• [0]
  • 微分の読み方 dy/dxを「ディーワイディーエックス」と読むことについて

  • 投稿者:積分定数
 
 式などをどう読むのかは、数学そのものとは余り関係ない、非本質的なことである。

7C3 これを、私は「Cの7,3」と教わったし、今もそういっているが、最近高校では「7,C、2」と読むようである。

どちらでも構わない。


dy/dx を私は、「ディーエックス分のディーワイ」と教わったし、そう読むが、最近、高校では、「ディーワイディーエックス」と読む教師が多いようだ。

 その理由が「分数ではないから」というのである。

 これは、「所詮読み方だから、非本質的などうでもいいこと」と済ましてはならない、重大な問題が潜んでいるように思える。

 その件について語るスレです。

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sage

  • [15]
  • Re: 偏微分

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2013年 7月17日(水)00時27分4秒
  • 編集済
  • 返信
 
>>14
> (∂x/∂y)・(∂y/∂z)・(∂z/∂x) これを普通の分数のように約分して1とすると間違い。
>
>  正しくは、-1。
>
> 詳細は↓
> http://8254.teacup.com/kakezannojunjo/bbs/t18/59-62

リンク先には書いていなかった。
ここで解説する。

df=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy+(∂f/∂z)dz=0

dx、dy、dxはこの条件に拘束されて動く。

∂x/∂y は、xをzとyの関数とみなして、yだけを動かして、zは動かさない、ということ。

(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy+(∂f/∂z)dz=0

のdz=0を代入して整理すると

dy/dx=-(∂f/∂x)/(∂f/∂y)となる。

dy/dxが求めたい、∂y/∂x である。

∂y/∂x=-(∂f/∂x)/(∂f/∂y)


∂z/∂y ∂x/∂z も同様。でこれらを掛けると-1となる。


ポイント 偏微分は全微分に立ち返って考えるべし

http://


  • [14]
  • 偏微分

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2013年 7月17日(水)00時16分14秒
  • 返信
 
熱力学で、3つの量が絡み合って、2つを決定すると3つ目も決まるというような状況で、偏微分するというのがある。

f(x,y,z)=0 という状況で、xはyとzの関数、yはzとxの関数、zはxとyの関数、という具合。

(∂x/∂y)・(∂y/∂z)・(∂z/∂x) これを普通の分数のように約分して1とすると間違い。

 正しくは、-1。

詳細は↓
http://8254.teacup.com/kakezannojunjo/bbs/t18/59-62

(∂x/∂y)・(∂y/∂z)・(∂z/∂x) が通常の分数のように約分できない理由は、原理に立ち返れば分かる。

ようするに、(∂x/∂y)の∂y と (∂y/∂z)の∂yは、同じではないのが原因。

(∂x/∂y)などが分数であることには変わりない。

  • [13]
  • 二階微分について

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2013年 7月17日(水)00時05分18秒
  • 返信
 
>分数流では、ディー・エックス2乗分のディー・2乗・ワイという読み方だとして、読み方通りの分数的なものと考えると、ちょっとマズいのかも。

そうでもないです。

Δを関数から関数への写像として定義する。hは非常に小さい正の実数としておく。

Δf(x)=f(x+h)-f(h)

例えばΔx^2=(x+h)^2-x^2、Δx=(x+h)-x=h

hが極端に小さい場合 Δf(x)/Δx が微分になると考えればいい。(直感的な話。εδがどうとかは置いておく)

h→0で、Δf(x)/Δx が df/dx となる。


次にΔをfに回作用させるとどうなるのか?

Δ(Δf(x)) これを行列などにならって、Δ^2f(x)と書くことにする。

Δ^2f(x)=Δ(f(x+h)-f(x))
={f(x+2h)-f(x+h)}-{f(x+h)-f(x)}
=f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)

同様にΔ^3、Δ^4 などとやっていくと、
(a-b)^nの展開式の係数が出てくる。

演算子Dを、Df(x)=Δf(x)/h と定義する。

D^2f(x)=D(Δf(x)/h)=Δ(Δf(x)/h)/h
=Δ^2f(x)/h^2

Δx=h だから、 これを Δ^2f(x)/(Δx)^2 と書き換える。

これが、d^2f/(dx)^2 ということ。

これを d^2f/dx^2 と書くのが普通だが、かなり雑な書き方。

まず、分母と分子で2乗の意味が違う。分子の方は「2回作用させる」、

分母はdxを2個掛けるという意味。これを、dx^2と書いてしまっていいのか?とも思うが、いちいち(dx)^2などとしていられない事情も分かる。

 dx^2が単独であると、x^2の微小変化 つまり、2xdxの意味に取ってしまいかねない。

 いずれにしても、2階微分も分数。
分母は(dx)^2 、分子はd^2f ととらえていい。

 D^2f(x)=Δ^2f(x)/h^2
={f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}/h^2

行儀のいい関数であれば、h→0で、f''(x)になる。

1回目の大学(理学部物理科)の1年の時にこのことに気づいたが、証明方法が分からなかった。直感をεδに変換する術を知らなかった。

 平均値の定理を使うとあっさり出てくると思う。

  • [12]
  • d/dxを演算子とする考え方もあり

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2013年 7月16日(火)23時39分8秒
  • 編集済
  • 返信
 
 私自身は、dx分のdyと読むし、dydxだと、重積分でのdxdyを読むと、dx/dyの意味になりはしないか、とかはあるけど、基本的には所詮読み方だから、どうでもいいと言えばどうでもいいとは思います。

 気になるのは「dx分のdyは間違い。微分は分数ではない」とドヤ顔の主張です。

 で、確かに、d/dxを演算子と考えることもできる。

代数学では、微分を、多項式環から多項式環への写像として、極限操作を用いないで形式的に導入する。

線型微分方程式 f''-5f'+6f=0 は、D=d/dxとして、

(D^2-5D+6)f=0 (D-3)(D-2)=0

で、結局、e^3x と e^2x の線型和が一般解になる。

an+2-5an+1+6an=0 という数列の三項隣接漸化式と同様。

t^2-5t+6=0 の解がポイントとなり、この解が固有値となる。

重解の場合に一工夫必要なのも、微分方程式と漸化式で共通している。
当然、線形代数や行列とも密接に関係してくる。


 d/dxを演算子、もっといえば、無限次元ベクトル空間から無限次元ベクトル空間への線型写像 とみなすことで、こういう面白い見方ができる。

 しかし、 こういう見方もできるといことであって、
このことが「dy/dxが分数ではない」を意味するわけではない。


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