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sage

  • [13]
  • 二階微分について

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2013年 7月17日(水)00時05分18秒
  • 返信
 
>分数流では、ディー・エックス2乗分のディー・2乗・ワイという読み方だとして、読み方通りの分数的なものと考えると、ちょっとマズいのかも。

そうでもないです。

Δを関数から関数への写像として定義する。hは非常に小さい正の実数としておく。

Δf(x)=f(x+h)-f(h)

例えばΔx^2=(x+h)^2-x^2、Δx=(x+h)-x=h

hが極端に小さい場合 Δf(x)/Δx が微分になると考えればいい。(直感的な話。εδがどうとかは置いておく)

h→0で、Δf(x)/Δx が df/dx となる。


次にΔをfに回作用させるとどうなるのか?

Δ(Δf(x)) これを行列などにならって、Δ^2f(x)と書くことにする。

Δ^2f(x)=Δ(f(x+h)-f(x))
={f(x+2h)-f(x+h)}-{f(x+h)-f(x)}
=f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)

同様にΔ^3、Δ^4 などとやっていくと、
(a-b)^nの展開式の係数が出てくる。

演算子Dを、Df(x)=Δf(x)/h と定義する。

D^2f(x)=D(Δf(x)/h)=Δ(Δf(x)/h)/h
=Δ^2f(x)/h^2

Δx=h だから、 これを Δ^2f(x)/(Δx)^2 と書き換える。

これが、d^2f/(dx)^2 ということ。

これを d^2f/dx^2 と書くのが普通だが、かなり雑な書き方。

まず、分母と分子で2乗の意味が違う。分子の方は「2回作用させる」、

分母はdxを2個掛けるという意味。これを、dx^2と書いてしまっていいのか?とも思うが、いちいち(dx)^2などとしていられない事情も分かる。

 dx^2が単独であると、x^2の微小変化 つまり、2xdxの意味に取ってしまいかねない。

 いずれにしても、2階微分も分数。
分母は(dx)^2 、分子はd^2f ととらえていい。

 D^2f(x)=Δ^2f(x)/h^2
={f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}/h^2

行儀のいい関数であれば、h→0で、f''(x)になる。

1回目の大学(理学部物理科)の1年の時にこのことに気づいたが、証明方法が分からなかった。直感をεδに変換する術を知らなかった。

 平均値の定理を使うとあっさり出てくると思う。