• [0]
  • 数学に関する雑談専用スレッド

  • 投稿者:くろきげん
 
算数数学教育に関する話題の中に数学に関する雑談が混じることは健全だと思う。
しかし、趣味に走って暴走したくなる場合もあるだろう。
そのような場合に遠慮なく書き込めるスレッドがあると便利である。
このスレッドはそのような場合に使うことにしましょう。

使い方の例1:
他のスレッドで数学に関する雑談が出たときに、
数学的な方向に暴走したくなったらこのスレッドに引っ越す。

使い方の例2:
他での話題と無関係に数学に関係した話をふりたくなったらこのスレッドを使う。

投稿者
題名
*内容 入力補助画像・ファイル<IMG>タグが利用可能です。(詳細)
URL
sage

  • [122]
  • Re: 場合の数について。

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2017年 4月26日(水)14時24分2秒
  • 返信
 
>>121

問題の意味がよく分からないのですが、図などを使って説明していただけるとありがたいです。

  • [121]
  • 場合の数について。

  • 投稿者:コルム
  • 投稿日:2017年 4月26日(水)07時01分0秒
  • 返信
 
直線α上に、点が6個、直線β上に、点が3個ある。
ただし、2直線とも平行である。
αとβは必ず1回は、結ぶ。
結ばない点や、重複するようには結ばないとする。
何度も投稿してすみません。問題を作ってきました。解いていただけないでしょうか?
(1)全部で何通りあるか。
(2)g,h,iに2本ずつ線を引くのは、何通りあるか?
(3)hに4点集まるのは、何通りあるか?
(4)iに点が少なくとも2本集まるのは何通りあるか?
(5)gに点が3点集まるのは、何通りあるか?
(6)gは、b、c、d以外の点で結ぶのは、何通りか?
大変恐縮ではございますが解答していただけると幸いです。
誠に、申し訳ございませんでした。

  • [120]
  • Re: 参考URL

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2017年 1月 6日(金)11時34分43秒
  • 返信
 
>>119
> これかなぁ
> http://www.ne.jp/asahi/tokyo/nkgw/gakusyu/hadou/hansya/hansya-setumei.pdf

ありがとうございます。大体私と似たようなことをしていますね。自分の考えが的外れではないことが分かりました。

光のところは類推になっちゃうのですね。

  • [119]
  • 参考URL

  • 投稿者:kankichi573
  • 投稿日:2017年 1月 5日(木)23時44分48秒
  • 返信
 
これかなぁ
http://www.ne.jp/asahi/tokyo/nkgw/gakusyu/hadou/hansya/hansya-setumei.pdf

http://www.ne.jp/asahi/tokyo/nkgw/gakusyu/hadou/hansya/hansya-setumei.pdf


  • [118]
  • 波の反射での位相のずれ その4

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2017年 1月 5日(木)17時10分27秒
  • 返信
 
そうすると、Kが一定で線密度が不連続に変化するときはλが正になるか負になるかは波の速さだけに依存するが、Kが不連続に変化する場合は速さだけからは判断できないことになる。

両方が不連続で変化する場合も速さだけで判断は出来ないだろう。


私が高校で習った記憶だと、屈折率が大きいところから小さいところにいくときの反射では位相のずれが起こる、と教わった記憶があるが

屈折率は光の速さの逆数に比例するはずで、屈折率が大きいところから小さいところ と は光の速さが遅いところから速いところ は同義となるわけだが

バネの縦波のアナロジーで考えると、Kの不連続な変化の場合にはこうはならない。


物質内の光の挙動、電磁波を生み出す波動方程式がどうなっているのか、境界面での制約はどうなっているのかが分からないので、

これ以上はよく分からなかった。

知っている人がいたら教えてほしい。

  • [117]
  • 波の反射での位相のずれ その3

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2017年 1月 5日(木)17時00分6秒
  • 返信
 
今度は線密度が一定でKが不連続に変化する場合を考える。
xが正だとA xが負だとBとする。

線密度が不連続な場合と大体似たような話になるが、x=0での制約が

f(0,t)=g(0,t)
A∂f(0,t)/∂x=B∂g(0,t)/∂x

となる。

f(x,t)=h(x-ut)+λh(-x-ut)
g(x,t)=μh(u(x-vt)/v)

としてこの条件を満たすようなλとμを求めると

μ=2Av/(Av+Bu)
λ=(Av-Bu)/(Av+Bu)

となる。

  • [116]
  • 波の反射での位相のずれ その2

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2017年 1月 5日(木)16時42分55秒
  • 編集済
  • 返信
 
Kが一様で、線密度はxが負だとa、xが負だとbと言う具合にx=0で不連続に変化するとする。

xが負のときの変位をf、正のときの変位をgとすると

x:負 a∂^2f(x,t)/∂t^2=-K∂^2f(x,t)/∂x^2
x:正 b∂^2g(x,t)/∂t^2=-K∂^2g(x,t)/∂x^2

という具合になる。

x=0で両者は等しくないとならないので、f(0,t)=g(0,t)

またどの点においても、左右の力はつり合っていないとならない。そうしないと質量0のところに力がかかることになり加速度が無限大となってしまう。

x=0においても同様。

だから、K∂f(0,t)/∂x=K∂g(0,t)/∂xが成り立たないとならない。


これを踏まえて、左からやってきた波がx=0でどのようになるのかを考える。おそらくx=0で波は反射するのと速度を変えてそのまま右に進むのに分かれるだろう。

xが負での波の速さ√(K/a)をu
xが正での波の速さ√(K/a)をvとする。

h(x-ut)という波がx=0で反射してλh(-x-ut)
xが正の領域ではμh(u(x-vt)/v)

という具合になるはず。

そうすると、xが負の領域ではh(x-ut)+λh(-x-ut)
正の領域ではμh(u(x-vt)/v)となるが、

x=0における制約から

1+λ=μ
1-λ=μu/v

となる。

ここからμ=2v/(u+v) λ=(v-u)/(u+v) となる。

v<uだとλが負になる。

反射波の位相がπずれるというのは多分これじゃないかと思う。

「位相のずれ」というのが不思議だったが、正弦波だとそうなっている(ように見える)と言うだけのことで、その正体は「変位が逆になる」ということだと思う。







  • [115]
  • 波の反射での位相のずれ その1

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2017年 1月 5日(木)16時07分8秒
  • 返信
 
ρ∂^2f(x,t)/∂t^2=-K∂^2f(x,t)/∂x^2 は、ρとKが一様であることが前提

これらがxの滑らかな関数になっているとしたら、

ρΔx∂^2f(x,t)/∂t^2=-K∂f(x,t)/∂x+K∂f(x+Δx,t)/∂x
の部分が

ρ(x)Δx∂^2f(x,t)/∂t^2
=-K(x)∂f(x,t)/∂x+K(x+Δx)∂f(x+Δx,t)/∂x

となるので、

ρ(x)∂^2f(x,t)/∂t^2=-∂(K∂f(x,t)/∂x)∂x

となる。


一般解はおろか、ρ(x)やK(x)が一次式の場合の非自明な特殊解すら求めるのは難しそうなので、一旦あきらめる。

このあたり、知っている人がいたら教えてほしい。


  • [114]
  • 波の反射での位相のずれ その0

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2017年 1月 5日(木)15時59分44秒
  • 返信
 
 高校時代に物理を勉強していて、特に波のあたりは天下り的に「こうなっている」というのが多くて、腑に落ちないことがあった。反射やその際の位相のずれもそう

 これを、運動方程式からきちんと導けないだろうか?と考えてみた。

 で、波の中で運動方程式から波動方程式が導かれるのって、私が自分なりに理解したのは、バネを伝わる縦波、とその派生である音だけなんだよね。

 それしかないからそこから考察を進める。

 ばね定数kで長さがLのバネを2本直列につなげたら、ばね定数はk/2
 半分にちょん切ったらばね定数は2k

というのは容易に求められる。つまりばね定数は長さに反比例する。
長さLだとばね定数はK/Lだとする。

そうすると、LのバネがR伸びると、力はKR/Lとなる。

そうすると、バネの力は伸び率に比例するとも言える。

バネの線密度をρとする。

このバネが自然な状態で静止しているとして、基準点を0として数直線のように目盛りが付いているとする。

バネが伸縮して、時刻tで、自然な位置xからどの程度ずれているかをf(x,t)で表すとする。

x~x+Δx の破片に注目して運動方程式を立ててみる。

質量はρΔx 加速度は∂^2f(x,t)/∂t^2

xの部分で受ける力は-K∂f(x,t)/∂x
(力は伸び率に比例する。伸び率が正なら左端は左に引っ張ることになる)

x+Δxの部分で受ける力はK∂f(x+Δx,t)/∂x

つまり、ρΔx∂^2f(x,t)/∂t^2=-K∂f(x,t)/∂x+K∂f(x+Δx,t)/∂x

ここから、ρ∂^2f(x,t)/∂t^2=-K∂^2f(x,t)/∂x^2

波動方程式の完成。

一般解はf(x-vt)+g(x+vt) v=√(K/ρ)






 

  • [113]
  • 対称性を崩さずに求められないか?

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 8月27日(土)16時18分31秒
  • 編集済
  • 返信
 
>>112

これは最終的な形は綺麗になったが、求める際は一旦xとyのみとしている。

今度はx、y、zの対称性を崩さないまま求めてみる。


p+q+r=1 x+y+z=0

分子=n*n!*p^(np+x√n)*q^(nq+y√n)*r^(nr+z√n)

分母=(np+x√n)!*(nq+y√n)!*(nr+z√n)!

n→∞ としたときの 分子/分母 の極限値を求める。

極限値をg(x,y,z)とする。

p+q+r=1 x+y+z=0 をうまく使うことで、


Δx、Δy、Δzは非常に小さいとして

g(x+Δx,y+Δy,z+Δz)
=g(x+Δx,y+Δy,z+Δz)*exp{-xΔx/p-yΔy/q-zΔz/r}となる。


ここから、両辺の対数をとってlogg(x,y,z)をK(x,y,z)とおくと

K(x+Δx,y+Δy,z+Δz)=K(x,y,z)-xΔx/p-yΔy/q-zΔz/r

ここで、x、y、zは独立ではなくx+y+z=0である。よって、Δx+Δy+Δz=0となっている。

だから、

ΔK=(-x/p,-y/q,-z/r)・(Δx,Δy,Δz)
よって、∇K=(-x/p,-y/q,-z/r)としていいのか若干躊躇があるが、


∇K=(-x/p,-y/q,-z/r)が成り立てば、任意の微小なΔx,Δy,Δzに対して、

ΔK=(-x/p,-y/q,-z/r)・(Δx,Δy,Δz)が言えるのだから、


Δx,Δy,Δzに制限があっても言える。


つまり ∇K=(-x/p,-y/q,-z/r)は十分条件。


だから、これが成り立つと仮定して求めても多分大丈夫だろう。

で、∇K=(-x/p,-y/q,-z/r)ならば、

K=-x^2/2p-y^2/2q-z^2/2r+c

これが求めたい関数の対数だから

求めるべきものは

Aexp(-x^2/2p-y^2/2q-z^2/2) となる。

  • [112]
  • 三項以上では?

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 8月27日(土)15時43分50秒
  • 返信
 
>>111 スターリングの公式だとうまくいかないのは私が何か考え違いをしているのか計算間違いをしているからであろう。分母の2は必須とのこと。

確率論Ⅱ
http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~tanemura/pdf/prob2_15.pdf

後でじっくり読んで勉強してみる。


気を取り直して、三項以上の場合を考える。三項で考えたら一般化は容易。


1と2と3の目だけが出るサイコロがあって、それぞれの確率がp,q,rだとする。p+q+r=1

ここでサイコロをn回振って1がnp+x回,2がnq+y回でる確率を考えれば三項分布になる。

で、二項の場合と同様、√nの補正をする。x→x√n、y→y√nとすることで、x軸方向、y軸方向が1/√n倍になるから、グラフの体積を一定にするために全体にかけるのは√nではなくてn

あとは二項の時と同様で微分で考えればいい。2変数だからそれぞれでの偏微分で考える。

結論は、Aexp{-(x^2/p+y^2/q+(x+y)^2/r)/2}となる。

x+y+z=0となるzを使えば、Aexp{-(x^2/p+y^2/q+z^2/r)/2}と綺麗な形になる。




  • [111]
  • Re: 二項分布から正規分布を求める 2

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 8月27日(土)11時09分57秒
  • 返信
 
>>110

スターリングの近似式
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%B0%E3%81%AE%E8%BF%91%E4%BC%BC

これを利用してみる。

p^(m^2+mx)*q^(m^2-mx)(m^2)!/{(m^2+mx)!*(m^2-mx)!}

この階乗の所にスターリングの公式をぶち込んでガチャガチャやる。

そうすると、何度やっても


{√(2πpq)}*exp(-x^2/pq)となってしまって、

g(x)=Aexp(-x^2/2pq) と異なる。

これはどこで間違えたのか????

  • [110]
  • 二項分布から正規分布を求める 1

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 8月27日(土)10時59分48秒
  • 返信
 
 以下、厳密性は抜きにして大雑把な説明。それから階乗は非負整数のみに定義されているが、ここでは、x!は、xを越えない最大の整数nの階乗として定義する。
つまりガウス記号を使えば、x!=[x]! 例 7.3!=7!


 まず、二項分布の式。


コインを投げて表が出る確率がp、裏が出る確率がqとする。p+q=1
n回投げたときの表が出る回数の平均値はnp
表が np+[x] 回出る確率をf(n,x)とする。

[x]としたのは、xが整数以外の値が入っても言いようにするため。
平均からのずれを変数としたのは、平均が0のまま固定しておきたいから。


f(n,x√n)√n

このnをどんどん大きくしたときどんな風になるかを考えてみるが、√がうっとうしいので、n=m^2とおいてしまう。

f(m^2,mx) m→∞を求めたい。

以下、この極限値が存在して、グラフは微分可能ななめらかなものであると仮定する。



f(m^2,mx)=
p^(m^2+mx)*q^(m^2-mx)(m^2)!/{(m^2+mx)!*(m^2-mx)!}


mはものすごく大きいとして、f(m^2,mx)のxをx+hに置き換えたら、f(m^2,mx)の何倍になるか見てみる。hは非常に小さいとしておく。


そうすると、

p^(mh)*q^(-mh)/{(m^2+mx)^(mh)*(m^2-mx)^(-mh)}

となる。階乗部分の処理は、mが極端に大きくて、hが極端に小さいとしていることからの近似式。

これは以下のように変形できる。

1/{(1+x/mp)^(mh)*(1-x/mq)^(-mh)}

m→∞とすると、exp(-hx/p-hx/q)となる。


そうすると、f(m^2,mx)の m→∞ とした極限値をg(x)とすると、


g(x+h)=g(x)exp(-hx/pq)

ここから、

{g(x+h)-g(x)}/h
=g(x){exp(-hx/pq)-1}/h
=g(x)*(-x/pq)

hが非常に小さいとしての近似式。

つまり、g’(x)=g(x)*(-x/pq)

ここから、g(x)=Aexp(-x^2/2pq)となる。

Aは、g(x)を-∞~∞で積分して1になるように調整すればいい。

  • [109]
  • 二項分布から正規分布を求める 0

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 8月27日(土)10時12分54秒
  • 編集済
  • 返信
 
 高校時代に統計で正規分布というのが出てきた。それまで数学は下から積み上げるように理解してきたので、唐突に天下りに出てくることに納得いかなかった。二項分布の試行回数を極端に大きくした極限だろうと言うことは予想がついた。

 大学時代は統計の単位を取らないでやり過ごしてしまった。正規分布はよく目にするので、どうすればこの式が出来るのか気にはなっていた。

 二項分布の試行回数を大きくすると、グラフがどんどん広がって山がつぶれてしまう。広がらないように両端を固定して相対度数でグラフを書くと、今度は一カ所が針のようにどんどんとがった形になってしまう。

 コインを投げて表が出る確率がp、裏が出る確率がqとする。p+q=1
n回投げたときの表が出る回数の平均値はnp
表が np+x 回出る確率をf(n,x)とする。これはx=0付近で最大になるが、n→0で0になってしまう。

 そうならないように、グラフを縦方向に1/f(n,0)倍し、グラフ全体の面積を1のままに保つために、横方向をf(n,0)倍する。

このグラフを改めてφ(n,x)とすれば、φ(n,0)=1であり、n→∞で何らかのグラフになり、これが正規分布になるのだろうと予想した。

 で試行錯誤して、確かに正規分布の指揮が出来ることに確信が持てた。


 その後、ふと、統計の初歩でやる分散を利用すればもう少し簡単にできそうだと気づいた。つまり、分散が一定になるようにグラフを補正すればいい。そのためには、二項分布のグラフに√nの補正をかければいい。

 気づいたら当たり前に見えてきた。二項分布そのものだとnを大きくすればつぶれてしまう。両端を固定したらとがってしまう。その丁度間が√nと言える。


 二項分布のグラフを縦方向に√n倍、横方向に平均値を中心に1/√n倍することで正規分布が得られる。

  • [108]
  • Re: 変分、解析力学に関する納得いかない説明

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 6月28日(火)13時36分15秒
  • 編集済
  • 返信
 
>>107
2変数α、βの関数、F(α、β)がある。
a≦x≦bを値域とするf(a)=p、f(b)=qと言う条件を満たしている関数f(x)を持ってくる。α=f(x)、β=f'(x)をFに代入してxの関数とみなして、a≦x≦bの範囲で定積分した値が最小となるfを探す。

これが変分の問題である。∫・・・dx これをここでは、a≦x≦bでの定積分を表すとする。


∫F(f+δf,(f+δf)')dx-∫F(f,f')dx としてあとはありがちな変分の解説どおりにすればいいのだが、

ここで、∂F/∂f だの ∂F/∂f' などと表記してしまうので、色々混乱してしまうのだと思う。(※)

∂F/∂fは、F(α、β)をαで偏微分して、α=f β=f'を代入したもの。
∂F/∂f'は、F(α、β)をβで偏微分して、α=f β=f'を代入したもの。

2変数関数f(x,y)で、y=x^2のときの最小値を求める場合に

df/dx=(∂f/∂x)+(∂f/∂y)(d(x^2)/dx) となるxを探せばいいのだが、
f(x,x^2)として、df/dx=(∂f/∂x)+(∂f/∂x^2)(d(x^2)/dx)
と書くのはかなり横着と言うか乱暴な書き方な気もするが、

∂F/∂f' という表記はそれに近い。

簡略化した表記は使い慣れていると便利だが、最初の段階や意味をきちんと考える場合は、煩わしいがより正確な表記に戻して考えたほうがいい。





(※)これに限らず、微積分は初学者には分かりにくい、理屈に合わないけれど簡単な表記で便利なので使われている記法が多い。
dx^2など典型。これが分母にあるか、分子にあるかで意味が異なっている。
d^2y/dx^2の場合、2階微分で(dx)^2の意味。
dx^2/dx=2x この場合は、dx(x^2)
さらに2階微分の分子d^2yのd^2は、「dという操作を2回行う」という意味。

分かりやすさのためには括弧をつけるべきだが、単純な書き方だからか、いちいちつけない流儀が流布している。


  • [107]
  • Re: 変分、解析力学に関する納得いかない説明

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 6月28日(火)13時07分59秒
  • 返信
 
>>106

a≦x≦bの範囲を定義域とする滑らかな2つの関数f、gを与えると、実数値を出してくる関数G(f,g)があるとする。Gも滑らかでf,gにごく近い関数を代入すると、G(f,g)にごく近い値が出るとする。

Gが最小値を取るようなf,gを求めるには、

G(f+⊿f,g+⊿g)-G(f,g)=λ(⊿f)+μ(⊿g) となるような線型写像λ、μが0になるようなものを求めればいい。

また、fが決まればgも決まるように拘束してあるとして最小値となるfを探すには、
⊿g=π(⊿f)という線型写像πを求めて、

G(f+⊿f,g+⊿g)-G(f,g)
=λ(⊿f)+μ(⊿g)
=λ(⊿f)+μπ(⊿f)
=[λ+μπ](⊿f)

として、λ+μπ=0 となるところを探せばいい。


冒頭の、「a≦x≦bの範囲を定義域とする滑らかな2つの関数f、g」で、f(a)とf(b)の値を固定しておいても同様のことになる。ただしその場合、関数⊿fはx=a、bで0となることになる。


以上を踏まえて、

G(f,g)として、∫F(f,g)dx(積分範囲はa≦x≦b)、g(x)=f’(x)という制約がある、という場合を考えれば変分の話になる。

  • [106]
  • Re: 変分、解析力学に関する納得いかない説明

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 6月28日(火)12時49分25秒
  • 返信
 
>>105

実ベクトル空間UとVの直積から実数への関数をφとする。φが最小値となるところを求めるには、

⊿φ=λ・⊿u+μ・⊿v となるλ、μを求めて、これらが0になるところを探せばいい。⊿uや⊿vはベクトルで、λ、μもベクトル。中黒・は内積を示している。

Uを決めるとそれに伴ってVも決まるとすると、
⊿v=π⊿uという具合に拘束されることになる。ここでπはU→Vへの写像というか行列というか、とにかく微視的には線型になる。

かなり端折って書いてあるが、
>>105
でやったのは、UとVが2次元実ベクトル空間である場合の具体例。

これが何次元でも成り立つということ。


変分は、関数を定義域とする関数だけど、関数は無限次元ベクトルと考えることが出来るから、この考えを敷衍すればいい。

  • [105]
  • Re: 変分、解析力学に関する納得いかない説明

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 6月28日(火)12時35分51秒
  • 返信
 
>>104 ここでは大雑把なイメージの話をしているので、厳密性はとりあえず度外しておく。関数も十分滑らかであるとか、そういうのも前提としていちいち断らないかもしれない。

4変数関数f(x,y,u,v)が最小値をとる(x,y,u,v)を求めるとする。

df=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy+(∂f/∂u)du+(∂f/∂v)dv

ここで、dx、dy、du、dvをどうとっても0になるはずだから、
(∂f/∂x)=0
(∂f/∂y)=0
(∂f/∂u)=0
(∂f/∂v)=0
となるところが、最小値となる候補である。


では今度は、u,vがそれぞれx、yの関数で、f(x,y,u(x,y),v(x,y))という2変数関数と見たときの最小値を取る(x,y)はどう求めるべきか?

当然今やった、
(∂f/∂x)=0
(∂f/∂y)=0
(∂f/∂u)=0
(∂f/∂v)=0
となるところを求めるわけにはいかない。この条件を満たしても、u=u(x,y),v=v(x,y)となっている保証はないし、この条件を満たさなくても拘束された条件の下では最小値を取ることもあるだろう。

しかし、

df=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy+(∂f/∂u)du+(∂f/∂v)dv

これは成り立つ。ここで、
du=(∂u/∂x)dx+(∂u/∂y)dy
dv=(∂v/∂x)dx+(∂v/∂y)dy
となっているのでこれを代入して

df=[(∂f/∂x)+(∂f/∂u)(∂u/∂x)+(∂f/∂v)(∂v/∂x)]dx
+[(∂f/∂y)+(∂f/∂y)(∂u/∂y)+(∂f/∂v)(∂v/∂y)]dy

で、

[(∂f/∂x)+(∂f/∂u)(∂u/∂x)+(∂f/∂v)(∂v/∂x)]=0
[(∂f/∂y)+(∂f/∂y)(∂u/∂y)+(∂f/∂v)(∂v/∂y)]=0


とすればいい。

変数の数が増えても同様である。





  • [104]
  • Re: 変分、解析力学に関する納得いかない説明

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 6月28日(火)11時49分49秒
  • 返信
 
>>103

今度はもう少し数学らしく。Zが2変数x,yの一次式で、さらにyはxの1次式となっているなら、Zはxの1次式とみなせる。

Z=2x+3y+4 でy=5x+6 ならZ=17x+22 という具合。


微分と言うのは滑らかな関数をミクロに見て1次式として近似するということだから、
2変数関数f(x,y)でy=g(x)を代入してfをxの関数と見たときに、df/dxがどうなるかは、上記をアナロジーとすることが出来る。

df=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dg

df/dx=(∂f/∂x)+(∂f/∂y)(dg/dx)

ここではfは滑らかな関数としておく。


このように、yがxに拘束されていても、偏微分は使える。


  • [103]
  • Re: 変分、解析力学に関する納得いかない説明

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 6月28日(火)11時38分35秒
  • 返信
 
>>102

卑近な例えをする。地面に対して斜めにスパッと切れたような平面があるとする。
真東に水平方向で100m進むごとに高さは4mアップする。
真北に水平方向で100m進むごとに高さは6mアップする。
では、東北方向に水平方向に100m進むごとに高さは何mアップするか?

4mと6mのちょうど真ん中の5m ではない。

真東に100m、さらに真北に100mで、10mアップする。つまり、東北方向に100×√2進むと10mアップ

だから100mでは、10/√2mアップする。


真東と真北の傾斜が分かっていれば、東北方向の傾斜がわかる。

もっと一般的に言えば、2方向の傾斜がわかれば、どの方向の傾斜もわかる。


独立でなくても偏微分が使えるというのはこれと似ている。






  • [102]
  • Re: 変分、解析力学に関する納得いかない説明

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 6月28日(火)11時21分30秒
  • 返信
 
>>101


L(y,y')をa≦x≦bの範囲で定積分した値の最大なり最小なりを考える、というのが変分。

著者は、yとy’にそれぞれ独立に任意の値を当てはめることが出来ると主張しているようだが、定積分するのだから、yを定めるというのはある実数値を代入することじゃなくて、a≦x≦bを定義域とする関数を定めることを意味する。当然そのような関数yを持ってきたら、それに伴ってy’も決まってしまう。


著者は、「独立でないと偏微分は使えない。偏微分が使われている以上、独立のはず」と思っているのかもしれないが、

従属でも偏微分は使える。

  • [101]
  • 変分、解析力学に関する納得いかない説明

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 6月28日(火)11時13分6秒
  • 返信
 
画像は、↓から。xとxドットが独立に扱える理由が書いてあるらしい。

「納得いった?」とあるが、

まったく納得できない


スバラシク実力がつくと評判の解析力学キャンパス・ゼミ―大学の物理がこんなに分かる!単位なんて楽に取れる! 単行本 – 2010/7
馬場 敬之 (著)
https://www.amazon.co.jp/%E3%82%B9%E3%83%90%E3%83%A9%E3%82%B7%E3%82%AF%E5%AE%9F%E5%8A%9B%E3%81%8C%E3%81%A4%E3%81%8F%E3%81%A8%E8%A9%95%E5%88%A4%E3%81%AE%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6%E3%82%AD%E3%83%A3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%82%BC%E3%83%9F%E2%80%95%E5%A4%A7%E5%AD%A6%E3%81%AE%E7%89%A9%E7%90%86%E3%81%8C%E3%81%93%E3%82%93%E3%81%AA%E3%81%AB%E5%88%86%E3%81%8B%E3%82%8B-%E5%8D%98%E4%BD%8D%E3%81%AA%E3%82%93%E3%81%A6%E6%A5%BD%E3%81%AB%E5%8F%96%E3%82%8C%E3%82%8B-%E9%A6%AC%E5%A0%B4-%E6%95%AC%E4%B9%8B/dp/494417876X

  • [100]
  • 指数関数の微分を対数関数を経由しないで求める その4

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 6月 1日(水)15時21分51秒
  • 編集済
  • 返信
 
[a^h-1]/h→1 (h→0)が成り立つなら、a=eであることを示す。

[a^h-1]/h=f(h)とする。

a=(1+f(h)h)^1/h

ここで、δ(h)=(f(h)-1)/(1+h)とおくと
a=(1+f(h)h)^1/h=(1+h)^(1/h)・(1+hδ(h))^(1/h)

ここで、h→0としたときに、(1+hδ(h))^(1/h)→1が示すことが出来れば、a=eが示されたことになる。




Nを整数として、N≦(1/h)≦N+1とする。すなわちN=[1/h]

取り敢えずhは正で0に究めて近いとしておく。つまりNは十分大きく、|δ(h)|はきわめて小さい。

(1+hδ(h))^(1/h)≦(1+h|δ(h)|)^(1/h)≦(1+h|δ(h)|)^(N+1)=(1+h|δ(h)|)・(1+h|δ(h)|)^N

(1+h|δ(h)|)^N=ΣNCk・(h|δ(h)|)^k


NCk・h^k≦NCk・(1/N)^k≦1   (N≦1/hとなっているから)


ΣNCk・(h|δ(h)|)^k≦Σ|δ(h)|^k=1/(1-|δ(h)|)



よって(1+hδ(h))^(1/h)≦(1+h|δ(h)|)/(1-|δ(h)|)


今度は、(1+hδ(h))^(1/h)を下から抑える。

(1+hδ(h))^(1/h)≧(1-|hδ(h)|)^(N+1)
=(1-|hδ(h)|)・(1-|hδ(h)|)^N

(1-|hδ(h)|)^N≧2-(1+|hδ(h)|)^N

2項定理で確認できる。相乗平均≦相加平均でもいける。

2-(1+|hδ(h)|)^N≧2-1/(1-|δ(h)|)


2-1/(1-|δ(h)|)≦(1+hδ(h))^(1/h)≦(1+h|δ(h)|)/(1-|δ(h)|)

h→0でδ(h)→0だから、
2-1/(1-|δ(h)|)→1
(1+h|δ(h)|)/(1-|δ(h)|)→1

で、(1+hδ(h))^(1/h)→1が示された。

よって、a=(1+f(h)h)^1/h=(1+h)^(1/h)・(1+hδ(h))^(1/h)

で、h→0とすることで、a=e・1=eとなることが示された。


hを正の実数として0に近づけると仮定したが、

[a^h-1]/h→1 (h→0)が成り立つ を前提にしているので、
[a^h-1]/h→1 (h→+0)が成り立つことも前提になっている。

[a^h-1]/h→1 (h→0) は  [a^h-1]/h→1 (h→+0) の十分条件



しかし、ここで示されたのは

[a^h-1]/h→1 (h→0)が成り立つなら、a=eである


ということであって、

[e^h-1]/h→1 (h→0)

はまだ示されていない。


  • [99]
  • 指数関数の微分を対数関数を経由しないで求める その3

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 6月 1日(水)13時55分50秒
  • 返信
 
lim(h→0)(a^h-1)/h=1 となる実数aは高々1つしか存在しない。

lim(h→0)(a^h-1)/h=1とする。b=a^xとおくと

lim(h→0)(b^h-1)/h=lim(h→0)(a^hx-1)/h
=lim(h→0)x(a^hx-1)/hx=x

もし、lim(h→0)(b^h-1)/h=1なら、x=1で、b=aでなければならない。

よって、


lim(h→0)(a^h-1)/h=1 となる実数aは高々1つしか存在しない。

  • [98]
  • 指数関数の微分を対数関数を経由しないで求める その2

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 6月 1日(水)12時23分28秒
  • 編集済
  • 返信
 
大雑把にやってみる。

(a^h-1)/h=1 とするなら、a=(1+h)^(1/h) ここでh→0とすれば、これはeとなる。


しかしこれは大雑把過ぎる。

ちゃんとやるには、e=lim(h→0)(1+h)^(1/h) と定義して、

lim(h→0)(a^h-1)/h=1 となる実数aは高々ひとつ存在して、それがeであることを示さないとならない。

  • [97]
  • 指数関数の微分を対数関数を経由しないで求める その1

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 6月 1日(水)09時45分35秒
  • 返信
 
指数を先に学び、指数の逆として対数を導入する。
等比数列の階差数列は等比数列になる

ということからして、指数のほうが先に来る方が自然なのに微分は対数から、というのが腑に落ちなくて、対数関数の微分の前に、ある程度、指数関数の微分に取り組むようにしていた。


[a^(x+h)-a^x]/h=a^x・(a^h-1)/h

h→0としたときの (a^h-1)/hの極限値が分かればいい。

として一旦保留して、対数関数の微分に進んだ。


最近は、指数関数の微分でもう少し遊んでみることにした。


実数aは、h→0としたときの (a^h-1)/hの極限値が1となるとする。

b^xの微分をaを使って表せ


これは、lim(h→0)[b^h-1]/hをaを使って表すことに帰着する。

b=a^(logab)と変形して、(logab)h=tとして、

lim(h→0)[b^h-1]/h=lim(t→0)(logab)[a^t-1]/t=logab


ということで、h→0で(a^h-1)/h→1となるaを使って指数関数の微分は求められた。

このaは当然eのことだが、e=lim(n→∞)(1+1/n)^nと一致することを示すことが出来るのか?


  • [96]
  • 指数関数の微分を対数関数を経由しないで求める その0

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2016年 6月 1日(水)08時26分2秒
  • 編集済
  • 返信
 
※ 私は、「微分」、「微分係数」、「導関数」などの使い分けがいい加減なので、そのあたりは余り気にしないでください。


 高校生に指数関数の微分を教えるときは、一旦対数関数の微分を求めて、逆関数だからy=xの線で折り返すことで指数関数の微分をもとめる、という具合にやっていた。教科書を見てみたら同様であった。(教科書は、どういうことをやっているかざっと見るだけで、余り詳しく見ないんだよね。)


対数関数の微分

[loga(x+h)-logax]/h=loga[(1+h/x)^(1/h)]=loga[(1+h/x)^(x/h・1/x)]
=(1/x)loga[(1+h/x)^(x/h)]

h→0は x/h→∞ を意味するので、n→∞としたときの(1+1/n)^nの極限をeと定義して、

logaxの微分は、logae/xとなる。



指数関数の微分

y=a^x は、x=logay dx/dy=logae/y dy/dx=y/logae=loga・a^x



対数関数の微分を念頭において、あたかも最初から指数関数の微分を求める振りをする。

[a^(x+h)-a^x]/h=a^x・(a^h-1)/h


h→0としたときの (a^h-1)/hの極限値が分かればいい。

a^h-1=tとおく。

(a^h-1)/h=t/loga(1+t)=1/loga(1+t)^(1/t)
t→0としたときの分母の極限値をeと定義して、1/logae=logeaとなる。

a^h-1=tとおくのが唐突である。このような変形は、あらかじめ対数の微分をやっているから気づくことが出来る。


もう少し自然に指数関数の微分を求められないだろうか?

  • [95]
  • 室井 和男さんに伝言

  • 投稿者:Maria
  • 投稿日:2014年 1月23日(木)22時03分33秒
  • 返信
 
 くろきさんへ。

 『バビロニアの数学』の室井 和男さんとは元・同僚でいらっしゃったそうなので、何かのついでがあったら「プリンプトン 322 は、たぶんタンジェントが1以上φ未満で長辺の長さが調和数のピタゴラス三角形のリスト」とお伝え願えませんか?

 室井さんは原稿も手書きでいらっしゃるそうで、コンピュータをお使いにならないようです。ネットで検索してもメールアドレスが出てきません。

 思いっきり私用ですが、まぁ数学ネタではありますし、室井さんも ご興味を持たれると思いますので。

http://animaleconomicus.blog106.fc2.com/


  • [92]
  • 十進完備化

  • 投稿者:くろきげん
  • 投稿日:2013年11月 7日(木)20時24分59秒
  • 編集済
  • 返信
 
「無限桁の整数」を考えるというようなことは
すでにたくさんの人が指摘しているように
別に大したことでもなんでもないです。
もちろん、「無限桁の整数」の中には
普通の整数ではないものがたくさん含まれています。

…13461485 のように左側に無限桁の「数」を
どのように合理的に正当化して利用できるのか?

まず、普通の小数の話を復習しましょう。

この掲示板の読者にとって、
485.16431… のような無限桁の小数は
2の平方根1.41421356…や円周率3.141592653…
などでおなじみのものだと思います。

無限桁の小数を考えるときには、
0.1、0.01、0.001、0.0001、……は
どんどん(普通の絶対値が)小さくなって行くと考えます。

それを逆転させて、
1、10、100、1000、10000、……の向きに
どんどん(十進絶対値が)小さくなって行くと考えることもできます!
(この説明の段階では信じてもらうしかない。)

別の言い方をすると、10でたくさん割り切れれば割り切れるほど
(十進絶対値の意味で)小さな数になると考えることができるのです。

整数 n が 10 でちょうど k 回割り切れるとき
(すなわち n = a 10^k (aは10で割り切れない整数)のとき)、
整数 n の十進絶対値 |n|_{10} を

|n|_{10} = 10^{-k} = (10の-k乗)

と定義することにしましょう。
(0は10で無限回割り切れると考え、
|0|_{10} = 10^{-∞} = 0 となるとみなす。)

たとえば

|10|_{10} = 10^{-1} = 0.1,
|1000|_{10} = 10^{-3} = 0.001、
|1230000|_{10} = 10^{-4} = 0.0001

です。この十進絶対値に関して完備化すれば無限桁の整数が得られます。

「十進絶対値に関する完備化」という用語の意味がわからない人は、
左側に無限桁の整数を考えることだと思っておいて下さい。
(無限桁の小数を考えることは普通の絶対値に関する完備化になっている。)

このようにして作った十進で無限桁の整数の世界では
次のような公式が数学的に厳密に成立しています。

  …9999 = 9 + 90 + 900 + 9000 + … = 9/(1-10) = -1 (等比級数の和),

∴ …9999 + 1 = 0.

……9999 に 1 を足すと右の方の桁からどんどん繰り上がって行って
……0000 = 0 になってしまうという計算が
数学的に厳密に成立している世界ができあがってしまったわけです。

十進絶対値の定義における 10 を素数 p でおきかえることによって、
p進絶対値(p進付値)が定義されます:

|n|_p = p^{-k}  (n = a p^k、 aはpで割り切れない整数).

p進絶対値で数 n の「大きさ」を測ることは
n が素数pでどれだけ割り切れるかを測ることに等しい
(たくさん割り切れれば小さくなる)。

さらに通常の絶対値を | |_∞ と書くことにしましょう:

|n|_∞ = |n|.

このとき、n を素因数分解することによって、

|n|_∞×Π|n|_p = 1   (pはすべての素数を走る)

が成立することがすぐにわかります。
普通の絶対値と各素数ごとにあるp進絶対値の全体には
このような綺麗な法則があるわけです。

以上のような話は数ではなく、
函数の場合の方がお馴染みかもしれません。

複素数を係数とする多項式 f(z) について考えましょう。
各複素数 a ごとに、f(z) が z-a でちょうど何回割り切れるかで
f(z) の(z-a)進絶対値を次のように定義することができます:

|f(z)|_a = e^{-k}  (f(z) = g(z)(z-a)^k、g(z)はz-aで割り切れない多項式).

さらに、f(z)の多項式としての次数 deg f を使って、

|f(z)|_∞ = e^{deg f}

と定義しましょう。このとき、
所謂代数学の基本定理と多項式の素因数分解より、

|f(z)|_∞×Π|f(z)|_a = 1   (aはすべての複素数を走る)

が成立していることがわかります。
このように書くとぎょっとする人がいるかもしれませんが、

f(z) = (z-a_1)^{k_1}…(z-a_s)^{k_s}

のとき、

deg f = k_1 + … + k_s

が成立しているというほぼ自明な結果を
しちめんどくさく述べ直しただけです。
わざわざしちめんどくさく述べ直したのは
数の場合の話との類似を明瞭にするため。

(z-a)進絶対値では「z-a は小さい」と考えます。
さらに「(z-a)^k は k が大きくなるとさらに小さくなる」と考える。
「z-a は小さい」と考えられるときには、べき級数

c_0 + c_1 (z-a) + c_2 (z-a)^2 + …

が有用になります。

これと同じように十進絶対値では「10は小さい」と考えます。
さらに「10^k は k が大きくなるとさらに小さくなる」と考える。
「10は小さい」と考えられるときには、

c_0 + c_1×10 + c_2×10^2 + … =  … c_2 c_1 c_0   (c_k=0,1,2,…,9)

という無限桁の整数が有用になります。

「10の大きさは10であり、1より小さかったりしない!」などと叫んでも無意味。
無駄な思い込みを廃して、柔らかくかつ正確に考えることが大事。

昔から、数と函数には同じような形容詞が適用されて来ました。
有理数(整数分の整数のこと)と有理函数(多項式分の多項式のこと)、
無理数(有理数ではない数のこと)と無理函数(有理函数ではない函数のこと)、
代数的数(algebraic number、たとえば√2)と代数函数(algebraic function、たとえば√x)、
超越数(たとえばπ)と超越函数(たとえば sin x)、などなど。
数の世界と函数の世界はとっても似ているわけです。

函数の世界でテイラー展開できるように、
数の世界でもp進展開できたりするわけです。
函数の世界でべき級数が有用なのと同じように、
数の世界でもp進数が有用なのです。
(10という数は特殊なので、すべての素数pを考える方が自然。
10進完備化は実は2進完備化と5進完備化で理解できます(中国式剰余定理!)。)

http://ameblo.jp/metameta7/entry-11641297565.html
のコメント欄の 1 と 2 で以上で述べたような話題は
本質的にすでに出て来ているとみなせます。
(p進数と形式ローラン級数の話題がすでに出ている。
いきなりローラン級数では難しいので
この解説ではべき級数の話しかしていませんが、
内容に本質的な違いはありません。)




深夜の追記: http://ameblo.jp/metameta7/entry-11666662459.html#cbox
で次のようなとても残念なコメントをしている人を発見してしまった。
数学にそれなりに程度興味がある人のようなのでこれはかなり残念です。
これはおしい。もったいない。

>3)順序関係が成立しない「無限桁の自然数」を考えることは
>できるかもしれないが、意味がない。
>「無限桁の自然数」の表現は内包であり、
>すべて∞というただ一つの外延を指す。
>……1110に1を足して……1111を得ることはできるが、
>「∞+1=∞」と言っているのと一緒。

べき級数 x + x^2 + x^3 + … に 1 を足して、
べき級数 1 + x + x^2 + x^3 + … を得られるのと同じように、
無限桁の整数 …1110 に 1 を足して …1111 を得ることができる。
これはべき級数の場合を見ればわかるように
「∞+1=∞」とは全然違うことをやっている。
これがよくある考え方だと思います。

すでに http://ameblo.jp/metameta7/entry-11641297565.html#cbox
wd0さんがp進数の解説文へのリンクを紹介をし、
さらに積分定数さんが、

>「無限整数展開」した「無限桁の整数」は、
>形式ローラン級数に近いものだと思います

と極めて適切なコメントをした時点で、
「無限桁の整数」をどのように理解すればよいか
に関する議論は本質的に終了してしまっているとみなせます。
この二人の発言を理解できていない人は
理解するように努力すれば勉強になると思う。


  • [91]
  • Re: 中学入試問題で解が複数あるような?

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2013年 7月13日(土)08時29分32秒
  • 返信
 
>>90

>  これは、どのスレッドが適切か、よく分からなかったので雑談スレッドに投稿してみます。もし適切なスレッドがあれば、誘導頂ければ移るようにします。

「問題な問題」スレを作ったので、そちらにお願いします。
http://8254.teacup.com/kakezannojunjo/bbs/t42/l50

  • [90]
  • 中学入試問題で解が複数あるような?

  • 投稿者:K.K
  • 投稿日:2013年 7月13日(土)02時18分1秒
  • 編集済
  • 返信
 
 この投稿は管理人さんの指示に従い、移動しました。by K.K

>>91 了解しました。本投稿はご指示のスレッドに移動し、同種の投稿は以降はそのスレッドを使用させて頂くようにします>積分定数さん)

  • [89]
  • Re: Windows電卓の精度

  • 投稿者:TaKu
  • 投稿日:2013年 6月26日(水)23時33分47秒
  • 返信
 
>>88

http://nyaruru.hatenablog.com/entry/20091004/p1
>電卓の内部(算術エンジン)は完全に最初から書き換えられていた。IEEE 準拠の浮動小数点ライブラリが任意の精度の算術ライブラリに置き換えられた。

浮動小数点だと、ビット数を増やしても、もっと誤差が出そうだと思ったら、精度が高くなるようにソフトウェアで対応しているようです。
内部の形式については触れていませんでした。

  • [88]
  • Windows電卓の精度

  • 投稿者:M
  • 投稿日:2013年 6月25日(火)21時55分47秒
  • 編集済
  • 返信
 
「数学」じゃないかもしれませんが、雑談です。

Windows電卓で遊んでみました。
バージョンが違うと動作が違うかもしれません。以下ははWindowsVistaでの結果です。

以降、「 ⇒ 」の前はキー操作で、「 ⇒ 」以降は結果の表示です。

1/3*3= ⇒ 1
これはみなさんお気づきだと思います。


SHARPとかの電卓でもこの計算は1になります。
その場合には、
1/3= ⇒ 0.3333333333
-0.3333333333= ⇒ 3.3e-12
となっていて、実は2桁くらい余分に計算していて、四捨五入して
答を出しているのでした。

Windows電卓は、内部精度どのくらいあるでしょうか。

1/3= ⇒ 0.33333333333333333333333333333333
-0.33333333333333333333333333333333= ⇒ 3.3333333333333333333333333333333e-31
-3.3333333333333333333333333333333e-31= ⇒ 3.3333333333333333333333333333333e-62
-3.3333333333333333333333333333333e-62= ⇒ 3.3333333333333333333333333333333e-93
-3.3333333333333333333333333333333e-93= ⇒ 3.3333333333332696658173378102125e-124

というわけで、内部精度136桁くらい持っているようです。

じゃあ、というわけで、

1+1x137= ⇒ 1e137  (xは指数部入力キーです。)
-1x137= ⇒ 1

あれ、桁落ちしていませんね。
ではどうやれば桁落ちするでしょうか。

1+1x100+1x200+1x300+1x400+1x500+1x600+1x700+1x800+1x900= ⇒ 1e900
-1x900= ⇒ 1e800
-1x800= ⇒ 1e700
-1x700= ⇒ 1e600
-1x600= ⇒ 1e500
-1x500= ⇒ 1e400
-1x400= ⇒ 1e300
-1x300= ⇒ 1e200
-1x200= ⇒ 1e100
-1x100= ⇒ 1
-1= ⇒0

あれれ?
ぜんぜん桁落ちしません。

内部ではどういう保持のしかたをしているんでしょうか?

PI-3.141592653589793238462643383279=  ⇒ 5.0288419716939931148196659300057e-31
円周率は3.14159265358979323846264338327950288419716939937510…ですから38桁目以降違っています。


  • [87]
  • 自然対数が無理数であることの証明、はこれでいいのかな?

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2013年 5月23日(木)00時46分52秒
  • 返信
 
任意の有理数は分母をm!の形にすることができる。
分母がmなら、(m-1)!を分子分母にかければいい。


e=1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+・・・・

n!e=整数+1/(n+1)+1/(n+1)(n+2)+・・・

1/(n+1)+1/(n+1)(n+2)+・・・
<1/(n+1)+1/(n+1)^2+1/(n+2)^3+・・・
=1/n

つまり、任意の自然数nに関して、
n!e=整数+1/n
e=(整数+1/n)/n!

よって、eは有理数ではない。



超越数の証明は難しそう。

  • [86]
  • 「背理法で証明できることはすべて背理法を使わないで証明できる。」のか?

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2013年 5月16日(木)18時49分55秒
  • 返信
 
「背理法で証明できることはすべて背理法を使わないで証明できる。」のか?


√2は無理数
対角線論法
中間値の定理
超限帰納法

で、脱背理法が出来たから、「すべて背理法を使わないで出来る」と結論づけるのは

数学的帰納法ではなくて、演繹法の対立概念であるところの帰納法。

で、帰納法としてもサンプル数が少なすぎる。

http://8254.teacup.com/kakezannojunjo/bbs/t21/901

によれば、古典論理では一応可能らしい。

一般的に可能なのかな?ちょっと考えてみたい。

背理法による証明が示された場合に、そこから背理法を除去する一般的な方法を見つければいいわけだけど、ちょっと考えてみる。

  • [85]
  • 超限帰納法

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2013年 5月16日(木)18時38分56秒
  • 編集済
  • 返信
 
Lを整列集合、あるいは領域とする。

MはLの部分集合(あるいは部分領域)で以下の性質(※)を満たすとする。
文字は特に断らない限りLの元。

(※) ∀x;[∀y<x;y∈M]→x∈M

このとき、M=Lである。


背理法による証明

M≠Lと仮定する。Mの補集合L\Mは空集合ではないので、最小値aが存在する。

x<a→x∈M よって(※)よりa∈M で 矛盾



脱背理法だと、

M≠L はらば (※)が成り立たない

ということを示すことになるのかな。

L\Mの最小値をaとする。[∀y<a;y∈M]が成り立つが、aはMの元ではないので、(※)が成り立たない。


でいいのかな?


  • [84]
  • 中間値の定理

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2013年 5月16日(木)18時27分28秒
  • 返信
 
a<b f;[a,b] f(a)<0  0<f(b) fは連続

ならば

∃c∈[a,b];f(c)=0


c=sup{x∈[a,b];f(x)≦0}

f(c)が0でないとして矛盾を導く


脱背理法だと、対偶を証明することになるのかな?fが連続であることを前提にしないで、

c=sup{x∈[a,b];f(x)≦0}

として、

f(c)≠0 → fは不連続

  • [83]
  • 脱背理法

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2013年 5月16日(木)18時19分39秒
  • 編集済
  • 返信
 
一部で話題になっている脱背理法
http://www.ma.kagu.tus.ac.jp/~abe/

√2は無理数

背理法  √2を有理数と仮定すると矛盾
脱背理法 有理数の2乗は2ではない事を示して、有理数は√2ではない


対角線法

背理法
集合AからAの部分集合全体の集合への全射fがあるとして矛盾を導く

脱背理法
集合AからAの部分集合全体の集合への写像をfとすると、fが全射でないことを示す。

ということらしい。

  • [82]
  • 解答

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2013年 5月14日(火)23時15分40秒
  • 返信
 
マウスをクリックしてなぞると解答が出てきます

1~nを並べるときに、任意のkについて、k番目にkが来ない並べ方はan通りとする。

nC0・a0+nC1・a1+nC2・a2+・・・+nCn・an=n!

が成り立つことになる。

この漸化式を解ければ、問題解決。



0C0・a0=0!
1C0・a0+1C1・a1=1!
2C0・a0+2C1・a1+2C2・a2=2!
・・・

これは、ij成分がiCjの行列を使って表記できる。

この行列の逆行列は、ij成分が(-1)^(i+j)・iCjの行列。

これでもう答えが出る。

an/n!=1/0!-1/1!+1/2!-1/3!+・・・+(-1)^n/n!

n→∞ だと e^xのテイラー展開したものに、x=-1を代入する。


  • [81]
  • 最初の方だけやってみると・・・

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2013年 5月14日(火)22時41分44秒
  • 返信
 
1~nまで並べる。任意のkについて、k番目にkが来ない並べ方は何通りかが分かれば、それをn!で割ればいい。

n=1なら、0

n=2なら、2,1のみ

n=3なら 2,3,1  3,1,2 の2通り

と虱潰しにやっていくのでは大変なので、さてどうすればいいのか?

  • [80]
  • あっちの話とこっちの話がつながる面白さ

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2013年 5月14日(火)22時34分48秒
  • 返信
 
n人が各自1個ずつプレゼントを持ち寄って、ランダムに1個ずつ配る。自分の持ってきたプレゼントをもらう人が1人もいない確率は?

もっとシンプルにすると、1からnまでの自然数をランダムに並べる。
1番目には1以外、2番目には2以外、・・・、n番目にはn以外となる確率は?

nが極端に大きいと1/eに近くなる。


 このこと自体は、高校の時にブルーバックスで読んだのだが、「なぜ、確率、順列組み合わせに自然対数が出てくるのか?」と不思議だった。

 数年前、この問題を思い出して考えてみたら解けた。

 順列組み合わせ 数列 行列 が関係してくる。
 指数関数のテイラー展開とも関係して、結果的にn→∞で確率が1/eとなる。


 あっちの話とこっちの話がつながる面白さ


 1つ分といくつ分の区別だの 量には内包量と外延量があるだの、わり算には等分除と包含除があるだの、

 本当にくだらない話だと思う。そんなの面白い?

 面白いかどうか以前に嘘だというのが致命的ではあるのだけど。

  • [79]
  • アフィン空間とアフィン空間の距離

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2013年 3月23日(土)22時27分4秒
  • 返信
 
a+<a,b,c,・・・>
p+<u,v,w,・・・>

<・・・>は、それらのベクトルが貼る部分線形空間


この2つのアフィン空間の距離の2乗は、

a-p+<a,b,c,・・・u,v,w,・・・>と原点との距離の2乗に帰着するので、>>78を適用できる。

>>78を適用する場合には、<a,b,c,・・・u,v,w,・・・>の内側にあるベクトル群が1次独立でない場合には、適宜ベクトルを取り除き、1次独立にしておく必要がある。


  • [78]
  • 原点とアフィン空間の距離

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2013年 3月23日(土)22時16分20秒
  • 編集済
  • 返信
 
a、b、c、dをベクトルとする。

ua+vb+wc+d u,v,wにあらゆる実数を入れることで出来るアフィン空間と原点の距離の2乗は?

(ua+vb+wc+d)・(ua+vb+wc+d)を、u,v,wの2次式と見なしてこの最小値を求める問題に帰着する。

そうすると、対称行列が出てきて、

abなどは内積を表すとして、


aa ab ac ad
ba bb bc bd
ca cb cd cd
da db dc cc

の行列式を



aa ab ac
ba bb bc
ca cb cd

の行列式で割ったものとなる。



次数が上がっても同様。


  • [77]
  • まず、対称行列の対角化

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2013年 3月23日(土)22時06分40秒
  • 返信
 
Aを対称行列
Tを対角成分が1の下三角行列、
SをTの転置行列
Λを対角行列とする

TΛS=A が成り立っているとすると、

Aの左上から、m×mの正方行列を切り取ったものをBとすると、

detBは、Λの対角成分を左上からm個かけたものとなる。


今日このことに気づいて証明したけど、

常識なのかな? あるいは間違い?


証明は、行列を適当に分割して比較する。


  • [76]
  • 点と直線の距離の公式の一般化

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2013年 3月23日(土)21時55分8秒
  • 返信
 
 空間での点と平面、一般にn次元空間で、点とn-1次元平面の距離、は割と簡単に求められるが、

空間での点と直線の距離とか、空間での直線と直線、もっと一般的にn次元空間で、m次平面(っていうのかな?アフィン空間?)とr次平面では?

 割と綺麗な結果になった。

  • [75]
  • 一点から拡がる平面波 一般解?

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2013年 2月20日(水)23時23分48秒
  • 返信
 
f(√(r^2+z^)-vt)/√(r^2+z^) これをzで-∞から+∞まで積分するとrの関数φとなる。

これが、

v^2[∂^2φ/∂r^2 + (∂φ/∂r)/r]=∂^2φ/∂t^2

を満たすことを証明するのはちと技巧がいる。

z=rtanθ と変数変換して、あれこれやる。

何度も計算間違いしてなんとか証明できた。



  • [74]
  • N次元の波動方程式

  • 投稿者:げお
  • 投稿日:2013年 2月20日(水)22時13分1秒
  • 返信
 
奇数次元ではホイヘンスの原理が成り立つけど、偶数次元では成り立たないということは聞いたことがあるのですが、ぐぐって見ても、なかなかその簡単な説明は見つかりませんでした。単純に考えると、以下のようになってしまうので、高次元でのホイヘンスの原理をどう定式化するかとかいろいろあるのかもしれません。

適当にスケール変換すれば波速cは1としてよいので、N次元での球対称な波動方程式は次のようになります。
Dt^2 P = {1/r^(N-1)} Dr{ r^(N-1) Dr P}
ここで Dt,Dr はそれぞれ時間 t、動径座標 r についての偏微分を表します。ここで P(r,t)=u(r)Q(r,t) とおいて Dt^2 Q = Dr^2 Q の形に書くことができれば解として P=u(r){f(r+t)+g(r-t)}が得られることになります。1次元の波動方程式に帰着させるためには、元の式の右辺を計算して、Dr^2の項のみが残って、Drについて1次および0次の項の係数が0になるという条件が必要です。

 ためしにu(r)= r^k の形を仮定して計算してみると 2k+N-1=0, k(k+N-2)=0 が条件となりこれを満たすのは k=0,N=1 と k=-1,N=3 しかありません。まだきちんと検算していませんが u(r)=r^k を仮定しなくても 1および3次元にしか求める形の解が存在しないことはいえそうです。

ということで高次元でのホイヘンスの原理はたぶんややこしいのでしょう。

  • [73]
  • 一点から拡がる平面波

  • 投稿者:積分定数
  • 投稿日:2013年 2月19日(火)02時10分57秒
  • 返信
 
>だから、z軸上で一斉に音が「パン」と音が鳴ったときに何が起こるかを考えれば、
2次元の波動方程式で何が起こるかを理解できます

それを考えて、

φ(r、t)=1/√(v^2t^2-r^2) としてみた。

計算間違いがなければ、

v^2[∂^2φ/∂r^2 + (∂φ/∂r)/r]=∂^2φ/∂t^2

を満たすはずだが・・・。

tの起点をどこにとってもいいのだから


1/√{v^2(s+t)^2-r^2} も解。これらの線形和も解。


だから、

sに関する関数を与えて

f(s)/√{v^2(s+t)^2-r^2}をsで定積分したものも解


となりそうだけどきちんと検証していない。


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