• [0]
  • 0は偶数でも奇数でもない?

  • 投稿者:積分定数
 
 私自身、小学校6年のときの算数の授業で「0は偶数でも奇数でもない」と教わった記憶があります。当時は「偶数じゃないの?」とは思いました。

 中学の数学の授業では「0は偶数」と教師が教えました。同級生の1人が「今度は偶数なんだ・・・」とつぶやき、私も「そうなだな。このほうが理屈にあるな」と思いました。

 私はずっと、6年のときの教師の単なる勘違いだと思っていましたが、「0は偶数でも奇数でもない」と教える人が複数いるようです。

 どうもそれには事情があるようです。

投稿者
題名
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sage

  • [79]
  • 山本良和氏は数学では普通は0が倍数であることを知らないのかも

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2017年 8月 8日(火)22時08分48秒
  • 返信
 
山本良和の算数授業 必ず身につけたい算数指導の基礎・基本55 資質・能力を育む授業を実現するための方法

http://takexikom.hatenadiary.jp/entry/2017/08/08/054332

 算数の学習場面では,「わかる」「できる」「知っている」という状態が混在しています。それは,「算数ができる子ども」「算数がわかっている子ども」「算数を知っている子ども」というふうに子どもに置き換えて表現してみると,それぞれ言葉が異なるように意味合いが違います。この中で,一番表面的で浅い理解を表したものは「算数を知っている子ども」です。
 例えば,低学年でも偶数や奇数という言葉を使う子どもがいます。多くの場合,このような子どもは偶数,奇数という言葉だけを知っている(知識)だけの状態です。だから,「1.2」という小数を見ても,「これは偶数だ」と言うのです。「偶数」という言葉に出会った子どもが自分なりにイメージしたことを結びつけただけの曖昧な状態なので,このような誤った反応が現れます。こういう傾向は,塾などに行って先取り知識を持っている子どもに多くみられます。特に質が悪いのは,その状態でその子ども自身は「自分はわかっている」と思い込んでいるという点です。このような曖昧な子どもの理解を正しい理解へと促すのが学校教育における算数授業の役割の一つだと言えます。
 「1.2」は小数です。偶数は整数を分類したものですから,当然「1.2」は偶数ではありません。小数第一位の「2」だけを見て偶数ととらえてしまっている子どもは,偶数を理解できていないということになります。一方,「1.2は小数だから偶数じゃないよ」と言える子どもは「算数がわかっている子ども」です。学校の算数授業では,このような「わかっている子ども」を育てています。
 余談ですが,{0,2,4,6,8,10…}という集合(A)と,{2,4,6,8,10…}という集合(B)の違いは「0」の有無です。偶数はどちらでしょうか。
 当然,集合(A)が偶数です。では集合(B)は何でしょうか。こちらは2の倍数です。5年生で倍数の学習をした子どもでも,偶数と2の倍数が同じだと思っている子どもはたくさんいます。このような正確な判断ができることが「算数がわかっている子ども」の姿であるということを改めて確認しておきましょう。



この文を読むと、山本良和氏は「0は倍数だが、指導の都合上算数においては便宜的に0は倍数ではないとしておく」とは思っていなくて、「そもそも0は倍数ではなくて、子どもはこのことをちゃんと知っておく必要がある」と思っているように見える。

  • [78]
  • 初等教育研究所 山﨑 憲

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2017年 1月27日(金)20時31分40秒
  • 返信
 
http://www.djn.co.jp/support/special/point/docs/2015/6/2/2.php
>ただし、倍数の学習をした後では「偶数は2の倍数」と言いたくなりますが、0は倍数に含まないため「2の倍数は偶数」と言えても「偶数は2の倍数」とは言えず、「偶数は2の倍数と0」としなくてはなりません。同様に、奇数は「2の倍数より1大きい」では「1」が含まれません。そこで奇数は「2の倍数より1小さい」と言わねばなりません。従って式の一般化は上学年にゆだねるべきで、あまりやり過ぎないのがよいだろうと思います。


くだらん

  • [77]
  • 中学校で、0を倍数に入れて誤答

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年10月11日(火)08時51分0秒
  • 返信
 
http://superkoushi.blog136.fc2.com/blog-entry-105.html
>ところが、今から3年前の新中1生でそのことをしっかり覚えていた生徒が、
「先生、学校のテストで倍数に0を書いたら×になった!」


  • [76]
  • 「2の倍数にあたる数を◯で囲みましょう」「0には◯つけないで」と指導

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年10月 1日(土)12時16分34秒
  • 返信
 
https://twitter.com/vecchio_ciao/status/782054667849043969
https://twitter.com/vecchio_ciao/status/782056146689372160

  • [75]
  • 2桁の数-その数の一の位と十の位を入れ替えた数

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 8月25日(木)09時18分16秒
  • 編集済
  • 返信
 
中学生の夏休みの宿題で

2桁の数とその数の一の位と十の位を入れ替えた数の差が9の倍数であることを示せ、

というのがあった。「aとbの差」が、a-b、b-a、|a-b|のどれなのか?あるいは特にどれと決まっていないのか不明だが、

どの解釈であっても、22と22の差は0だから、

この問題では、0は倍数と解釈しないとならない。

中学生には、3の倍数を列挙してもらって、0や-3、-6も含めて3の倍数、
3×整数 で書けるなら3の倍数

ということを説明して、すんなり理解してくれた。


小学校算数での0を3の倍数から除外するのって、いつ解除されたの?

  • [73]
  • TOSSによると、0は整数ではない

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年12月17日(木)03時06分51秒
  • 返信
 
http://www.tos-land.net/teaching_plan/contents/14758
>説明1:
3に整数をかけてできる数を3の倍数と言います。3の倍数。
「3の倍数」を子どもにも言わせて、押さえる。

発問1:
3に0をかけると、0になります。0も3の倍数ですか?
子どもに挙手させる。
倍数だという子とそうではないという子がいるはずだ。

指示2:
教科書に証拠がありますよ。
早く見つけることができた子をほめる。
0は倍数に入れないことを確認する。



教科書が「証拠」というのもなんだかな~
まあ、TOSSだから

http://8254.teacup.com/kakezannojunjo/bbs


  • [72]
  • 算数教育ローカルルールを理解していない、さいたま市教委

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 8月 4日(火)13時08分50秒
  • 返信
 
算数教育ローカルルールを理解していない、さいたま市教委
http://gakkoukyouiku.saitama-city.ed.jp/sosiki/sidou1/kisogakuryoku/H23sansu/syou/6nenn/07hitohinoatai.pdf#page=3
0は2の倍数、3の倍数、5の倍数らしい。

0が倍数で何がおかしいのか?もちろん何もおかしくない。でも、算数教育では「0は倍数ではない」というおかしなルールになっている

  • [71]
  • 3個を0人で分けました。何個余りますか?

  • 投稿者:くろきげん
  • 投稿日:2015年 8月 2日(日)17時02分59秒
  • 返信
 
3個余りますよね。

0個を0人で分けました。余りは何個?

余りは0個ですよね。

以上のような意味でも、0で割った余りの話は算数レベルの話ですよね。


  • [70]
  • 「aで割った余りが等しい」は「差がaの倍数になる」の意味

  • 投稿者:くろきげん
  • 投稿日:2015年 8月 2日(日)07時48分4秒
  • 編集済
  • 返信
 
YHさんの言う通りです。以下, a,b,c,…,x,y,zは整数。

「xとyのaで割った余りが等しい」は
「x-yがaの倍数になる」と同じ意味です。

そして、「商」だけではなく、「余り」そのものさえも定義せずに、
「余りが等しい」の概念をそのように定義することから
出発することもできます。

数直線上の数を等間隔aで同じ仲間とみなすという
視覚的に見易い話から出発する話は、
「余り」そのものを定義せずに、
「余りが等しい」の概念から出発する話だとみなせます。
おそらく数直線を使った「余りが等しい」の概念の説明は
実際にどこかの算数の授業で実際に扱っている。
だから、これは完全に算数レベルの話だとみなされるべきでしょう。

「余り」を定義する前に「余りが等しい」などと言うのは
けしからんと怒る人は今までの話を何も聴いて無かった人。
そういう思考法を改めておいた方が算数や数学を教える大人の
立場として好ましいです。
(子供に教えるときの話とは違う話をしていることに注意。)

aで割った余りを求めることは
aで割った余りが等しい数の中から特定の数を選び出す操作
として定義されることが多いです。
たとえば5で割った余りは0,1,2,3,4の中から選び出すのが
普通だということになっている。
しかし、目的に合わせてそこは自由に変えて構いません。

実際、私はある理由があって、ある数式処理ソフトで計算する
ときに、n で割った余りを1,2,...,n から選び出す函数を書いて
利用する必要に迫られました。その函数を利用している限り、
余りは決して 0 にならない(笑)。

「aとbを0で割った余りが等しい」は「a-bが0の倍数になる」
という意味なので、「a=b」と同じ意味になります。
「0で割った余りが等しい」による仲間分けにおいて、
aの仲間はaしかいない。
だからaを0で割った余りの選択肢はa自身しかない。
というわけで、aを0で割った余りはa自身になります。

余りの選択肢の中に常に0を含めておくことにすれば、
「aはbの倍数」「bはaの約数」「aはbで割り切れる」「aをbで割った余りは0」
のすべてが例外無しに(bが0であっても)全部同じ意味になります。

例外無しに全部うまく行く仕組みを知っていると、
例外を勝手に作って無用な但し書きを付けることに気を使う必要が
一切無くなります。こういう類のことを膨大に積み重ねると、
算数や数学について考えるときの心理的負担も大幅に減ることになります。

同じヒトなのに、
ある人はものすごく楽に何の苦しみもなく様々なことを理解できるのに、
別のある人は汗をかきながら必死になって考えても理解できない。
心理的負担がない人とたくさんの心理的重荷を背負ったままの人では
同じ努力をしていても大きな差が出てしまいます。

本当はくだらないことなのに大事なことだと錯覚するたびに
その人の数学的才能は傷付けられて行くことになります。
それはとてももったいないことです。


  • [69]
  • わり算を実行しなくても、いいと思いますが・・・・

  • 投稿者:YH
  • 投稿日:2015年 8月 1日(土)14時55分55秒
  • 返信
 
 7と4が3で割ったときに同じ余りを持つかは、具体的に
   7÷3=2・・・1
   4÷3=1・・・1
と、わり算を実行しなくても
   7-4=3=3×1 ・・・7-4は3の倍数
とすれば、わかります。
   0-0=0=0×0 ・・・0-0は0の倍数
で、0は0で割り切れることがわかります。私は、このように理解しています。

  • [68]
  • (無題)

  • 投稿者:kankichi573
  • 投稿日:2015年 8月 1日(土)13時11分29秒
  • 返信
 
>0は偶数でも奇数でもない?
それはきっとルーレットの話なんだ。

  • [67]
  • またしても残念な反応でした。

  • 投稿者:くろきげん
  • 投稿日:2015年 7月31日(金)21時17分32秒
  • 返信
 
私が https://twitter.com/genkuroki/status/625102016268734464 で曰く
>たとえば、0は3の倍数であり、0は3で割り切れ、3は0の約数である。
>0は0の唯一の倍数なので、0は0で割り切れ、0は0の約数である。
>こういうことを算数で問題を出して確認する必要はないですが、
>教える側はこういうものだと了解しておいた方がよいと思う。

ポイントは(子供相手に)算数で問題を出して「0は0で割り切れる」こと
を確認する必要はないということを私が最初から明確に述べていたということ。
問題は教える側が概念的に「同じ」と考えるべきことを
「同じ」と考えることができるようになっているか否か。
教える側が「割り切れる」と書いてあっても「商を求める割算」を
想像する必要がないという事実を理解しているかどうかも重要。

この件に対するメタメタさんの反応は極めて残念なものでした。

メタメタさんが >>52 で曰く
>(A)0は偶数とするが,2の倍数には入れない。(小学校)
>(D)「0は0の倍数で,0は0の約数で,0は0で割り切れる」と言うとき,0÷0は関係ない。(大学)
>(A)で,0は偶数とするなら,「2の倍数にはしない」と言う必要はないと思うし,
>(D)で,「0は0で割り切れる」と言う必要はないと思うのです。

私が >>55 で曰く
>「0は0で割り切れる」と言う必要はないと思った理由は何でしょうか?

>    個人のレベルで「必要はない」と思うのは勝手ですが、
>さすがに(A)と(D)を同列に並べて「必要はないと思う」などと言うのはまずいでしょう。

>(A)の教え方はとてもまずい。
>(D)は理解していれば小学校レベルの話です。
>「割り切れる」と「商を求める」の概念の違いを明確に認識するだけの問題。
>(A)と(D)を同列に並べるのはおそらく十分な理解に達していないからです。

>もしかして「割り切れる」に「割る」という言葉が入っていることに
>まだこだわっているのかな?もしもそうなら、それはかなりまずいです。

ポイントは(A)と(D)をメタメタさんが同一の「必要はないと思う」という言い方で
同列に並べていたこと!この点に関する釈明が無ければ私の質問にまともに
答えたとはみなせない。

さらに私は「これは全然大学の数学の話じゃないよ」という意味の発言をしています。

ぼく自身は自分以外の大学の数学の先生から「0は0で割り切れる」という
言い方を聞いたことがないので、大学の数学の先生特有の言い回しという
わけでもない。

「0は0で割り切れる」という言い方には、
大人で算数や数学を教えているくせに
「0÷0」にこだわることを止められない人達を挑発する意図がありました。

これはもともとそういう文脈の話なのです。

こういう流れがわかっていれば >>65 の反応の仕方がとても残念だった
ということがそれなりに多くの人にわかってもらえるのではないでしょうか?

さすがに(A)と(D)を完全に同じ言い方で同列に扱うのはまずいでしょう。


  • [66]
  • Re: 大日本図書教師用指導書 解説編 続き

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月30日(木)12時01分45秒
  • 返信
 
>>64
>  これもひどい。
>
>  子どもは、液体を別の容器に移し替えただけで重さや体積が変わると思っているらしい。9~10才くらいまでは重さが変わると思ってるらしい。11,12歳くらいまでは体積が変わると思っているらしい。
>


ピアジェのそのあたりの話は怪しいようですね。
https://twitter.com/genkuroki/status/276540298262351872


  • [65]
  • Re: 「0は0で割り切れる」と言う必要はないと思った理由は?

  • 投稿者:メタメタ
  • 投稿日:2015年 7月30日(木)02時01分3秒
  • 返信
 
>>55

<0=0×k の式を満たす整数kがあるとき,0は0の倍数であり,0は0の約数である>と理解しているときに,「0は0で割り切れる」という言い回しが出てくると,「商を求める通常の割算」(@黒木さん)のことと思って,0÷0は不定じゃないの,という疑問が出てきます。いや,ここでは0÷0は関係なくて,「「剰余」の意味での割算(商を求める必要はなく、余りだけを求めればよい割算のこと)」(同前)というなら,そういう言い回しはそれが必要なときに持ち出せばいいのでは,ということです。
かけ算の順序で算数の教科書の記述の是非を論じていたときに通常のかけ算の話をしていたように,大学数学の「独特の用語の言い回し」ではない「通常の割り算」の話で十分だと思うのです。


  • [64]
  • 大日本図書教師用指導書 解説編 続き

  • 投稿者:鰹節猫吉
  • 投稿日:2015年 7月30日(木)00時06分5秒
  • 返信
 
 これもひどい。

 子どもは、液体を別の容器に移し替えただけで重さや体積が変わると思っているらしい。9~10才くらいまでは重さが変わると思ってるらしい。11,12歳くらいまでは体積が変わると思っているらしい。


  • [63]
  • 素数の定義

  • 投稿者:YH
  • 投稿日:2015年 7月29日(水)20時04分1秒
  • 返信
 
手元にある小学校・中学校・高校の教科書で素数の定義を調べてみました。

「2,3,5などは、1とその数自身の積の形でしか表されない数である。このよう
な自然数を素数という。1は素数に含めない。
 素数は約数を2個だけもつ自然数である」
  (大日本図書『数学の世界3』、H24.2.5 、P24

 「2以上の自然数で、1とそれ自身以外に正の約数を持たない数を素数という」
  (数研出版『数学A』H25.1.10 P113)

 「2,3,5,7・・・のように、1とその数以外に約数がない数を、素数といいます。
  1は素数に入れないことにします。」
  (大日本図書『たのしい算数5』H27.2.5 P94)

いずれも問題なく定義されていました。

※投稿するページを間違えて、こちらにコピーしました。もとのページの削除をお願いします。

  • [62]
  • Re: 素数の定義

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月29日(水)17時25分13秒
  • 返信
 
>>61

1を素数に入れないのは便宜的なものでしょうね。

「素数pを法とする剰余類は体になる」

これは成り立つか?1を法とする剰余類は、ただ1つの元になる。

1=0となる。

体の満たすべき公理は満たすが、普通は体は1=0となるものは除外するようだけど、これも便宜的だからね。


で、1を素数から除外するのはいいのだけど、

普通は、「1とその数自身のみしか約数としてもたない数。但し、1は除く」という具合に定義する。

「1とその数自身しか約数がない」だけで、1が除かれるという解釈は、少なくとも数学ではあまりない。

 算数教育学での「単項演算・二項演算」が、数学での単項演算・二項演算とは似て非なるもの、というか似てもいない全く別物、であったように、

 算数教育界での言葉は、独特の意味になっている可能性があります。

  • [61]
  • 素数の定義

  • 投稿者:YH
  • 投稿日:2015年 7月29日(水)15時20分29秒
  • 返信
 
57
>1とその数自身しか約数をもたない自然数を素数という。
 いままで素数のこの定義のことばをじっくり考えて見たことがありませんでしたが、
言われてみれば1も素数に入ってしまいますね。1を素数に入れないのは素因数分解の
一意性との関連だと思いますが・・・。要は1を素数に含めない方が便宜だという理由
だと思います。
 ところで、この定義は中・高生にわかりにくいと思います。そこで、「正の整数で約数の個数が
2個のみになる数を素数という」と再定義して教えています。
 「積分定数」氏の指摘、「a,bの2つの整数がある」と言った場合、私は当然a=b
の場合も想定します。そうしたことから考えると「「1とその数自身しか約数がない」との定義は、
1を素数に含むと言えなくはありません。しかし、所詮ことばによる定義には限界があると思って
いますので、そのような素数の定義でも仕方がないというのが、正直な私の感想です。


  • [60]
  • Re: 大日本図書 教師用指導書 解説編

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月29日(水)11時30分2秒
  • 返信
 
>>57
>  大日本図書教師用指導書の解説編のほうの画像をはります。
>
> > なお、約数に関連して、1とその数自身しか約数をもたない自然数を素数という。
> > 例えば、 3, 5, 7, 11, 13, …などである。
> > ただし、1は、1しか約数がないことになり、素数の定義にあてはまらないので素数ではない。
>
>
>  ずいぶん、ズサンな作り方をしているようで……
>
>  素数の定義が「1とその数自身しか約数がない」だとすると、1も素数ということになると思いますが……


昔、数学セミナーで読んだことを思い出しました。

詳細は忘れましたが、

算数教育の現代化がうまく行かなかった、算数教育関係者(教師だったかも)と数学の専門家で認識の違いがあり、話がかみ合わなかったと言う話。

「a,bの2つの整数がある」

こういうときに、どうも、算数教育関係者は「aとbは異なる」と認識するらしいとういことでした。

一般的かどうかわかりませんが、筆者がそういう経験をした、あるいはそういう話を誰かから聞いた、

というような話です。

「1とその数自身しか約数がない」から、「2つの異なる約数を持つ」という意味に自動的に解釈され、1は素数から除外されることが導かれているとしたら、

 数学とは異なる、算数独特の用語の使い方があるのかもしれません。


 「a,bの2つの整数がある」、

これは「一般にはaとbは異なる」ということで「aとbが一致する場合も排除していない」

しかし、算数教育では、「一般にはaとbは異なる」を「全ての場合においてaとbは異なる」と解釈している可能性があります。


 数学で言う「一般」が、「具体的数3+5=5+3が成り立つ、に対して、一般的に、a+b=b+a」と言うような意味http://8254.teacup.com/kakezannojunjo/bbs/t19/5
と、「測度0程度の例外を除いて」と両方に使われて、大抵は文脈でわかるのですが、http://8254.teacup.com/kakezannojunjo/bbs/t19/5

 算数教育では、独特の用語の使い方があるのかもしれません。

  • [59]
  • 算数と高等数学の関係

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月29日(水)10時20分3秒
  • 返信
 
>>52
> twitterでのご回答ありがとうございます。
> 行数の制限の無い方が書きやすいので,こちらで感想を書きます。
>
> (A)0は偶数とするが,2の倍数には入れない。(小学校)
> (B)0は,0を含むすべての整数の倍数である。(中学校)
> (C)0を含むすべての整数は,0の約数である。(高校)
> (D)「0は0の倍数で,0は0の約数で,0は0で割り切れる」と言うとき,0÷0は関係ない。(大学)
>
>  (B)(C)は納得できるのですが,(A)で,0は偶数とするなら,「2の倍数にはしない」と言う必要はないと思うし,(D)で,「0は0で割り切れる」と言う必要はないと思うのです。
>  かけ算の順序の話のときに,行列だとか群だとか,はては四元数などを持ち出す議論は関係ないとしたように,(A)(B)(C)の話に剰余環の話は関係あるんでしょうか?(群や四元数や剰余環やイデアルが興味深い話であることは別にして。)
>


掛算の順序議論で、非可換積の例を出すのは、多くの場合「順序は大切」とする側。しかし、そもそも算数においての「掛算の順序」と、非可換積とは何の関係もない。行列の積が可換ではない、というのと、「4人に3個ずつ蜜柑を配る場合に、4×3とすると12人の意味になる」という算数での謎理論とは、何の関係もない。

 行列も、1行1列であれば可換だし、各成分の計算や行列式の計算は、通常の数の計算が適用される。

 可換・非可換とはどういう場合かが明確な行列その他の非可換積の話と、場当たり的で曖昧で有害無益な算数での掛算の順序は、全く別物。

 掛算に順序は関係ないことは、算数の範囲で十分理解できる。そもそも算数の正規のカリキュラムで交換法則が教えられている。格子状に並べた図で1つ分といくつ分の区別が無意味であることが直感的に分かるようになっている。

 だから、掛算の順序強制を批判するのには、高等数学の理解は不要。


0は倍数か、否か、 に関しても、0を倍数に含めないと数直線上の倍数の分布が不自然になるわけで、算数の段階で不合理なことが露呈する。

 負の数まで考えると不自然さはより明らかになる。高度な数学になればなるほど、0が倍数から除かれることの不合理性はより明白となるが、せいぜい中学数学の理解までで十分。

 0が絡んだ約数や「割り切れる」となると、話がややこしくなるので、算数においては、これについては考えないと言うことでいいと思う。

aはbの倍数  bはaの約数 aはbで割り切れる

これらは同値としていい。0が絡んでも成り立つが、敢えて触れることはない。

子供が質問したきたら、そういう疑問を持つことを褒め称えた上で、「そのうち分かるときが来るかもしれないから」とごまかすのもあり。

 私は、教師が子供の疑問に全て明瞭に答える必要はないと思う。謎や含みを残し、子供をもやもやした状態にするのもありだと思う。

 ただし、教え方とは別に、「aはbの倍数  bはaの約数 aはbで割り切れる」 が、0を含んだ整数全体で同値であることはどう理解すべきか、

 となると、算数を若干逸脱することになる。

 とくに、「割り切れる」とかの余りのある割り算に関して、概念を転換する必要がある。

もともと、余りのある割り算と言うのは、20個の蜜柑を6個ずつ配ると何人分か?というような問題で、3人分で2個あまる、という具合に導入される。

 答えとして重要なのは3人分で、2個あまるというのは添え物、という感じ。

 ところが、倍数とか約数、さらに高度な数学になってくると、余りがあるかどうか、余りがいくつか、の方が重要になってくる。

 取り敢えず非負整数で考える。a÷bの商とあまりを求めるというのは、
a=b×c+r となる、cとrを求めるということ。ただし、r<b

bが0でなければ、cとrは一意的に決まる。

b=0だと

a=0×c+r となる。r<0となる非負整数は存在しない。

だったら、r<bという制約をなくせばいい。そうすると、一意性を失うが、大した問題ではない。

20÷6=2あまり8 というのもありにしてしまう。数の分類が目的なら、一意性に拘る必要はない。

 こうすることで、倍数、約数、割り切れる の概念は0を含んだ整数全体に例外なく拡張できる。さらには、複素整数や多項式にまで概念の拡張が可能。

 算数を教える上で、あるいは、0が倍数ではないとされていることを批判する上でこれらを理解する必要はないが、理解しているのに越したことはない。


  • [58]
  • 今後、バルタン成人 さんの書き込みは禁止します。

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月29日(水)08時30分25秒
  • 返信
 
バルタン成人 さんの書き込みは禁止します。

何か言いたい事があるようでしたら、ツイッターで私に言うか、mixiの
http://mixi.jp/view_bbs.pl?comm_id=4341118&id=66762402&comment_count=104
に書き込んでください。

  • [57]
  • 大日本図書 教師用指導書 解説編

  • 投稿者:鰹節猫吉
  • 投稿日:2015年 7月29日(水)01時00分57秒
  • 返信
 
 大日本図書教師用指導書の解説編のほうの画像をはります。

> なお、約数に関連して、1とその数自身しか約数をもたない自然数を素数という。
> 例えば、 3, 5, 7, 11, 13, …などである。
> ただし、1は、1しか約数がないことになり、素数の定義にあてはまらないので素数ではない。


 ずいぶん、ズサンな作り方をしているようで……

 素数の定義が「1とその数自身しか約数がない」だとすると、1も素数ということになると思いますが……


  • [56]
  • 昔からよくしていたタイプの回答

  • 投稿者:くろきげん
  • 投稿日:2015年 7月28日(火)23時53分24秒
  • 返信
 
バルタン成人氏がこれ以上ここに書き込むようだと
私はこの掲示板から撤退するかもしれません。
個人的にはバルタン成人氏の発言は削除してもらえると助かります。

私はどこの何者かわからない人物とはやりとりしないようにしています。
恥をかけるだけ十分な情報をどこかで公開してからにしないと
私に相手をしてもらうのは難しいと思います。

http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/keijiban/Anonymous.html

  • [55]
  • 「0は0で割り切れる」と言う必要はないと思った理由は?

  • 投稿者:くろきげん
  • 投稿日:2015年 7月28日(火)23時46分22秒
  • 返信
 
>>52
>(A)0は偶数とするが,2の倍数には入れない。(小学校)
>(D)「0は0の倍数で,0は0の約数で,0は0で割り切れる」と言うとき,0÷0は関係ない。(大学)

>(A)で,0は偶数とするなら,「2の倍数にはしない」と言う必要はないと思うし,(D)で,「0は0で割り切れる」と言う必要はないと思うのです。

「0は0で割り切れる」と言う必要はないと思った理由は何でしょうか?

個人のレベルで「必要はない」と思うのは勝手ですが、さすがに(A)と(D)を同列に並べて「必要はないと思う」などと言うのはまずいでしょう。

(A)の教え方はとてもまずい。(D)は理解していれば小学校レベルの話です。「割り切れる」と「商を求める」の概念の違いを明確に認識するだけの問題。(A)と(D)を同列に並べるのはおそらく十分な理解に達していないからです。

もしかして「割り切れる」に「割る」という言葉が入っていることにまだこだわっているのかな?もしもそうなら、それはかなりまずいです。

  • [54]
  • Re: 典拠を示さないのはまずい

  • 投稿者:バルタン成人
  • 投稿日:2015年 7月28日(火)23時41分59秒
  • 返信
 
それは失礼しました。
以後気をつけます。
ところで、今までくろきさんは質問にお答えいただけないですね。
「はい」または「いいえ」で答えられる単純なことなのに、答えると何か都合が悪いのですか?

さて質問です。
1 掛け算をファイバー構造で説明するのは、笑われることだ
2 ファイバー構造で説明した数学者は、笑われるべきだ。

「はい」「いいえ」でお答えください。

  • [53]
  • 0^0について

  • 投稿者:YH
  • 投稿日:2015年 7月28日(火)16時15分14秒
  • 返信
 
くろきげん氏の指摘、「次の2つは別の話なので混同しない方がよいです。
 ・(x,y)=(0,0)の近くで x^y はどう振る舞うか
  ・0^0 をどのように定義するかしないか」
は、参考になりました。と言うより0^0を定義しない理由として(x,y)=(0,0)の近くで x^y
振る舞いが異なることを理由に思っていました。
 0^0=1と定義する場合が多いことは知っていましたが、自分で納得ができなかったのです。
[50]を読んで、数学の基本は「約束事は自分が好きなように決めてよいです」はよくわかりま
した。

  • [52]
  • Re: 典拠を示さないのはまずい

  • 投稿者:メタメタ
  • 投稿日:2015年 7月28日(火)15時21分44秒
  • 返信
 
twitterでのご回答ありがとうございます。
行数の制限の無い方が書きやすいので,こちらで感想を書きます。

(A)0は偶数とするが,2の倍数には入れない。(小学校)
(B)0は,0を含むすべての整数の倍数である。(中学校)
(C)0を含むすべての整数は,0の約数である。(高校)
(D)「0は0の倍数で,0は0の約数で,0は0で割り切れる」と言うとき,0÷0は関係ない。(大学)

 (B)(C)は納得できるのですが,(A)で,0は偶数とするなら,「2の倍数にはしない」と言う必要はないと思うし,(D)で,「0は0で割り切れる」と言う必要はないと思うのです。
 かけ算の順序の話のときに,行列だとか群だとか,はては四元数などを持ち出す議論は関係ないとしたように,(A)(B)(C)の話に剰余環の話は関係あるんでしょうか?(群や四元数や剰余環やイデアルが興味深い話であることは別にして。)


  • [51]
  • Re: 0÷0

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月28日(火)12時52分55秒
  • 編集済
  • 返信
 
>>45

0^0に関して、くろきげんさんが既に書かれていますが、私の考えを述べます。

0^0をいくつに定義しても、x^y (0≦x)をxとyの連続関数としてすることは出来ません。

しかしこのことは定義できないことを意味しません。

集合論では、集合Aから集合Bへの写像全体の集合を、B^Aと定義します。
写像は、AとBの直積の部分集合である性質を満たすものとして定義します。

それやこれやで、0^0も定義できて、これはφからφへの写像全体の濃度となるのですが、結局、φが唯一の写像となり、

φ^φ={φ} ということで、0^0=1となります。

  • [50]
  • 「0^0は値が確定しないから定義しません」は誤り

  • 投稿者:くろきげん
  • 投稿日:2015年 7月28日(火)11時00分54秒
  • 返信
 
次の2つは別の話なので混同しない方がよいです。

・(x,y)=(0,0)の近くで x^y はどう振る舞うか
・0^0 をどのように定義するかしないか

大学1年生向けの教科書には

e^x = Σ_{n=0}^∞ x^n/n!

という公式が書いてあります。この公式を使って e^0 を求めるときには「0^0は不定である」なんて考えません。実際には多くの場面で 0^0=1 ということになっています。

数学の基本は「約束事は自分が好きなように決めてよい」です。数学の世界で何が起こっているかを誤解してしまうのはまずいですが、約束事は自分勝手に決めてよい。

「(x,y)=(0,0)の近くで x^y の振る舞い」についてきちんと考えることができる人は世間一般的には相当な数学的実力の持ち主だとみなせると思います。そんなに数学的実力があるなら、「他人が0^0をどう定義しているかしていないか」なんて気にせずに「約束事は自分が好きなように決める」と考えた方がよいと思います。

定義や約束事は目的ごとに変えるのが基本なのですが、そのときに自分が採用したスタイルが目的にとって不適切な場合には「何て馬鹿なことをやっているんだ」と他人に思われることになります。しかし、馬鹿にされることをおそれていると、いつまでたっても、適切な約束事を自分で決めることができなくなる。数学的実力がある人がそうなってしまうのはもったいないです。


  • [49]
  • 典拠を示さないのはまずい

  • 投稿者:くろきげん
  • 投稿日:2015年 7月28日(火)10時28分43秒
  • 返信
 
>>36 は他人の著作物を何の典拠も示さずに転載しています。
それではここだけを見た人は

・どのような文脈で書かれたものなのか
・その後どのような展開があったのか

を知ることが困難になります。

というわけで次回からはきちんと以下のように
リンクをはって頂きたいと思います。

https://twitter.com/genkuroki/status/625102016268734464
>たとえば、0は3の倍数であり、0は3で割り切れ、3は0の約数である。0は0の唯一の倍数なので、0は0で割り切れ、0は0の約数である。こういうことを算数で問題を出して確認する必要はないですが、教える側はこういうものだと了解しておいた方がよいと思う。

上のリンク先にアクセスすればその後の展開も読めます。たとえば

https://twitter.com/genkuroki/status/625536041747808257
>メタメタさんから寄せられた質問は「0は0の倍数なので、0は0の約数であり、0は0で割り切れる」と言うとき、「0÷0の式を許しているのでしょうか?」です。答えは「0÷0はこの話題には関係ない」です。なぜならば商を求める必要が一切ない話だからです。続く

https://twitter.com/genkuroki/status/625537337519280129
>積分定数さんが説明したように、私は「aはbの倍数」「bはaの約数」「aはbで割り切れる」は全部「a=bcをみたすcが存在する」と同じ意味だと定義しています。どこにも商を求める割算が含まれていないので0÷0を思い浮かべること自体がナンセンスです。

https://twitter.com/genkuroki/status/625537821793632256
>おそらく「0が0で割り切れる」という言い方の中に「割る」という言葉が入っているので「0÷0」を思い浮かべてしまったのでしょう。しかし、算数や数学では単純に字面通りに解釈するとダメだということになっています。ダメなことをやるからおかしなことになる。

算数や数学では単純に字面通りに解釈しようとすると、多くの場合におかしな考え方にはまりこんでしまい本質を見失ってしまいます。たとえば「長方形は長くなければいけない。だから正方形は長方形ではない」のように考えるのはとてもまずい。「割り切れると書いてあったから、割って商を求めなければいけない」と考えるのもまずいです。

まずい考え方にはまり込んでしまっている人をよく観察すると、直観的にクリアに理解できていないせいで、字面に頼った苦しい思考を行なわざるを得ない状況に追い込まれている場合が多いです。心の中にしっかり直観が育成されていれば「ああ、あれか!」でおしまいになる。

https://twitter.com/genkuroki/status/625538935427481600
>ちなみに、a÷0を考えることなく、aを0で割った余りを含むようにaをbで割った余りを定義できます。(この話は剰余環の概念を知っていれば自明。)そのようにうまく「余り」の概念を定義しておけば~続く

https://twitter.com/genkuroki/status/625539559552454657
>b=0の場合も含めて例外なく「aはbの倍数」「bはaの約数」「aはbで割り切れる」と「aをbで割った余りは0」がすべて論理的に同値になるようにできます。例外が一切ないので例外事項について一切暗記する必要がなくなります。

続きの解説をリンク先で読めます。

わざわざこうやって本人が出て来てリンクを代わりにはるというのはおかしいよね。最初からリンクを示しておいてくれれば私の側はこういうことをする手間がなくなる。

  • [48]
  • 0÷0

  • 投稿者:YH
  • 投稿日:2015年 7月28日(火)07時39分8秒
  • 返信
 
投稿番号[45]の0^0=0の例が間違っていました。
 (誤)x→0のとき、x^0→0^0=0
 これはx→0のとき、x^0→0^0=1になってしまいます。
 (正)x→0のとき、0^x→0^0=0
もっと有用な例として 0<=c<1に対して
    x→0のとき、{c^(1/|x|)}^|x|→0^0=c
がどこかの本にのっていました。いずれも、0^0は値が確定しないから定義しません。
 0÷0も確定しないから、定義しないでいいと思います。「0で割り切れる」ことを
「0÷0」に結びつける必要がないと思います。
 間違いがありましたので、お詫びして訂正しておきます。




  • [47]
  • Re: 積分定数さんに質問

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月28日(火)00時26分38秒
  • 返信
 
>>44
> 0÷0=c
>
> のCの値は、何ですか?
>
> Cの値が何でもありならば、
>
> 0÷0=1
> 0÷0=2
>
> よって 1=2
> と、矛盾があり、定義そのものが怪しくなりそうですが、それで大丈夫なんですか?
>

割り切れるかどうか、という話であって、0÷0の値が確定するというわけじゃありませんよ。

  • [46]
  • Re: 0÷0

  • 投稿者:バルタン成人
  • 投稿日:2015年 7月27日(月)22時57分50秒
  • 返信
 
ありがとうございました。


  • [45]
  • 0÷0

  • 投稿者:YH
  • 投稿日:2015年 7月27日(月)22時33分1秒
  • 返信
 
 0の約数はすべての整数になります。0の約数のなかに0も含めて考えることができます。
つまり、「0は0で割り切れる」と言うことになります。
 しかし、
   0÷0=1
   0÷0=2
となって、値が確定しません。このような場合は、普通0÷0を定義しません。
 これと似た例として、0^0があります。
 x→0のとき、x^x→0^0=1
となります。
 一方、x→0のとき、x^0→0^0=0
になります。この場合も値が確定しません。したがって、0^0は定義しないということになります。
 私見ですが、私も「積分定数」氏の言われるとおり、、「0は0で割り切れる」でいいと思います。
ただし、有限確定でないから
  0÷0を定義しない
でいいと思います。定義しない以上、「バルタン成人」氏の言うような1=2という矛盾は起きないと
思います。
 この考え方は全く私見で、何かを参考にしたわけではありません。念のために。


  • [44]
  • Re: 積分定数さんに質問

  • 投稿者:バルタン成人
  • 投稿日:2015年 7月27日(月)21時56分45秒
  • 返信
 
0÷0=c

のCの値は、何ですか?

Cの値が何でもありならば、

0÷0=1
0÷0=2

よって 1=2
と、矛盾があり、定義そのものが怪しくなりそうですが、それで大丈夫なんですか?


  • [43]
  • Re: 積分定数さんに質問

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月27日(月)05時21分55秒
  • 返信
 
>>42
> > 定義次第だけど、私は「割り切れる」でいいと思いますよ。
>
> 割り切れた結果は?
>

結果とは?

  • [42]
  • Re: 積分定数さんに質問

  • 投稿者:バルタン成人
  • 投稿日:2015年 7月26日(日)22時12分33秒
  • 返信
 
> 定義次第だけど、私は「割り切れる」でいいと思いますよ。

割り切れた結果は?


  • [41]
  • Re: 積分定数さんに質問

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月26日(日)21時25分18秒
  • 返信
 
>>40
> ありがとうございました。
>
> そうすると答えは何になるんですか?

定義次第だけど、私は「割り切れる」でいいと思いますよ。

  • [40]
  • Re: 積分定数さんに質問

  • 投稿者:バルタン成人
  • 投稿日:2015年 7月26日(日)20時23分56秒
  • 返信
 
ありがとうございました。

そうすると答えは何になるんですか?

  • [39]
  • Re: 積分定数さんに質問

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月26日(日)17時26分12秒
  • 返信
 
>>36
> >たとえば、0は3の倍数であり、0は3で割り切れ、3は0の約数である。0は0の唯一の倍数なので、0は0で割り切れ、0は0の約数である。こういうことを算数で問題を出して確認する必要はないですが、教える側はこういうものだと了解しておいた方がよいと思う。
>
> 0は0で割り切れるんですか?

a,b,cを整数とするとき、

「aはbで割り切れる」の定義が

「a/bが整数である」ということなら、0/0で不定形になるから微妙ですが、

「a=bcとなる整数cが存在する」という定義なら、「0は0で割り切れる」となりますね。

私は「0は0で割り切れる」ということでいいと思いますよ。




  • [38]
  • 訂正

  • 投稿者:黄昏
  • 投稿日:2015年 7月26日(日)15時46分1秒
  • 返信
 
間違えました。
0X2=0でした。

  • [37]
  • Re: 積分定数さんに質問

  • 投稿者:黄昏
  • 投稿日:2015年 7月26日(日)15時43分39秒
  • 返信
 
>>36
横レスしますが、
発言した人に直接聞いた方がいいと思います。
とは言うものの
0X0=0 0X1=0  0X2=2・・・・・・
だから0は0の倍数ですね。

  • [36]
  • 積分定数さんに質問

  • 投稿者:バルタン成人
  • 投稿日:2015年 7月26日(日)11時55分18秒
  • 返信
 
>たとえば、0は3の倍数であり、0は3で割り切れ、3は0の約数である。0は0の唯一の倍数なので、0は0で割り切れ、0は0の約数である。こういうことを算数で問題を出して確認する必要はないですが、教える側はこういうものだと了解しておいた方がよいと思う。

0は0で割り切れるんですか?

  • [35]
  • 学校図書最新版(2015年3月発行)

  • 投稿者:鰹節猫吉
  • 投稿日:2015年 7月25日(土)07時12分5秒
  • 返信
 
 学校図書教科書・教師用指導書最新版の情報です。
 今年出たばかりのものになります。

 実践編(児童用教科書+朱註&教師向注意事項) p100~101
 解説編(実践編とは別冊の教師向の分厚い本) p.160

 けっこうしつこく「0は倍数ではない」と言っています。

① 博士が 「0はのぞいて考えます。」 と説明。
② 正の整数を順に書かせて、 3, 6, 9, 12, … が3の倍数であることを確認。
③ 0から始まる数直線を見せて、~の倍数にマルをつけさせ、「0はのぞいて考えます」を再確認。
④ 教師向には、中学校とは違う、公倍数を考えるときにいちいち「0を除く」ということわりをもうけるのは煩わしい、と説明。


  • [34]
  • 3の倍数を小さいものから4つ書きなさい」 正解は「0、3、6、

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月23日(木)11時44分19秒
  • 返信
 
http://homepage1.nifty.com/tadahiko/ZOKI/ZOKI-004-0.HTML
3の倍数を小さいものから4つ書きなさい」
 などというのがある。小学校では負の数は扱っていないから、正解は「0、3、6、9」である


この方、奈良教育大学小学校課程数学科卒業とのことですが、算数では0は倍数ではない、ということをご存じなかったらしいです。

https://twitter.com/hoshitada/status/622929968637460481
そんなローカルルールがあるなんて! 私は小学校で0を含めずにバツにされた記憶があるのです。


 私自身は小学校時代にどう習ったのか記憶にないけど、その後普通に数学を勉強していれば、「0は倍数」という認識になるのは普通。「0は倍数ではない」などというローカルルールを知ったのは1年ちょっと前、


「0は倍数ではない」というのは不合理なわけだから、これを教えようとすると歪が生じるのは必然。

 「算数は数学とは違う」などといって、この歪が算数教育界の権威筋の権威を高めることになるから始末が悪い。

 

  • [33]
  • “素数の中でも仲間外れな数”とは

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月22日(水)12時48分30秒
  • 返信
 
http://blog.livedoor.jp/wordroom/archives/51114813.html
>“素数の中でも仲間外れな数”とは2のこと。
2は素数の中で唯一の偶数。
(「3は素数の中で唯一3の倍数」とか「5は素数の中で唯一の5の倍数」とか
 反論されるが、偶数は0を含んでおり、偶数=2の倍数ではないので倍数云々の理屈は通らない)

>ってか
0は偶数でもあり2の倍数です。
偶数=2の倍数 じゃないの?

>↑教科書読み直せ

  • [32]
  • Re: 些細なことだが気になる点

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月19日(日)23時41分46秒
  • 編集済
  • 返信
 
>>25

書き直し。

0を倍数とするかどうかはともかく、算数の倍数の導入段階では正の整数について考察することが多いと思う。

算数教育では、「正の整数について考察することが多い」を、「0を除いて考える」とルール化して、さらには「0は倍数ではない」とまでしてしまっている。

逆に言えば、「0は倍数ではない」とするもともとの理由は、「倍数を考察する対象は自然数に限定する」というものである。

 倍数であるべき0ですら、考察対象から除外しているわけで、ましてや小数や分数は、ここでは考察の対象外のはずである。

 だから、9は4.5の倍数とすべきかどうか、なんてことはここでは考察する必要はない。

 ところで、画像の学校図書のクッキーの箱の例は、厚みが5cmなので、高さが5の倍数となる、ということであるが、

 長さは連続量であって、整数値となる必然性がない。

 厚みが4.5cmなら、箱を2つ重ねると9cm 9は4.5の倍数と言うのかかどうか私は知らないが、連続量×整数というのは、高校物理の波のところで、波長×整数値 という形で頻繁に出てくる。

 しかしここは倍数の導入部分。整数である必然性のある分離量が望ましいのではないだろうか?例えば、「クッキー5個入りの箱」という具合に。

 算数教育界は遠山啓の顰に倣い、割合分数と量分数だの、量を分離量と連続量に分けたり、https://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/sansu/WebHelp/05/page5_20.html
と、くだらないことをやっている割には、

 こういうところは杜撰に見える。

割合の導入部にシュートの成功率を持ってくるというのもそうだけど、
http://8254.teacup.com/kakezannojunjo/bbs/t5/28

算数教育界と言うのは、あれこれ細かく分類する割には、導入部の寝たとしてふさわしいかどうかあまり深く考えていないように思える。

  • [31]
  • Re: 些細なことだが気になる点

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年 7月19日(日)23時11分18秒
  • 返信
 
>>30
> >>28
>
> >>25
> > 9は4.5の倍数 と言うのかどうか知らないが、算数のこの段階では、当面は自然数だけで考えるのが普通だろう。だからこそ、「0は倍数ではない」などという余計なことをしたのでは?
>
> すみませんが、ここでいう「自然数」に0が含まれていると、どうして
> >だからこそ、「0は倍数ではない」などという余計なことをしたのでは?
> という話に繋がるか分かりません。

あそこでは、0を含めるかどうか、あまり深く意識していなかったのです。

私の最初の文と、その後の弁明も確かにおかしいので書き換えますね。



  • [30]
  • Re: 些細なことだが気になる点

  • 投稿者:TaKu
  • 投稿日:2015年 7月19日(日)22時04分13秒
  • 返信
 
>>28

>>25
> 9は4.5の倍数 と言うのかどうか知らないが、算数のこの段階では、当面は自然数だけで考えるのが普通だろう。だからこそ、「0は倍数ではない」などという余計なことをしたのでは?

すみませんが、ここでいう「自然数」に0が含まれていると、どうして
>だからこそ、「0は倍数ではない」などという余計なことをしたのでは?
という話に繋がるか分かりません。


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