• [0]
  • 問題な問題

  • 投稿者:積分定数
 
算数・数学に関する、問題な問題を集めて議論するスレ。

問題を作成する側の人が「こういう問題は作らないように気をつけよう」とここを参考にしてもらえると嬉しい。

mixiでの同様のトピック
「数学科 教師 講師」コミュ 「問題な問題」トピhttp://mixi.jp/view_bbs.pl?id=20204018&comm_id=788787&page=1&from=first_page

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  • [36]
  • Re: 福井県高校入試・社会

  • 投稿者:こしひかり
  • 投稿日:2017年 3月21日(火)20時53分31秒
  • 返信
 
追記します。新聞に掲載されている解答例だと、
「年貢の収入は、ききんなどにより不安定であったが、地価を課税の基準にすることで、
明治政府は安定した収入を得ることができたから。」
となっています。

でも実際に問題の指示通りにグラフを読み取ると江戸期の方が安定しています(問題点1)。
なのに答は教科書の記述を暗記しただけの答えを答えさせようとしています(問題点2)、
おまけに、グラフがそうみえないよう加工している(問題点3)という問題点の多い問題です。

  • [35]
  • 福井県高校入試・社会

  • 投稿者:こしひかり
  • 投稿日:2017年 3月21日(火)01時04分52秒
  • 返信
 
資料3と資料4を比較させ、教科書に記載されているような
「江戸時代は不安定なので、地租を基準にした税収で安定させた」という答えを
誘導しようとしている問題。

実際には値を目分量で読み取ってみて、両者の標準偏差を平均値でそれぞれ割ると、
江戸時代の変動の方が小さい結果になる。
よって、「江戸時代の方が安定していた」という模範解答とは逆の答えとなる。

作問者も問題作成中に両者を比べたとき、江戸時代の変動の小ささに気づいたのか、
江戸時代の資料3は130万石までを切り、変動を大きく見せようとしたイカサマ図に
なっている。
明治時代の地租は1890年前に上げられているので、変動が大きくなってしまっているが、
教科書では地租の税率アップは扱われていないことにも注意。


  • [34]
  • 千葉大学 2016年前期

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2017年 1月30日(月)20時33分41秒
  • 返信
 
(2)t=π/4のときQのy座標が最大になるrを求めよ。

t=π/4を代入して、rを色々動かして最大になるようなrを求めるのかと思ったが、いくらでも大きく出来るので最大値は存在しない。

出題者の意図は、rを固定してtを動かしてy座標が最大になるところを探したらt=π/4のときに最大になったとしたら、rの値は?ということだった。


分かりづらいよね。

対案
「ある定数rに対して、y座標が最大になるのはt=π/4のときだった。rを求めよ」

  • [33]
  • 極値をとり得る点を求めよ

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年10月 3日(月)21時46分48秒
  • 返信
 
 高専で使っている「新微分積分Ⅱ」(大日本図書)のp45の問題が、【関数z=x^3+y^3-3xyが極値をとり得る点を求めよ」とあって、解答では∂z/∂x=∂z/∂y=0となる点を求めて、(0,0)(1,1)としている。

その直前に、偏微分可能な関数f(x,y)が(a,b)で極値を持つ必要条件が、(a,b)で∂z/∂x=∂z/∂y=0となること、と述べているので、「極値をとり得る点」は必要条件という意味で、∂z/∂x=∂z/∂y=0となる点、と同義にしているようだ。

 十分条件に関しては,この問題の後に書かれている。やらせたいことは分かるが釈然としない。(0,0)では極値を取らないのだから、これを「極値をとり得る点」と言っていいのだろうか?言っていいのなら、任意の点がすべてで「極値をとり得る点」と言っても言いように思う。



問題としては、∂z/∂x=∂z/∂y=0となる点を求めよ。またその点は、極大値になる、極小値になる、どちらでもない、のどれになるのか?と言う方がいいと思う。その点の近傍の値を代入してこれらを判断することを通して、十分条件がどうなっているかの考察につながると思う。

  • [32]
  • 信州大学 2015年度入試

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2015年11月23日(月)23時01分8秒
  • 返信
 
信州大学 2015年度入試  四角3

a>0 C:y=ax^2+bx+c  L:y=2x-1

放物線Cが点(1.1)で直線Lと接し、かつx軸と共有点をもつためのa,b,cが満たす必要十分条件を求めよ。

【(b-2)^2-4a(c+1)=0 かつ b^2-4ac≧0 かつ a+b+c=1】

じゃだめなのかな?


赤本だとこれを変形して、【0<a≦1 b=-2a+2 c=aー1】となっているけど、これが出題者の求める答案だとしたら

「必要かつ十分なaの範囲を求めよ。またb、cをaの式で表せ」

とでもすべきじゃないかな?

なおその場合、解き方としては、判別式よりも

C:f(x)として、f(x)-2x+1=a(xー1)^2

f(x)=a(xー1)^2+2x-1 として、この判別式からaの範囲を定めて、1次、0次の係数を求めるほうが楽である。


  • [31]
  • Re: 厳密に「0.999…=1」なのは、あまり知られていないのかな?

  • 投稿者:tankicHi573
  • 投稿日:2014年 5月 2日(金)00時42分23秒
  • 返信
 
>>30
> >>13
>  一松 信『整数とあそぼう』によれば、
>
> 『 私個人としては、内心一種の便宜的な理解:すなわち、0.999 … =1と考えないと、実数が切れぎれになって解析学およびその自然科学への応用上で大変に困るから、あんまり文句をいわないで、0.999 … =1と信じて進もう:別にそれで困った事態は生じない、という態度をとってきました。』(p.55)
>
> だそうです。
>
>  個人的には、正直キモチワルイんだけど、そう思わないとあっちこっちで困った事態が生じるので一応そういうことにしている、という感じです。
>

流石やね。失礼ながら「ようわかってはる」方ははっきりした言い方をしはりまんな。

>もしかすると、可算無限と実無限みたいなことを考えて、1ではないとしているのかもしれませんが(そういう議論だと、立ち入りたくない)。

みたいな意味不明とはレベルがちゃいまんなあ。笑。

あと知ったかぶりともな。

  • [30]
  • Re: 厳密に「0.999…=1」なのは、あまり知られていないのかな?

  • 投稿者:Maria
  • 投稿日:2014年 5月 1日(木)20時26分35秒
  • 返信
 
>>13
 一松 信『整数とあそぼう』によれば、

『 私個人としては、内心一種の便宜的な理解:すなわち、0.999 … =1と考えないと、実数が切れぎれになって解析学およびその自然科学への応用上で大変に困るから、あんまり文句をいわないで、0.999 … =1と信じて進もう:別にそれで困った事態は生じない、という態度をとってきました。』(p.55)

だそうです。

 個人的には、正直キモチワルイんだけど、そう思わないとあっちこっちで困った事態が生じるので一応そういうことにしている、という感じです。

 同じことかもしれませんが。

http://animaleconomicus.blog106.fc2.com/


  • [29]
  • Re: 数研出版 確率の問題 その3

  • 投稿者:tankicHi573
  • 投稿日:2014年 4月30日(水)15時29分25秒
  • 返信
 
>>18
> 問題文改良案
>
>
> 解釈A
>
> 「2枚のうち無作為に1枚を選んでみたらハートだった」でも誤解はないだろうが、情報開示に作為がないことを示すように以下のようにしてみた。
>
> ジョーカーを除く1組52枚のトランプから2枚のカードを同時に抜き出し、裏側にしてテーブルの上に置く。そのうち1枚を無作為に取り出して見てみたらハートだった。残りの1枚もハートである確率を求めよ。
>
>
>
> 解釈B
>
> こちらは、情報開示に作為がないことを明確にするには込み入った説明になってしまう。
>
> ある人がジョーカーを除く1組52枚のトランプから2枚のカードを同時に抜き出す。この人は、取り出した2枚について、「少なくとも1枚はハート」なのか、「ハートは1枚もない」なのかを正直に申告しないとならない。そして「少なくとも1枚はハート」と申告した。残りの1枚もハートである確率を求めよ。

もちろん昔からようある典型的な問題。

こないなんはわざと原文通りにしといて生徒が「自分から」色々考えるんがええと思うワ。
解答にいろんな考え方を載せとくのが親切かもしれんけど教育上はよかないね。どこがよく分からんか考えさせるんがええね。

  • [28]
  • Re: 数研出版 確率の問題 その0

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 4月30日(水)15時20分14秒
  • 返信
 
>>26
> 「2枚のうち1枚がハート」を字句どおり解釈すれば良いでしょ。1枚「だけ」確認する要件はないから、2枚の一方or両方がハートという解釈は至極妥当。

「字句通りの解釈」が多義的ということです。

「2枚あるうちの1枚について見てみたら、ハート」という意味とも取りるし、これがひねくれた解釈とも言えません。

  • [27]
  • Re: 厳密に「0.999…=1」なのは、あまり知られていないのかな?

  • 投稿者:tankicHi573
  • 投稿日:2014年 4月30日(水)15時06分55秒
  • 返信
 
>>13
>もしかすると、可算無限と実無限みたいなことを考えて、1ではないとしているのかもしれませんが(そういう議論だと、立ち入りたくない)。
>

笑。意味不明。

  • [26]
  • Re: 数研出版 確率の問題 その0

  • 投稿者:雑賀
  • 投稿日:2014年 4月29日(火)12時37分3秒
  • 返信
 
「2枚のうち1枚がハート」を字句どおり解釈すれば良いでしょ。1枚「だけ」確認する要件はないから、2枚の一方or両方がハートという解釈は至極妥当。

  • [25]
  • 条件付き確率の教え方 その5

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 4月28日(月)12時38分35秒
  • 返信
 
条件付き確率、積の法則、ベイズの定理、などという言葉も概念も不要。
素で考えればいいだけ。

単に、問題の意味を理解して、粛々と解けばいいだけのこと。

「100億人が一斉に試行する」とか「長方形を4分割する」というイメージは、理解のための1つの手段であって、これに拘る必要はない。

数研出版の杜撰な問題と誤った解説は、「条件付き確率」というものが最初からあるという思い込みから、素で考えることをしなくなったことが原因かもしれない。

  • [24]
  • 条件付き確率の教え方 その4

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 4月28日(月)12時31分39秒
  • 編集済
  • 返信
 
最後は、面積によるイメージで仕上げる。

長方形を縦線と横線で4つに分割する。但し、線が歪んでいて4つの面積は均等ではない。


縦線よりも左側を「左領域」、右側を「右領域」と名付ける。
横線よりも上側を「上領域」、下側を「下領域」と名付ける。

上領域で左領域を「左-上領域」と名付ける。他も同様。

左-上、左-下、右-上、右-下、の4つの領域の面積比は、5:3:7:4とする。

この長方形に石を落とす。どこに落ちるかは全くランダムで、各領域に落ちる確率はそれぞれの面積に比例する。

左領域に落ちたときに、それが上領域である確率は?

このように問題を出すと、5/(5+3)=5/8と正しく出せる。そしてこれが「その1」の問題と本質的に同じだと分かれば、条件付き確率は理解できたことになる。

教科書的説明だと、

【左上領域に落ちる確率】=
【左領域に落ちる確率】×【左領域に落ちた場合の上領域の落ちる確率】

【左領域に落ちた場合の上領域の落ちる確率】=
【左上領域に落ちる確率】/【左領域に落ちる確率】

として、

(5/19)/(8/19)とすることになるが、面積によるイメージで捉えていれば、直接5/8を求めることが出来る。

  • [23]
  • 条件付き確率の教え方 その3

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 4月28日(月)12時10分19秒
  • 編集済
  • 返信
 
「その1」の問題のイが易しくて、ウが難しいと感じられる原因は、時系列順序や因果関係にとらわれているからだと思われる。

だから、「後の結果から過去を推測することはありがち」ということで「朝、道路が濡れていたら、昨夜雨が降った可能性が高い」、と判断するというような事例を紹介して

「その1」の問題を「100億人が一斉に試行する」という場合で考えてもらう。


ウ 取り出したのが赤玉だったとき、Aから取り出した確率は?


これは、

「100億人が一斉に試行した。赤玉を取り出した人にだけ全員手を挙げてもらう。挙手したうちの1人を無作為に選んだときに、この人がAから取り出した確率は?」

と読み替えることが出来る。こうすると考えやすくなる。

  • [22]
  • 条件付き確率の教え方 その2

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 4月28日(月)12時03分15秒
  • 編集済
  • 返信
 
そこで以下のような問題に変えてみる。



表に「A」か「B」、裏に「ア」か「イ」が書かれている4種類のカードがそれぞれいくつかあるとする。



A-ア 5枚

A-イ 3枚

B-ア 7枚

B-イ 4枚



問題1 1枚を無作為に取り出して表を見たら「A」だった。裏が「ア」の確率は?

問題2 1枚を無作為に取り出して裏を見たら「ア」だった。表が「A」の確率は?


こうすると、解ける場合が多い。そしてあらためて 「その1」の問題をやってもらうと、解けることが多い。

http://


  • [21]
  • 条件付き確率の教え方 その1

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 4月28日(月)11時52分14秒
  • 返信
 
Aの袋には赤玉3個・白玉2個、Bの袋には赤玉1個・白玉1個、サイコロを振って目が1か2ならAから1個、3~6ならBから1個玉を取り出す。

ア 赤玉を取り出す確率は?
イ サイコロの目が3だったときに赤玉を取り出す確率は?
ウ 取り出したのが赤玉だったとき、Aから取り出した確率は?



アとイはすんなり解けるが、ウで手こずる場合が多い。ウに関しては、「結果を知っている人による情報提供に作為がない」ことを明示する必要があるが、そのことを理解した上でも、ウは難しく感じる人が多い。

イもウも同じ「条件付き確率」だが、事象の起こった時間的順序や因果関係に惑わされてしまうようだ。

  • [20]
  • 条件付き確率の教え方 その0

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 4月28日(月)09時32分54秒
  • 編集済
  • 返信
 
ついでに私がどうやって条件付き確率を教えるかを書いておく。

「条件付き確率」というカテゴリーがあって、「こういう問題は条件付き確率というやつだから、こうやって求める」というのはうまい教え方とは思わない。チャートの解説をこれをやっていて、解説者がそもそも誤解してしまっている。


確率、和なのか?積なのか?

まず一般的な確率から。「または」だと和、「かつ」なら積、などというのは例外がいくらでもあるし、問題文の一部に着目させて式を決定するので、うまい教え方ではない。

「100億人が一堂に会して一斉にコインを投げる。表が出たのはほぼ何人?」、大雑把に50億人、全体の1/2と大抵分かる。

「今度はコインとサイコロを同時に投げた。表が出てかつ1の目が出た人は全体を1とするとどのくらい?」全体の半分が表で、そのうち1/6が1の目で1/12と分かる。

「表が出たか、または1の目が出た」、このあたりになってくると、間違えるケースも増えてくるが、全体を12分割して、条件に合うのがそのうちいくつかと考えることで、7/12と分かる。

 要するに、「確率」というと具体的に目に見えないが、「100億人が一斉に試行を行う」とすることで、「そのうち半分が表を出した」という具合にイメージしやすくなる。

 「こういう場合は足し算、こういう場合は掛け算」などと逐一覚える必要はなく、このイメージを手掛かりに考えればいいだけ。

http://


  • [19]
  • 数研出版 確率の問題 その4

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 4月28日(月)09時14分52秒
  • 編集済
  • 返信
 
4stepでの「正解」は、2/15なので、これは

「出題者は、解釈Bのつもりだったが、問題文が曖昧になってしまった」、と考えるのが普通だろう。

解釈Aのつもりで、その確率を2/15と認識している などということはないと思う。

が、果たしてそういいきっていいのかどうかわからない。


青チャート新課程版第4刷 平成24年2月10日発行
https://pbs.twimg.com/media/BmN8822CEAEYgPm.jpg

問題 硬貨2枚を同時に投げる。少なくとも1枚は表であるとき、2枚とも表である確率を求めよ。


「解説」から抜粋  赤字などによる強調は積分定数が行った。

区別の付かない硬貨a,bをなげたところ、どちらか1枚はテーブルの上に表が出た状態で落ちたが、もう1枚は床に落ちて表か裏かが確認できない。このとき、「テーブルに落ちた1枚が表である」という条件のもとで、「床に落ちた1枚が表である」確率を考える。
これは、問題で要求された条件付き確率と考えられる。
よって、少なくとも1枚が表である{表a,表b},{表a,裏b},{裏a,表b}を全事象として確率を求めればいい。





「条件付き確率」という用語をあからさまに出してきて「とにかくそういうものがある」という解説であり、説明が下手である。

しかし、下手とか上手とか言う以前に、間違ったことが書いてあるわけで、数研出版は確率を理解していないではないかという疑念が生じてしまう。

  • [18]
  • 数研出版 確率の問題 その3

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 4月28日(月)08時47分36秒
  • 返信
 
問題文改良案


解釈A

「2枚のうち無作為に1枚を選んでみたらハートだった」でも誤解はないだろうが、情報開示に作為がないことを示すように以下のようにしてみた。

ジョーカーを除く1組52枚のトランプから2枚のカードを同時に抜き出し、裏側にしてテーブルの上に置く。そのうち1枚を無作為に取り出して見てみたらハートだった。残りの1枚もハートである確率を求めよ。



解釈B

こちらは、情報開示に作為がないことを明確にするには込み入った説明になってしまう。

ある人がジョーカーを除く1組52枚のトランプから2枚のカードを同時に抜き出す。この人は、取り出した2枚について、「少なくとも1枚はハート」なのか、「ハートは1枚もない」なのかを正直に申告しないとならない。そして「少なくとも1枚はハート」と申告した。残りの1枚もハートである確率を求めよ。

  • [17]
  • 数研出版 確率の問題 その2

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 4月28日(月)08時34分49秒
  • 編集済
  • 返信
 
「2枚のうち無作為に1枚を選んでみたらハートだった」
「2枚を確認したら、少なくとも1枚はハートだった」

という問題文にすれば曖昧さは回避できるかというと、そうとも言えない。

確率の問題で、特に“条件付き確率”と称される問題では、情報の一部が開示された上で、確率を求めるケースが多い。

そして、文面が「結果を知っている人が、情報の一部を開示している」というようになってしまっている場合がありがちである。

 この場合、数学の問題ではなくなってしまう場合がある。

分かりやすい例で説明する。


AとBがゲームをする。



袋アには赤玉が1個、青玉が9個入っている。
●●●●●●●●●

袋イには赤玉が9個、青玉が1個入っている。
●●●●●●●●●

Aはサイコロを1回振る。
奇数が出たら袋アから無作為に1個取り出す。
偶数が出たら袋イから無作為に1個取り出す。

Bはこの様子を見ないで、Aが振ったサイコロの目が奇数か偶数かを当てる。Aはなるべく当てられたくないとする。

という状況で、Aが「取り出した玉は赤だった」と言ったとする。嘘は付かないとしておく。


この場合、「Aは取り出した玉の色を言わなければならない」というのが予めルールとして決まっているのであれば、サイコロの目が奇数の確率は1/10、偶数の確率は9/10である。

しかし、「Aは取り出した玉の色を言っても言わなくても良い」となると、「結果を知っている人が恣意的に情報の一部を開示している」ことになり、数学として確率を計算することは不可能。

「赤玉を取り出したのなら、袋イから取り出した可能性が高い、と考えがちだが、そうであればわざわざ『取り出した玉は赤だった』と言うだろうか?むしろこれは、袋アから取り出したからこそ、そういっているのではないか?という程度のことを俺が考えることぐらい、Aも予想するだろうか、その裏をかいて実はやっぱり袋イから取り出して・・・」

となってしまう。


有名な、「モンティーホール問題」も、「司会者は必ずハズレを開けることになっている」という前提が重要なのに、そこが曖昧な文面がある。「必ずハズレを開ける」と「無作為に開けたらハズレだった」では確率が異なってくる。さらに、司会者の行動が事前に決められていたのかどうかが曖昧な場合もあり、そうなると上記のように確率の計算は不可能である。

  • [16]
  • 数研出版 確率の問題 その1

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 4月28日(月)08時03分48秒
  • 編集済
  • 返信
 
「2枚のうち1枚がハートであったとき」の意味が曖昧である。

解釈A「2枚のうち無作為に1枚を選んでみたらハートだった」

この場合、12/52=4/17 となりそうである。



解釈B 「2枚を確認したら、少なくとも1枚はハートだった」

この場合、2/15 となりそうである。


解釈C 「2枚を確認したらそのうち1枚だけがハートであった」

この場合、確率は0となる。


解釈Cは日常言語の解釈としてはありがちだが、数学ではそのような解釈はしないのがお約束。「2人のうち1人は未成年です。」であれば「もう1人は成人」と解釈するのが普通だが、数学で「自然数xとyがあり、このうちxは偶数である」としても「yは奇数」かどうかは不明。


ちなみにこの問題集では2/15を「正解」と扱っているので、解釈Bということかもしれないが、問題文が杜撰である。

http://


  • [15]
  • 数研出版 確率の問題 その0

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2014年 4月28日(月)07時46分33秒
  • 編集済
  • 返信
 
確率は題意が不明確な、問題な問題、が多い。

4step数学A(2012年)第1章場合の数と確率 126
https://pbs.twimg.com/media/Bl-0nW0CcAAh3Nq.jpg

ジョーカーを除く1組52枚のトランプから2枚のカードを同時に抜き出す。2枚のうち1枚がハートであったとき、残りの1枚もハートである確率を求めよ。


  • [14]
  • やっつけ仕事

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2013年 7月19日(金)08時03分36秒
  • 返信
 
>>12

>「太陽が西から昇った。」

バカボンのパパなら、「これでいいのだ!」と言いそうだけど、

「太陽が東から昇った。」はどうだろうか?「東から上るのは言わずもがなだから、敢えて言うのはおかしい」とか、難癖を付けることもできるかも。

「北向きの日当たりのいい部屋です」、南半球の不動産のチラシならあるかも。


> 特に問題ない文と文法間違いや意味不明文がある。

「間違った文」とういことで、レベルの違うことを一緒くたにしているのはまずいでしょうね。

数学で言うと、「7<3」は偽の命題、「5+=>」は真偽以前に命題ではない。この2つをごっちゃにするようなもの。

 色々なところが問題を作っているけど、やっつけ仕事だと思わざるをえないのが時々あります。

 教科書の文を虫食いにして、言葉を埋めるとか。理解していても、教科書を一字一句覚えてないと正解できない。

 中学校の理科で、アサリだかハマグリがべろ(斧足)を出している絵があって、「特徴を書きなさい」、正解は「節がない」。

 「何じゃそりゃ?」と思ったけど、教科書に、節足動物は節があるのに対して、軟体動物は節がない、というようなことが書いてあって、そこから出題したらしい。2つを並べて、比較するならともかく、二枚貝単独で出してきて、「特徴は?」という問題で「節がない」という答えを期待する出題者の感覚を疑ってしまう。

 2つの力の合力が、平行四辺形の対角線となるというような記述があって、この法則の名称を問う問題もあった。「平行四辺形の原理」とかなんとか書いてあった記憶があるが、このような出題をする異議は何か、なんて考えてないなくて、おそらく教科書か何かにそんな言葉があって、それをテキトーに出題したんだと思う。


 この傾向が算数でもあるらしく、立方体の体積=( )×( )×( )、これを、縦・横・高さだとバツで、一辺×一辺×一辺 という教科書通りの公式を記述させたり、

 式変形が示されていて、「どのきまりをつかいましたか?」と問い、分配法則や結合法則に該当する言葉を選択させる問題もあった。

 本当に理解してしまうと、分配法則や結合法則など意識しないで自然に使いこなせるようになるから、かえって答えられないと思う。

  • [13]
  • 厳密に「0.999…=1」なのは、あまり知られていないのかな?

  • 投稿者:K.K
  • 投稿日:2013年 7月18日(木)18時45分0秒
  • 返信
 
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/8181138.html?pg=0&isShow=open

なんてのを質問掲示板で見かけたのですが。よく見る、「0.999…=1でいいの?」という質問です。

 回答の中には「0.999…≠1」とするような見解も見られます。もしかすると、可算無限と実無限みたいなことを考えて、1ではないとしているのかもしれませんが(そういう議論だと、立ち入りたくない)。

 0.999…=1が厳密に正しいというのは、割と知られていることだと思ってましたが、もしかするとちょっと違うのかも。少し意外でした。

  • [12]
  • 国語ですが(筒井康隆のエッセイだったと思う)

  • 投稿者:K.K
  • 投稿日:2013年 7月16日(火)21時31分32秒
  • 返信
 
 筒井康隆だったはずですが、本を捨ててしまっており、記憶のみです。

 筒井氏のお子さんが小学校で解いた国語のテストで「間違った文にペケを付けましょう」という問題があり、特に問題ない文と文法間違いや意味不明文がある。その中に、

「太陽が西から昇った。」

とあり、ペケを付けなかったら不正解とされた。なんでも「太陽は西から昇らないから」が理由だったとのこと。

 筒井氏は猛烈に怒ったそうです(学校に苦情を言ったかどうかは不明)。これは理科じゃなく国語だ、国語にはそういうあり得ないことを述べる技法がある、と。

http://www.yomiuri.co.jp/kyoiku/special/chokugen/20091126_04.htm

 ここでは、算数の問題として「食塩水の濃度の問題で40%という設定が、有名中学校の入試問題でいくらでも」あったとして嘆いています。理科的には40%の濃度の食塩水は作れない、と。

 こちらの方はどうなんだろうな、とちょっと悩みます。あり得ないと知っている生徒は悩むということは分かる。40%の食塩水が実際にあり得ると思ってしまうことは心配ではある。しかし、あり得ないことでも計算できるのが算数だとも思う。実用のツールとしての算数は予測するという性格も持つ。予測が現実と合わないとき、それは何かを考えることはよくある。

  • [11]
  • Re: つるかめ算の整数への拡張?

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2013年 7月16日(火)08時42分59秒
  • 返信
 
>>10
>  おそらくは、それに尽きます。そして明文化できないものですね。塩梅などとも言い、ノウハウと表現したりもする。

ところが、明文化したとたんに、それが一人歩きして、「こうでなければならない」となってしまう。

 あるいは、相手の意見を、程度を度外視して敷衍して、「こんな馬鹿げたことを主張している」と批判する藁人形叩きもありがち。

「4人に3個ずつ蜜柑を配る場合、4×3でも正しい」というのに対して、「数学的に正しければ何でも構わないと言うのなら、答えをlog24096と書いてもいいのか?」とか言い出す人が、掛け順論争でしばしば出没する。自分では何か素晴らしい考えを思いついたと思っているようである。

  • [10]
  • Re: つるかめ算の整数への拡張?

  • 投稿者:K.K
  • 投稿日:2013年 7月15日(月)14時07分35秒
  • 返信
 
>>9

>  このあたりは程度問題かな。

 おそらくは、それに尽きます。そして明文化できないものですね。塩梅などとも言い、ノウハウと表現したりもする。

 それができれば、大きな問題、あるいは解決の難しい問題は起きないでしょう。

  • [9]
  • Re: つるかめ算の整数への拡張?

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2013年 7月15日(月)09時16分5秒
  • 返信
 
>>8

 まあそれ以前は解けなかったのが、方程式で解ける、といこと自体が方程式のすごさだから、必ずしも「それ以前も解く」必要はないでしょうね。

 このあたりは程度問題かな。

 余裕がある子であれば、鶴亀算から、ヒトデ蛸算から、さらに、脚の数を色々変えた謎の生き物、までやっていいと思う。

 実際、すごくできる子(飲み込みが早いという意味ではなくて、自分で試行錯誤して長時間考えて正しい結論を出す)にはそう教えていました。負数までは思いつかなかった。

 最終的には、「脚の数がa本の生き物とb本の生き物が、合わせてx匹いて、脚の数の総計がy本である。それぞれ何匹か?」も解くことができました。

 ここまで行かなくても通常の鶴亀算で、「全部が鶴だとしたら・・・」と試行錯誤して考えるということは、数学をやっていく上で必須の経験だと思います。

 遠山啓は、鶴亀算などを小学生にやらせることに批判的でした。「あんなものは、やり方を覚えるだけだから思考訓練になんかならない」と言うのですが、「やり方を覚える」からそうなってしまうだけで、鶴亀算自体が悪いわけではない。


遠山啓は、

http://ameblo.jp/metameta7/entry-11487463636.html
>遠山は『教師のための数学入門』(1960年、国土社)のなかで、流水算をこう批判している。
「もちろん内包量も加法は可能なのであるが、それは合併による加法とは別の意味の加法なのである。たとえば速度の加法などは相対速度からくる加法と減法であって、合併とは関係ないものである。(中略)流水算は速度という内包量の和や差を問題にしている。(中略)小学校で流水算などをやるのはやめにしたいものである。」(同書150~151頁)

とも言っていて、

自分の算数教育理論と合致しないものを、「難問奇問批判」に絡めているように思えるのですがね。

  • [8]
  • Re: つるかめ算の整数への拡張?

  • 投稿者:K.K
  • 投稿日:2013年 7月15日(月)08時22分8秒
  • 返信
 
>>7

> 程度問題ではあるけど、方程式をやる以前に鶴亀算をやるという類のことは、私は否定的ではない。もちろん限度はあるけど。

 もちろん、文字変数・定数のないときの不便さ(しかし速く解ける凄さ)と比べるのはいいことでしょうね。それなら、問題を解かせずに、解き方を説明すればいいと考えます。忘れたもの、あるいは結局は理解できなかったものについて、良い別法があるときに、解けることを要求すべきではありません。

  • [7]
  • Re: つるかめ算の整数への拡張?

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2013年 7月15日(月)00時17分41秒
  • 返信
 
>>4
>  こんな問題解くより、さっさと文字式の扱い方を学んだ方がいいと思うのですが。算数の数多ある難算は忘れていい。

程度問題ではあるけど、方程式をやる以前に鶴亀算をやるという類のことは、私は否定的ではない。もちろん限度はあるけど。

この場合はこうなって、こっちを1つ増やして、・・・、そうやって試行錯誤して徐々に抽象化・一般化していく。その過程というのは、教育的効果が大きいと思うのです。

 で、文字式を自分で思いつくまではなかなか行かないにしても、こういうところで苦労することで、文字式が空中楼閣ではなくて、これまでやって来たことと地続きであることを実感できるし、文字式のありがたみも分かる。

 塾で積分を教えるときも、敢えて区分求積からやるようにしている。

 そこで定積分の感覚をつかみ、区分求積の苦労が、積分ではかなり軽減されることが実感できる。

 現状の高校カリキュラムだと、微分の逆演算として不定積分、を最初にやって、これが定積分で面積を求めることもできるとしたあとで、数列の総和を利用した区分求積と一致するとやるので、

 区分求積が、「既にもっと簡単な方法で面積を計算できるにも関わらず、あえて面倒な方法で求める」ということになってしまい、モチベーションが上がらない。

 y=x^2のグラフの面積を求める方法として、区分求積しかないという状況なら、苦労してでも計算しようと言う気になる。

  • [6]
  • 「存在する条件」系も曖昧なのが多い

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2013年 7月15日(月)00時05分39秒
  • 編集済
  • 返信
 
高校生が使っていた問題集から

定数aを含む2次式f(x)が与えられていて、「f(x)=0の解が、0以上5以下の範囲に存在するaの範囲を求めよ」という問題。

0以上5以下の範囲に少なくとも一つ解があるaの範囲、なのかと思いきや、2つとも0以上5以下の範囲にaの範囲が正解とされていた。

 こういうところを配慮できない、

「f(x)=0の解が、0以上5以下の範囲に存在する」の意味は「2つの解が両方とも、0以上5以下の範囲に存在する」と考えるのが当たり前

と言う人は、数学をきちんと理解していないのだと思う。そういう人が問題を作ってはいけないと思う。



  • [5]
  • 順列・組み合わせ・確率は、曖昧な問題が多い

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2013年 7月14日(日)23時57分45秒
  • 編集済
  • 返信
 
 例外的な特殊な場合にまで配慮が行かない、というのは確かにありがちではあるのだけど、

 それとは別に、「数学の問題作る以上は、そこは神経使って問題作れよな」と言いたくなるのもあります。

「10回コインを投げて、3回表が出る確率」

「少なくとも3回」なのか?「ちょうど3回」なのか?

おそらく後者の意味なんだろうが、「3回表が出るというのなら、4回の場合は考えないのが常識だ」などとふんぞり返るのではなく、多義性を極力排除するように書いてほしい。大した手間ではないのだから。

 順列・組み合わせや、確率の問題は、この手の杜撰なのが多い。

 有名なモンティーホール問題も、司会者がハズレの扉をあけるという部分の描写が曖昧なのが多い。

 司会者は意図的に必ずハズレを開けるのか、無作為に開けたところハズレだったのか、それによって確率が変わってくるのだが、

 そこの部分をよく分かっていない人が問題を説明すると、曖昧になってしまう。

http://www.shiozawa.net/fukuzatsukei/monti_hall.html
>回答者である番組参加者は、3つの扉の一つを選ぶ。その背後には、当たりである商品とはずれである、たとえばアヒルのおもちゃが隠されている。
回答者が扉Aを選んだ。モンティは、それを伏せたまま、第二の扉、たとえば扉Cを開く。そこには、アヒルのおもちゃがあった。そこで、モンティは回答者に、もう一度、選択し直すことを提案する。回答者は、扉Bに選択し直すことが有利であるか。


>モンティは、それを伏せたまま、第二の扉、たとえば扉Cを開く。そこには、アヒルのおもちゃがあった。

これだと「モンティ(司会者)が、無作為に開けたら、アヒルだった」とも解釈できる。

  • [4]
  • つるかめ算の整数への拡張?

  • 投稿者:K.K
  • 投稿日:2013年 7月14日(日)01時34分50秒
  • 返信
 
 >>1で紹介した問題は、Mさんのお察しの通りのことを設問者が思っていたのではないかと思います。積分定数さんの仰る「出題者のマナー」を守れなかったのは、自分のイメージから出てきた言葉が、別の結果も意味することができるということに気が付かなかったせいかと。

 その辺りに問題が潜んでいるような気がします。思い込みということと、大きく重なる部分があり、私もしばしばやってしまうミス、見落としです。

 別の困った問題が以下です。中学数学でつるかめ算をやっています。一応、マイナスの数絡みではあるんですが、技法としては小学算数。


http://oshiete.goo.ne.jp/qa/8064913.html
>中学一年の数学を教えているのですが、手持ちのテキストに載っているある発展問題を教えるにあたって困った事になっています。以下、その問題です。

>「コインを投げて、表が出たら3点、裏が出たら-(マイナス)5点と決めて、A、Bの二人が7回ずつ投げる。AとBの合計点が-(マイナス)6点の時、次の問いに答えよ。

>AとBは、合計で表と裏を何回出したか。 」

>「解答:
>AとBが合計で投げられる回数は、7×2=14回。
>全て表が出た場合、二人の合計点は、3×14=42点。
>表が出る回数が1回減る毎に、A、Bの合計点は8点ずつ減っていく。
>よって、【42-(-6)】÷8=6
>裏の出た回数は6回。
>14-6=8なので、表が出た回数は8回。
>A.表が8回、裏が6回。 」

>現在手元にテキストがないので復元したものですが、大体こんな感じです。
>この問題はまだ文字式に入っておらず、この問題は正負の数で扱われています。

 こんな問題解くより、さっさと文字式の扱い方を学んだ方がいいと思うのですが。算数の数多ある難算は忘れていい。

  • [3]
  • Re: 答えがいくつもある中学入試問題(OKWAVWより)

  • 投稿者:M
  • 投稿日:2013年 7月13日(土)13時02分33秒
  • 返信
 
>>1
>  解が複数あるように思います。「1)75g、2)6%」というのは計算して出てくるみたいです(自分ではやってません)。
>
>  他に、回答の中で指摘されているように、B、Cの中身を全部Aに入れちゃうというのが一つ。「1)100g、2)6%」
>
>  さらに、Cからは0g(Aに全く移さない)、Bは全部Aに入れるというのがあるんじゃないかと。「1)0g、2)10%」
>
>  要は、AとBの濃度が等しくなればいいので。設問者は「それぞれ何gかずつ、と書いたら全部でも0でもない」という風に考えているのかな。そうだとしたら、ちょっとそういうことは明示的に書いて欲しいような気がします。

文章の隅々まで読み直すと

>残っている食塩水とかかき混ぜたところ、

と書いてあるので、B、Cの残りはゼロでないというつもりなのかもしれません。
残ってなければ「残っている食塩水とかき混ぜた」という操作はできない。

しかし、かき混ぜる操作をするときには既にAからの戻しが終わったあとであり、
残量があってもなくてもその時点では見分けがつかないので
念のため残量があった場合のことを考えて均一にするためにかき混ぜているのかもしれない。


入試だと正解は発表されないことが多いので真相は藪の中ですが
「全量移した」という答えももしかすると正解にしているかもしれません。


  • [2]
  • Re: 答えがいくつもある中学入試問題(OKWAVWより)

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2013年 7月13日(土)12時48分34秒
  • 返信
 
>>1

これって、そもそも確定するには条件が少なすぎると思って、BからAへ移した水の質量をx、CからAへ移した水の質量をyにして方程式を解くと

(x-100)(y-75)=0  で、x=100 または y=75 になるのですね。

算数的にはどうやるのかは知らないけど。

明確な出題ミスだと思います。あるいは、質問者が見落としている原文の重要情報があるのかな?


>要は、AとBの濃度が等しくなればいいので。設問者は「それぞれ何gかずつ、と書いたら全部でも0でもない」という風に考えているのかな。そうだとしたら、ちょっとそういうことは明示的に書いて欲しいような気がします。


これは広い意味での「正方形は長方形?」問題だと思います。

10人を2部屋に分ける方法は何通りか?どちらにも最低1人はいないとならないのかどうか?そういう、数学の理解とは無関係な言葉の綾で悩まないように出題するのが、出題者のマナー。

 解答する側に対しては、「わかりやすく書くように」だとか、「その数値はどこから出てきたのか分かるように」などと、注文を付けるのに、出題する方が杜撰なことが多々あります。

  • [1]
  • 答えがいくつもある中学入試問題(OKWAVWより)

  • 投稿者:K.K
  • 投稿日:2013年 7月13日(土)12時24分29秒
  • 編集済
  • 返信
 
(『◇数学に関する雑談専用スレッド』より移動 by K.K)

 パッと見で「あれ?」と思ったものがありました。

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/8172962.html
>問・3つの容器A,B,Cにそれぞれ3%、6%、10%の食塩水が100gずつはいています。
>容器B,Cの食塩水からそれぞれ何gかずつ取り出して、容器Aに入れかき混ぜ混ぜました。
>次ぎに容器B、Cから取り出したのお同じ量の食塩水を、容器Aから取り出してそれぞれの容器に戻し、残っている食塩水とかかき混ぜたところ、容器AとBの食塩水の濃さが同じになりました。
>この時次の問に答えなさい。
>1)容器Cから容器Aに入れた食塩水は何gですか。
>2)戻した容器Cの食塩水の濃さは何%ですか。

 解が複数あるように思います。「1)75g、2)6%」というのは計算して出てくるみたいです(自分ではやってません)。

 他に、回答の中で指摘されているように、B、Cの中身を全部Aに入れちゃうというのが一つ。「1)100g、2)6%」

 さらに、Cからは0g(Aに全く移さない)、Bは全部Aに入れるというのがあるんじゃないかと。「1)0g、2)10%」

 要は、AとBの濃度が等しくなればいいので。設問者は「それぞれ何gかずつ、と書いたら全部でも0でもない」という風に考えているのかな。そうだとしたら、ちょっとそういうことは明示的に書いて欲しいような気がします。

 これは、

>明治大学明治中の入試問題です・・・

なんだそうです。




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