dMOhPJ-tkvw&feature=youtu.be&t=1m
冒頭から、dy/dxをdx分のdyと読まないように、と言いつつ、合成関数の微分で補正がドータラで、形式的に計算する、と説明。なぜそのような計算が可能かは説明されず、
形式的にあたかも分数のように
で押し通す。分母・分子・約分、という言葉を連発。
dy/dxの読み方を度外視しても駄目な説明。
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https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12176539627
＞また「dy/dx」のことをなんと読んでいますか？でぃーえっくすぶんのでぃーわいと人前で読んだら私は馬鹿ですって紹介してるようなもんです
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>>82
> dy/dx これが分数ならdy over dx
> ですが、実際の読み方はdy dxです。
>
Wikipediaによると、どちらの読みもするようですよ
https://en.wikipedia.org/wiki/Derivative
(The above expression is read as "the derivative of y with respect to x",
| "d y by d x", or "d y over d x".
| The oral form "d y d x" is often used conversationally,
| although it may lead to confusion.)
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http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/calculus/calculus9.pdf
微分積分１質問の回答 担当教官 石川 剛郎 (いしかわ ごうお)
No. ５ (２０００年６月１２日) の分
dy
dx は分数と思わず，あくまで「形式的な記号」と思った方がよいと思います．それを押さえておか
ないと，一生微分がわからなくなる (あるいは，わかったつもりで一生を終えることになる) と思います．
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https://ja.wikibooks.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6%E5%9F%BA%E7%A4%8E/%E5%BE%AE%E5%88%86%EF%BC%91
＞これからもまるで分数を扱う時のような計算規則を目にすることになると思いますが、分数と誤解してしまうと、そのうち、dxや dyが実際には何なのかと考えはじめたときに躓く原因にもなります。混乱した場合は定義に戻ってみてください。
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http://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture/basic3/data/dx-1.pdf
2015 年 12 月 07 日
「無限小」による微分の公式の証明
新潟工科大学 情報電子工学科 竹野茂治
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https://twitter.com/genkuroki/status/851670346772103168
高木貞治『解析概論』という超有名な微積分の教科書で勉強した人は「dy/dxは分数ではない」とは言わないはず。
「dy/dxは商として意味を有する」と自信を持ってはっきり言えない人は単に数学を勉強不足なのだと思います。
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http://www.compassare.org/memo.html
＞xx の関数 yy の導関数 dydxdydx は dy, dx と読む. これは分数ではないので, dx 分の dy とは読まず, dy, dx の順に書くのが好ましい.
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『掛け算順序問題』って高校でもあるよね。この問題について思うこと。
http://www.procrasist.com/entry/kakezan-junjo
∫はΣの親戚でsum由来。足し上げるのはf(x)dxでもdxf(x)でも理屈の上では構わない。
実例 ビオサバールの法則
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%93%E3%82%AA%E3%83%BB%E3%82%B5%E3%83%90%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87
しかし、掛け算の順序以前に「dy/dxは分数ではない」なら「f(x)dxはf(x)とdxの積ではない」とるはず。
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http://math.artet.net/?eid=1421893
＞しかし，dy／dxには取り扱い上いくらかの注意がいる。それはdy／dxと商の形に書いても，それはけっしてdy÷dxではないということである。つまり，分母と分子は離して考えても，dyもdxもそれだけでは意味がないという点である。ちょうど人間の頭と胴体のように切り離してはいけないのとおなじである。ところが，あとでわかることであるが，ある場合には“商であるかのように”考えて計算できるから便利なのである。
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dy/dxは分数なのか否か？dx分のdyと読んでいいのかどうか？微積分をどう教えるべきか？どう認識すべきか？
http://togetter.com/li/1059561
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https://twitter.com/ljgqwmns839/status/809383447886082051
「数学記号の誕生」(Joseph Mazur) 訳 松浦 俊輔
著者は米国人。
英語では分数を分子分母で読むわけで、日本での「分数じゃないから分子分母で読むべき」という理屈なら、英語では「dxdy」と読んでも良さそうだけど、そうなっていないようだ。
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http://blog.goo.ne.jp/mh0920-yh
なぜか高校の教員や数学者の一部に､微分法の記号dy/dxの書き方にこだわる人がいる。私の知っている人は昔①dx②－③dyと書いて、高校
教員にひどくしかられたという人がいた。記号だから筆順・読み方は
①dy ②－ ③dx
と主張しているわけである。確かに英語ではその順に表している。しかし、dx,dyをベクトル空間の基底として考えたりすることの多い私は、dy/dx
を分数として扱っているし、筆順も読み方も全くこだわっていない。
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http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12107546742
＞微分について
高校までの微分では例えば
dx/dt で、「xをtで微分する」という意味の、一つの塊であるような認識だったのですが
大学の物理で、両辺にdtをかけるといったような操作が出てきました。
私には、この「dtをかける」という操作の意味が分かりません。
こんなことができるのでしょうか？
＞微分は分数のように扱える場合もありますが、分数ではないのは
高階の微分を考えてみればわかります。
位置を時間で2階微分すると加速度になりますが、例えば
運動方程式から
d^2 x/ dt^2 = - x
が与えられた場合に
d^2 x = - x dt^2
とはなりません。
⊿を関数ｆ（ｘ）に対して、ｆ（ｘ＋ｈ）－ｆ（ｘ）を対応させる、関数から関数への関数とする。ｈはある定数としておく。
⊿ｘ＝（ｘ＋ｈ）－ｘ＝ｈ
{⊿ｆ（ｘ）}／ｈ これに⊿を作用させてｈで割ると
⊿（⊿ｆ（ｘ）／ｈ）／ｈ＝⊿（（ｆ（ｘ＋ｈ）－ｆ（ｘ））／ｈ）／ｈ
＝（ｆ（ｘ＋２ｈ）－２ｆ（ｘ＋ｈ）＋ｆ（ｘ））／ｈ^2
ｈ＝⊿ｘ と置き換えたら、⊿^2ｆ（ｘ）／⊿ｘ^2
⊿ｘ→０の極限が ｄ^2ｆ／ｄｘ^2
ここで分母と分子の2乗の意味と演算の優先度に違いがある。
分子は、⊿^2ｆは⊿（⊿ｆ）の意味 演算子の作用をあたかも掛け算のように表記していて、２回作用させることを、２乗のように表記している。
分母は、２回かけるという通常の意味での２乗である。また、（⊿ｘ）^2のことで、⊿（ｘ^2）のことではない。
ｄについても同様。
ｄｘ^2／ｄｘ＝２ｘ この分子のｄｘ^2 と
ｄ^2ｘ^5／ｄｘ^2＝２０ｘ^3 この分母のｄｘ^2
両者はまったく意味が異なる。
要するに、分母と分子でｄと指数の優先度というか結合力が違ってきているという実にややこしい表記である。
本来なら、どちらかに決めておいて、あるいはどちらにも決めないで、括弧で意味を明確にすべきだが、頻繁に使う記号だから、理屈で考えるとおかしな表記だが、利便性から現状のようになっているのだろう。
＞d^2 x/ dt^2 = - x
が与えられた場合に
d^2 x = - x dt^2
分母と分子での優先度が異なる表記が混在していることを見逃しているからこういうことになる。
「ｄｙ／ｄｘが分数なら、約分してｙ／ｘとなってしまう」というのと同様の理屈。
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天むす名古屋さん
ごめんなさい、僕は今回は情報提供だけで、その評価はおまかせいたします。引用した部分より何ページも前まで読み込んでくれて、感謝です・・
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きちんとさがせば、ほかの著者にも似た記述はたくさんあるかもしれません。また見つかりましたら、報告します。
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こちらでは初めまして。無免許数学徒のキンシャチです。
学習院大学理学部物理学教室の田崎晴明さんのネット教科書、「物理を学び楽しむために」から、引用します。
http://www.gakushuin.ac.jp/~881791/mathbook/
>もちろん、dy/dx は「dy 割る dx」ではないのだが
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ｓ＝ｆ（ｘ）の導関数を、
ｆ'（ｘ）
ｓ’
ｄｓ／ｄｘ ※横棒
（ｄ／ｄｘ）ｆ ※括弧なし・横棒
と表記すると書いてあるだけですね。
ダッシュそれ自体に深い意味がなくて単に導関数だよ、という印
というのと、同程度の扱いとして、「これは分数ではなくて単なる記号」という説明の仕方も、まあありだとは思う。
しかし、微分を深く理解すればするほど、ｄｙ／ｄｘは分数に思えるわけで、
「分数ではありません。これをｄｘ分のｄｙなどと言う人は微分を理解していません」などという人こそ、あまり微分を理解していないように思える。
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>>50
> http://batmitzvah.blog136.fc2.com/blog-entry-4965.html
>
>
> なにがどう「確認」になっているのかさっぱり分からない
>
なんやそれ？そんなもんdx/dy=1/(dy/dx)やがな。
そやなかったら逆関数の微分ができないがな。
たとえばy=ln(x) を微分するならx=exp(y)であるからdx/dy=exp(y)よって
dy/dx=1/(dx/dy)=1/exp(y)=1/x
って変形するのとちゃいますのん
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http://batmitzvah.blog136.fc2.com/blog-entry-4965.html
なにがどう「確認」になっているのかさっぱり分からない
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こういう人のいうことを聞いてたら、多分私は積分による弧長の計算について考えることはできなかったと思います。（放物線に関して自力で積分の形まで持ち込んだが、一般形は人に教えてもらった）。
> 知恵袋の「知」の字を「矢口」に分解してさらに「矢」と「口」それぞれに意味がある (>> 48 に引用)
というのは錯覚でもなんでもないです。中国語を対象とする歴史言語学において、「雉」や「智」のような他の漢字の成り立ちについて多くを教えてくれます。
> そりゃ偏とかつくりだとかそういうレベルで意味があるかもしれませんけど、まだそこまで考えて微分を
> 定義していないので、そうやって考えることは意味がないんです。
いろんな数を素因数分解して遊んだり、虫や植物、機械を観察、分解したりすると数や自然についていろいろなことを学べることに反対する人はいないと思います。要するに遊んで学べることは多いということです。遊びながら学ぶことはカリキュラムによって記述したり、評価規準に当てはめて成績につけたりはできないのできらわれるのかなあ？
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http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13108658408
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約分しているように見えるのは言ってみればたまたまです。
記号がさも分数を連想させますが、そもそもそいつは分数じゃないんです。
っていうかdu単体では（少なくとも高校の範囲では）意味を持たないんです。
つまりduは単体では意味をもたないという意味で、モノですらないんです。
dy/du一つで記号、それを分解することは許されません。それを許して計算しているように見えるのは、何度も言いますがたまたま、結果的に、ライプニッツマジックでそう見えてるだけです。
もう少しわかりやすく例えれば、知恵袋の「知」の字を「矢口」に分解してさらに「矢」と「口」それぞれに意味があるかのように錯覚しているような感じ。
そりゃ偏とかつくりだとかそういうレベルで意味があるかもしれませんけど、まだそこまで考えて微分を定義していないので、そうやって考えることは意味がないんです。たまたま分数の計算規則と一致しているのは、ごろ合わせみたいなものだと割り切ってください。
昔、私は「黄色いつみ木は横につむ」と言って横という字を覚えたのですが、それと同じようなごろ合わせです。それぞれに意味はあるのかもしれないけど、そこまで考えていないってところ。
何度も言いますが、糸色（いとしき）望（のぞむ）さんを絶望さんってよんでるようなもんなんです。duとかdxとかdyは意味を持ってないんです。
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http://homepage2.nifty.com/eman/math/calculus01.html
＞「微分は無限小の量どうしの割り算である」と言ってもいい。 しかし高校で「微分は割り算ではない」と強調され過ぎるせいか、この表現に当惑してしまう学生は多いようだ。
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http://www14.atwiki.jp/yokkun/pages/155.html
＞dy/dxを何と読む？ 「dy割るdx」はいうに及ばず，「dx分のdy」などもってのほか…などという人がいる。でも微分は割り算だよね？ とすれば，積分は掛け算に違いない！
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>>43
> 積分定数さんは、もっと読み手のことを考えて書かれたほうがいいかと思います。
> 議論を通した相互理解は、キャッチボールがあって初めて成り立つ思います。
> （相互理解が目的でないのなら、言うことはありません）
相互理解は目的ではありません。目的は、算数・数学教育をより良くしていくことです。
相互理解はそのための手段であることはあり得ますが。
>
> あなたが話したいことと、聞き手に理解してもらいたいことを区別しましょう。
> 自分の連投を見て、あなたはどう思いますか？
あなたはどう思うのですか？
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普通の数において、いろいろな演算が定義されている。数字を文字に置き換えても同様。その文字に数字を代入することもできる。その文字にストレートに数字を入れると０／０や∞／∞、∞－∞、になってしまうが、極限を取ると収束する場合がある。
極限を取るという操作は、直感的ではあるが、εδで正当化される。>>37で言及した無限小解析では、直感的理解である無限小を正当化することができるらしい。
いずれにしても、普通の数の演算に対して、極限値を取るという操作が加わることになるが、そのことで普通の数の演算と異なる演算記号を使ったり、異なる用語を使うという流儀は、普通はない。
重積分のｄｘｄｙは、ｄｘとｄｙをかけたものに他ならない。
なぜ、ｄｙ／ｄｘ の場合だけ「ｄｘ分のｄｙとは言わない。分数ではないのだから」と言う必要があるのだろうか？
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http://uni.2ch.net/math/
＞dx分のdyって言うとなぜ笑うんでしょうか？
笑うところじゃないと思うけど。
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＞ただね、私は、Ｒの真の拡大順序体は本質的に１つしか存在ないのか？とか、そういうところに引っかかっちゃってなかなか前に進めない。
ちゃんと証明していないが、以下のような事が言えると思う。
Ａ 順序体Ｋに関して、０より大きいＫの任意の元よりも小さくて、０よりも大きい元ｘを付加して、順序拡大体を作ることができる。
Ｂ この拡大は超越的（代数拡大体ではない）
Ｃ Ａのようにして作った２つの拡大体は同型である。
とにかく新しい元をαとおいておく。
∀ｘ∈Ｋ；０＜ｘ ０＜α＜ｘ として順序を定める。
Ｋを係数とするαに関する有理式体を考えることができ、これに適当に順序を定めることができる。
二つの整式に関しての大小関係は、両者で係数が異なる最小次数に着目して、その大小で比較する。
有理式の場合は、有理数の大小関係を整数の大小関係に帰着させるのと同様にして、整式の大小関係に帰着する。
こうやって、Ｋにαを付加した体Ｋ（α）も順序体になることが示される。
仮に、βを同様に付加してＫ（β）を作っても、Ｋ（α）と同型になる。
拡大体Ｋの真拡大順序体Ｌに元αが、∀ｘ∈Ｋ；０＜ｘ ０＜α＜ｘ を満たすとすると、αはＫの代数的元ではあり得ない。
Ｋを係数とする既約多項式をｆ（ｘ）とする。
ｆ（α）＝０ とすると、αは∀ｘ∈Ｋ；０＜ｘ ０＜α＜ｘ を満たさないことを示せばいい。
すごく大雑把だがこんな感じでいいと思う。
だから、順序体Ｒよりも大きな順序体、更に大きな順序体を作ることができる。
間違っていたらごめんなさい。
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ｄｙ／ｄｘは分数ではないとかいう意見を見て、昔古本屋で買ってほこりをかぶったままだった本を引っぱり出した。
無限小解析の基礎―微積分の新手法 キースラー著 齋藤正彦訳 東京図書
定価１５００円だけど、万単位出した記憶がある。amazonでみたら１５０００円だった。
要するに、無限小を正当化できるというようなことだと思うけど、ちゃんと読んでいない。
最初の方は読んだ。
イメージとしては、実数体Ｒは完備な順序体だが、その真の拡大順序体Ｒ^*の元が無限小だったりというもの。
ただね、私は、Ｒの真の拡大順序体は本質的に１つしか存在ないのか？とか、そういうところに引っかかっちゃってなかなか前に進めない。
いずれにしても、これをちゃんと勉強したら、「微分は分数ではない。無限小などと言うものは架空の存在」などという意見を論破できると思われる。
とはいえ、夏は塾が忙しい時期なのでのんびりやっていこう。
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「微かに分かって、分かった積もりの微積分」という言葉は森毅の本で知ったが、私は高校時代からそれなりに理解していた。
ただし、微積の計算そのものは面倒で嫌いでよくミスをした。私のＨＮを見て、「微積分の計算が得意なんだろう」と勘違いして「これをやってほしい」と言ってくる人がいるが、とりわけ得意というわけではない。世間一般の人よりはできるけど。
で、微分、積分、という言葉だけど、わずかな量でわり算する、わずかな量を書けて足していく、ということでイメージとそれほど違わない。「積分」の「分」は何なのか？とか突っ込むとややこしいから、そこはスルー。
「微分は分数ではない」と言う人は、「微分」という言葉をどう考えるのだろうか？
もちろん、数学用語それ自体は数学の本質とは関係ないし、歴史的経過から付けられた名前が実状に合わなくなっている例もある。三角関数とか、三角に拘る必要はない。
でも、微分は「微少量の分数」でいいでしょ？
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