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sage

  • [26]
  • 約分は置換積分によって正当化される?

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2013年 7月18日(木)13時56分34秒
  • 返信
 
http://qanda.rakuten.ne.jp/qa2577061.html
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きちんと置換積分に言及してる解説は
経験上そんなに多くはありません.
その解説を書いた人はまめというか,
きっちりした方なんでしょうね.
普通は,No.1さんのように
本当は初歩的な段階では「約分」ではないのにも関わらず
形式的に約分をしてしまう解説がほとんどです.
そもそも,dy/dx は定義してても,dyとかdxというものは
定義してないですよね?定義してないものに対して
計算を行うというのは変なんですよ

ただし,No.1さんのような「約分」というのは
実際は,上述のように「置換積分」によって正当化されるので
積分記号のもとではやってしまってかまわないのです.
そして,いちいち積分記号とか書いていると
まどろっこしいので,あとで積分で使うことを前提として
なんだかわかんないけども,dxやdyというものを使って,
さらに積分記号を省いてしまって,「普通に約分」とかして
計算してしまって,それを使うというのが現実的な解法です.
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じゃあ置換積分はどうやって正当化できるの?
それは合成関数の微分から正当化できる。
じゃあその合成関数の微分はどうやって正当化できるの?

結局、dxなどの約分である。

無限小を扱っているのだから、そのような直感的理解は正しくない、というのであれば、高校数学でやる微積全部が正しくないことになる。

εδをやるまで微積分は扱えなくなってしまう。



直感的に正しい、約分という考えは駄目で、「よく分からないけど、置換積分という手続きがあってそれはお墨付きがあるからそれでやるのが正当」という考えがあるとしたら、

 数学教育としてむしろ有害。