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sage
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  • 二階微分　知恵袋

  • 投稿者：積分定数
  • 投稿日：2016年 4月15日(金)12時47分24秒
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http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12107546742
＞微分について
高校までの微分では例えば
dx/dt で、「xをtで微分する」という意味の、一つの塊であるような認識だったのですが
大学の物理で、両辺にdtをかけるといったような操作が出てきました。
私には、この「dtをかける」という操作の意味が分かりません。
こんなことができるのでしょうか？

＞微分は分数のように扱える場合もありますが、分数ではないのは
高階の微分を考えてみればわかります。
位置を時間で2階微分すると加速度になりますが、例えば
運動方程式から
d^2 x/ dt^2 = - x
が与えられた場合に
d^2 x = - x dt^2
とはなりません。


⊿を関数ｆ（ｘ）に対して、ｆ（ｘ＋ｈ）－ｆ（ｘ）を対応させる、関数から関数への関数とする。ｈはある定数としておく。

⊿ｘ＝（ｘ＋ｈ）－ｘ＝ｈ

{⊿ｆ（ｘ）}／ｈ　　これに⊿を作用させてｈで割ると

⊿（⊿ｆ（ｘ）／ｈ）／ｈ＝⊿（（ｆ（ｘ＋ｈ）－ｆ（ｘ））／ｈ）／ｈ
＝（ｆ（ｘ＋２ｈ）－２ｆ（ｘ＋ｈ）＋ｆ（ｘ））／ｈ^2




ｈ＝⊿ｘ　と置き換えたら、⊿^2ｆ（ｘ）／⊿ｘ^2

⊿ｘ→０の極限が　ｄ^2ｆ／ｄｘ^2

ここで分母と分子の2乗の意味と演算の優先度に違いがある。

分子は、⊿^2ｆは⊿（⊿ｆ）の意味　演算子の作用をあたかも掛け算のように表記していて、２回作用させることを、２乗のように表記している。

分母は、２回かけるという通常の意味での２乗である。また、（⊿ｘ）^2のことで、⊿（ｘ^2）のことではない。

ｄについても同様。


ｄｘ^2／ｄｘ＝２ｘ　　この分子のｄｘ^2　と

ｄ^2ｘ^5／ｄｘ^2＝２０ｘ^3　　　この分母のｄｘ^2

両者はまったく意味が異なる。

要するに、分母と分子でｄと指数の優先度というか結合力が違ってきているという実にややこしい表記である。

本来なら、どちらかに決めておいて、あるいはどちらにも決めないで、括弧で意味を明確にすべきだが、頻繁に使う記号だから、理屈で考えるとおかしな表記だが、利便性から現状のようになっているのだろう。


＞d^2 x/ dt^2 = - x
が与えられた場合に
d^2 x = - x dt^2


分母と分子での優先度が異なる表記が混在していることを見逃しているからこういうことになる。

「ｄｙ／ｄｘが分数なら、約分してｙ／ｘとなってしまう」というのと同様の理屈。