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sage

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  • 二階微分 知恵袋

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 4月15日(金)12時47分24秒
  • 編集済
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http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12107546742
>微分について
高校までの微分では例えば
dx/dt で、「xをtで微分する」という意味の、一つの塊であるような認識だったのですが
大学の物理で、両辺にdtをかけるといったような操作が出てきました。
私には、この「dtをかける」という操作の意味が分かりません。
こんなことができるのでしょうか?

>微分は分数のように扱える場合もありますが、分数ではないのは
高階の微分を考えてみればわかります。
位置を時間で2階微分すると加速度になりますが、例えば
運動方程式から
d^2 x/ dt^2 = - x
が与えられた場合に
d^2 x = - x dt^2
とはなりません。


⊿を関数f(x)に対して、f(x+h)-f(x)を対応させる、関数から関数への関数とする。hはある定数としておく。

⊿x=(x+h)-x=h

{⊿f(x)}/h  これに⊿を作用させてhで割ると

⊿(⊿f(x)/h)/h=⊿((f(x+h)-f(x))/h)/h
=(f(x+2h)-2f(x+h)+f(x))/h^2




h=⊿x と置き換えたら、⊿^2f(x)/⊿x^2

⊿x→0の極限が d^2f/dx^2

ここで分母と分子の2乗の意味と演算の優先度に違いがある。

分子は、⊿^2fは⊿(⊿f)の意味 演算子の作用をあたかも掛け算のように表記していて、2回作用させることを、2乗のように表記している。

分母は、2回かけるという通常の意味での2乗である。また、(⊿x)^2のことで、⊿(x^2)のことではない。

dについても同様。


dx^2/dx=2x  この分子のdx^2 と

d^2x^5/dx^2=20x^3   この分母のdx^2

両者はまったく意味が異なる。

要するに、分母と分子でdと指数の優先度というか結合力が違ってきているという実にややこしい表記である。

本来なら、どちらかに決めておいて、あるいはどちらにも決めないで、括弧で意味を明確にすべきだが、頻繁に使う記号だから、理屈で考えるとおかしな表記だが、利便性から現状のようになっているのだろう。


>d^2 x/ dt^2 = - x
が与えられた場合に
d^2 x = - x dt^2


分母と分子での優先度が異なる表記が混在していることを見逃しているからこういうことになる。

「dy/dxが分数なら、約分してy/xとなってしまう」というのと同様の理屈。